Aplicaciones de los manómetros. Acelerómetros

Medida de la aceleración de un ascensor con una máquina de Atwood

En el apartado anterior, hemos introducido la fuerza de inercia que actúa en el brazo horizontal del manómetro para un observador que se mueve con el vehículo.

Comenzamos describiendo el comportamiento de una máquina de Atwood que cuelga del techo de un ascensor que se pone en marcha hacia arriba con aceleración a’, como ejemplo que explica el principio de equivalencia que emplearemos en el siguiente apartado..

Observador inercial

En la figura, se muestra una máquina de Atwood vista por un observador inercial. Las fuerzas sobre cada uno de los bloques de masas m₁ y m₂ son;

El peso de cada bloque
La tensión T de la cuerda.

Supondremos que la polea es ideal y tiene un momento de inercia despreciable.

La aceleración de los bloques es a, pero como el ascensor se mueve hacia arriba con una aceleración a’, la aceleración del bloque de masa m₂ es a₂=a’-a y la del bloque de masa m₁ es a₁=a’+a.

Aplicamos la segunda ley de Newton

T-m₂g=m₂(a’-a)
T-m₁g=m₁(a’+a)

Despejamos la aceleración a en el sistema de ecuaciones.

$a = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{2} + m_{1}} (g + a')$

Esta es la aceleración que mide un observador situado en el ascensor.

Las aceleraciones de cada uno de los bloques que mide el observador inercial son

$\begin{array}{l} a_{1} = a' + a = \frac{2 m_{2}}{m_{2} + m_{1}} a' + \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{2} + m_{1}} g \\ a_{2} = a' - a = \frac{2 m_{1}}{m_{2} + m_{1}} a' - \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{2} + m_{1}} g' \end{array}$

Observador no inercial

Los bloques se mueven con aceleración a

Las fuerzas sobre cada uno de los bloques son:

El peso
La fuerza de inercia de sentido contrario a la aceleración a’
La tensión de la cuerda

Las ecuaciones del movimiento son

m₂g+m₂a’-T=m₂a
T-m₁g-m₁a’=m₁a

Despejamos la aceleración a medida por el observador que viaja en el ascensor

$a = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{2} + m_{1}} (g + a')$

En el interior de un ascensor que se mueve con aceleración a', la aceleración de la gravedad efectiva es g’=g+a’

Midiendo el tiempo t que tardan los bloques en desplazarse una distancia x partiendo del reposo, determinamos la aceleración a,

$x = \frac{1}{2} a t^{2}$

Conocidas las masas m₁ y m₂ de los bloques despejamos la aceleración a’ del ascensor.

Medida de la aceleración de un ascensor con un manómetro

El tubo en forma de U está cerrado por un extremo, por el otro está unido a un recipiente de volumen V, que contiene aire a baja presión p. La diferencia de alturas entre los dos brazos del tubo es h, cuando el ascensor está en reposo

La presión en el recipiente p=ρgh

Entre el líquido (normalmente mercurio) y el extremo cerrado está hecho el vacío.

Cuando el manómetro viaja en un ascensor que se mueve con aceleración a’ el líquido asciende por uno de los brazos del tubo y desciende por el otro brazo, tal como se muestra en la figura.

Observador no inercial

Para el observador que viaja en ascensor, el líquido está en equilibrio, la presión en el brazo horizontal debe ser la misma en el extremo izquierdo A que en el extremo derecho B.

La presión en el extremo izquierdo A, es debida a una columna de fluido de altura d+h-z.

p_A=ρ(g+a’)(d+h-z)

Siendo (g+a’) la aceleración de la gravedad efectiva en un ascensor que se mueve con aceleración a’.

La presión en el punto B, es debida a la presión p del gas, más la de una columna de fluido de altura d+z.

p_B=p+ρ(g+a’)(d+z)=ρgh+ρ(g+a’)(d+z)

Como el líquido está en equilibrio, las presiones p_A=p_B

$z = \frac{a' h}{2 (g + a')} a' = \frac{2 g z}{h - 2 z}$

La elevación z del líquido en un brazo del tubo no es proporcional a la aceleración a’ del ascensor. En la figura, se representa

En el eje horizontal, el cociente, a’/g
En el eje vertical, z/h

Esta figura es válida para cualquier dimensión del instrumento de medida, siempre que el volumen V del recipiente de aire sea suficientemente grande para que los cambios en la altura de la columna de líquido no afecten de forma apreciable a la presión p dentro de dicho recipiente.

Midiendo z en el manómetro, se va a la gráfica, y se lee la abscisa a’/g que corresponde a la ordenada z/h. De este modo, se calcula de forma aproximada la aceleración a’ del ascensor.

Actividades

Un ascensor, se mueve a lo largo del eje X. Parte del reposo y acelera a₁ durante los 5 primeros metros de su recorrido. Viaja con velocidad constante durante otros 5 m, y finalmente, frena (aceleración -a₂) hasta que se detiene.

El programa interactivo, genera dos números aleatorios que representan las aceleraciones a₁ y a₂.

La diferencia inicial de las alturas del líquido en los brazos verticales se ha fijado en h=15 cm

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se mide la altura del líquido en el brazo derecho del tubo en forma de U.
Se calcula las aceleraciones a₁ y a₂.

El programa interactivo proporciona, la velocidad v y la posición x del ascensor en cada instante t.

Se calcula a partir de estos datos las aceleraciones a₁ y a₂.

Se compara los resultados con los proporcionados por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta.

Ejemplo:

Cuando el vehículo acelera, la elevación del líquido en el brazo derecho es z=16.8-15.0=1.8 cm.

$a' = \frac{2 z}{h - 2 z} g a_{1} = \frac{2 \cdot 1.8}{15.0 - 2 \cdot 1.8} 9.8 = 3.09 {m/s}^{2}$

Cuando decelera, el líquido en el brazo derecho baja z=10.8-15=-4.2 cm.

$a_{2} = \frac{2 \cdot (- 4.2)}{15.0 - 2 \cdot (- 4.2)} 9.8 = - 3.52 {m/s}^{2}$

Los datos de la posición y la velocidad del móvil son

Recorre los primeros x=5 m en t=1.82 s alcanzando una velocidad de v=5.5 m/s

$v = a_{1} t x = \frac{1}{2} a_{1} t^{2}$

En ambos casos obtenemos a₁=3.02 m/s²

Alcanza la posición x₀=10 m en el instante t₀=2.73 s, llevando una velocidad v₀=5.5 m/s. En este instante, frena deteniéndose en el instante t=4.3 s cuando su posición es x=14.3 m

$v = v_{0} + a_{2} (t - t_{0}) x = x_{0} + v_{0} (t - t_{0}) + \frac{1}{2} a_{2} {(t - t_{0})}^{2}$

En ambos casos obtenemos a₂=-3.51 m/s²

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.