Aplicaciones de los manómetros. Acelerómetros

Un tubo en forma de U conectado a un recipiente que contiene un gas, se utiliza habitualmente para medir la presión del gas. En esta página, vamos a ver que también se puede emplear para medir la aceleración de un vehículo o la velocidad angular de rotación de una plataforma.

Medida de la aceleración horizontal de un vehículo

Cundo un tubo en forma de U de sección uniforme S que está parcialmente lleno con líquido de densidad ρ, hasta una altura h, viaja en un vehículo que experimenta una aceleración a se produce una diferencia de alturas del líquido en los dos brazos verticales del tubo. En este apartado, vamos a relacionar la diferencia de alturas con la aceleración del vehículo.

Observador inercial

Supongamos que la distancia entre los brazos verticales del tubo, o la longitud del brazo horizontal es L, y que el diámetro del tubo es pequeño en comparación con dicha separación.

Cuando el vehículo se desplaza con aceleración a, hacia la derecha, la altura del líquido

en el brazo vertical izquierdo es h+z
en el brazo vertical derecho es h-z

Desde el punto de vista del observador inercial O, la masa ρSL del líquido contenido en el brazo horizontal se mueve con aceleración a. La resultante de las fuerzas que actúan sobre dicha porción de líquido son:

En el extremo izquierdo, actúa el peso del líquido contenido en el brazo vertical izquierdo ρS(h+z)g
En el extremo derecho, actúa el peso del líquido contenido en el brazo vertical derecho ρS(h-z)g
El peso de la porción horizontal del líquido y la reacción de la superficie no intervienen en el movimiento.

La segunda ley de Newton se escribe

(ρSL)a= ρS(h+z)g- ρS(h-z)g

$z = \frac{L}{2 g} a$

La elevación z del líquido es directamente proporcional a la aceleración a, y es independiente de la densidad ρ y de la sección S del tubo.

Observador no inercial

Para el observador que viaja en el vehículo, el líquido en el manómetro está en equilibrio bajo la acción de las siguientes fuerzas:

El peso del líquido contenido en el brazo vertical izquierdo ρS(h+z)g
El peso del líquido contenido en el brazo vertical derecho ρS(h-z)g
La fuerza de inercia (ρSL)a sobre el líquido contenido en el brazo horizontal, cuya sentido es contrario al de la aceleración a.

(ρSL)a+ρS(h-z)g=ρS(h+z)g

Actividades

Un vehículo, se mueve a lo largo del eje X. Parte del reposo y acelera a₁ durante los 50 primeros metros de su recorrido. Viaja con velocidad constante durante otros 50 m, y finalmente, frena (aceleración -a₂) hasta que se detiene.

El programa interactivo, genera dos números aleatorios que representan las aceleraciones a₁ y a₂.

La altura inicial del líquido en el manómetro se ha fijado en h=25 cm
La longitud del brazo horizontal del tubo se ha fijado en L=50 cm

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se mide la altura h+z del líquido en el brazo izquierdo del tubo en forma de U.
Se calcula las aceleraciones a₁ y a₂.

El programa interactivo proporciona, la velocidad v y la posición x del vehículo en cada instante t.

Se calcula a partir de estos datos las aceleraciones a₁ y a₂.

Se compara los resultados con los proporcionados por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta.

Ejemplo:

Cuando el vehículo acelera, la altura del líquido en el brazo izquierdo del manómetro es h+z=31.3 cm, por lo que z=31.3-25=6.3 cm

$a = \frac{2 g}{L} z a_{1} = \frac{2 \cdot 9.8}{0.5} 0.063 = 2.47 {m/s}^{2}$

Cuando decelera, la altura del líquido es h+z=16.9 cm, por lo que z=16.9-25=-8.1 cm

$a_{2} = \frac{2 \cdot 9.8}{0.5} (- 0.081) = - 3.18 {m/s}^{2}$

Los datos de la posición y la velocidad del móvil son:

Recorre los primeros x=50 m en t=6.37 s alcanzando una velocidad de v=15.7 m/s

$v = a_{1} t x = \frac{1}{2} a_{1} t^{2}$

En ambos casos obtenemos a₁=2.46 m/s²

Alcanza la posición x₀=100 m en el instante t₀=9.54 s, llevando una velocidad v₀=15.7 m/s. En este instante, frena deteniéndose en el instante t=14.49 s cuando su posición es x=138.9 m

$v = v_{0} + a_{2} (t - t_{0}) x = x_{0} + v_{0} (t - t_{0}) + \frac{1}{2} a_{2} {(t - t_{0})}^{2}$

En ambos casos obtenemos a₂=-3.17 m/s²

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