Dos tubos en forma de U conectados

En esta página, se propone un ejercicio de aplicación de

Comenzamos con dos tubos en forma de U, de sección uniforme S, que se llenan con agua, el tubo izquierdo hasta una altura h₁ y el tubo derecho hasta una altura h₂, tal como se muestra en la figura.

A continuación, conectamos el extremo derecho del tubo izquierdo, y el extremo izquierdo del tubo derecho, con otro tubo de la misma sección. Tenemos una burbuja de aire a presión atmosférica P_a (en color amarillo) atrapada entre las superficies libres de alturas h₁ y h₂ de las dos ramas más próximas de los tubos en forma de U.

La longitud de la burbuja es L_a=2H-h₁-h₂+d. Siendo H la altura de los tubos en U, y d la separación entre los mismos, tal como se muestra en la figura

Añadimos un volumen V=S·x de agua a la rama izquierda del primer tubo, y observamos los niveles del agua en las ramas de los dos tubos, el volumen y la presión de la burbuja.

Planteamiento del sistema de ecuaciones

Los datos del problema son:

Las alturas iniciales del líquido de las dos ramas del tubo en U son

a la izquierda h₁.
a la derecha h₂.
Longitud inicial de la burbuja de aire L_a
Presión inicial del aire en la burbuja P_a=1.013·10⁵ Pa
Volumen de líquido S·x que se añade a la rama izquierda del primer tubo en U.

Las incógnitas son las alturas del líquido en cada rama de los dos tubos en forma de U

izquierda del primer tubo, h_1i
derecha del primer tubo, h_1d
izquierda del segundo tubo, h_2i
derecha del segundo tubo, h_2d
Longitud final de la burbuja L_f
Presión final de la burbuja P_f

Para resolver el problema, tenemos que plantear un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas.

Si consideremos el agua como fluido incomprensible, tendremos que

La longitud final del líquido en el segundo tubo en U no habrá cambiado

h_2i+h_2d=2h₂ (1)

Al primer tubo se la añade una longitud x de agua, y por la misma razón se cumplirá que

h_1i+h_1d=2h₁+x (2)

Al estar el fluido en equilibrio, coincidirán las presiones en el origen por la rama izquierda del primer tubo debidas a la atmósfera P_a y a la columna de líquido de altura h_1i y por la rama derecha debidas a la presión P_f de la burbuja y a la altura de la columna de líquido h_1d. Si ρ es la densidad del agua, y g la aceleración de la gravedad la ecuación fundamental de la estática de fluidos se escribe:

P_a+ρgh_1i=P_f+ ρgh_1d (3)

Coincidirán también las presiones en el origen por la rama derecha del segundo tubo debidas a la atmósfera P_a y a la columna de líquido de altura h_2d y por la rama izquierda debidas a la presión P_f de la burbuja y a la altura de la columna de líquido h_2i

P_a+ρgh_2d=P_f+ ρgh_2i (4)

La burbuja de aire tiene una presión inicial P_a y un volumen inicial S·L_a, una presión final P_f y un volumen final S·L_f. Suponiendo una transformación isotérmica entre los dos estados, tendremos

P_a·L_a=P_f·L_f (5)

Finalmente, una consideración geométrica. La longitud combinada del agua y de la burbuja de aire en la sección central de los dos tubos en forma de U permanece constante.

h₁+h₂+L_a=h_1d+h_2i+L_f. (6)

Solución del sistema de ecuaciones

Para resolver el sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, se combinan las ecuaciones del siguiente modo.

Se suman las ecuaciones (3) y (4)

2P_a+ρg(h_1i+h_2d)=2P_f+ ρg(h_1d + h_2i) (7)

Se despeja P_fen la ecuación (5) y se sustituye en la (7)

$2 P_{a} + ρ g (h_{1 i} + h_{2 d}) = 2 \frac{P_{a} L_{a}}{L_{f}} + ρ g (h_{1 d} + h_{2 i})$ (8)

Sumamos las ecuaciones (1), (2) y (6)

h_2i+h_2d+h_1i+h_1d + h₁+h₂+L_a =2h₂+2h₁+x+ h_1d+h_2i+L_f.

h_1i+h_2d=h₂+h₁+x+L_f-L_a (9)

En la ecuación (6) despejamos h_1d+h_2i

h_1d+h_2i= h₁+h₂+L_a-L_f (10)

Sustituimos (9) y (10) en (8) y escribimos P_a=ρgL₀. L₀ es la altura de la columna de agua, cuya presión en la base equivale a la presión atmosférica. Tomando agua como líquido manométrico en vez de mercurio en la experiencia de Torricelli.

$2 ρ g L_{0} + ρ g (h_{1} + h_{2} + x + L_{f} - L_{a}) = 2 \frac{ρ g L_{0} L_{a}}{L_{f}} + ρ g (h_{1} + h_{2} + L_{a} - L_{f})$

Nos queda la siguiente ecuación de segundo grado en L_f.

$L_{f}^{2} + (L_{0} - L_{a} + x) L_{f} - L_{0} L_{a} = 0$

Cuya solución es

$L_{f} = \frac{(L_{a} - L_{0} - x / 2) + \sqrt{(L_{0} - L_{a} + x / 2) + 4 L_{0} L_{a}}}{2}$ (11)

Conocida L_f calculamos P_f en la ecuación (5)

$P_{f} = \frac{P_{a} L_{a}}{L_{f}}$

En la ecuación (3) despejamos h_1i- h_1d que con la ecuación (2) forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

$h_{1 i} - h_{1 d} = \frac{P_{f} - P_{a}}{ρ g}$

h_1i+h_1d=2h₁+x (2)

Sumando y restando miembro a miembro ambas ecuaciones despejamos h_1i y h_1d

$\begin{array}{l} h_{1 i} = h_{1} + \frac{x}{2} + \frac{P_{f} - P_{a}}{2 ρ g} \\ h_{1 d} = h_{1} + \frac{x}{2} - \frac{P_{f} - P_{a}}{2 ρ g} \end{array}$ (12)

En la ecuación (4) despejamos h_2d- h_2i que con la ecuación (1) forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

$h_{2 d} - h_{2 i} = \frac{P_{f} - P_{a}}{ρ g}$

h_2i+h_2d=2h₂ (1)

Sumando y restando miembro a miembro ambas ecuaciones despejamos h_2dy h_2i

$\begin{array}{l} h_{2 d} = h_{2} + \frac{P_{f} - P_{a}}{2 ρ g} \\ h_{2 i} = h_{2} - \frac{P_{f} - P_{a}}{2 ρ g} \end{array}$ (13)

Ejemplo:

Datos

Altura de los tubos H=1.0 m.
Separación d=0.2 m
Densidad del agua ρ=1000 kg/m3
Presión atmosférica P_a=1.013·10⁵ Pa. Por lo que L₀=10.34 m, altura de la columna de agua cuya presión en la base equivale a la presión atmosférica.
Aceleración de la gravedad g=9.8 m/s²

Con el puntero del ratón arrastramos las flechas hasta hacer que la altura inicial del agua en ambas ramas:

del primer tubo sea h₁=0.25 m
del segundo tubo sea h₂=0.45 m

Con estos datos determinamos la longitud inicial de la burbuja de aire L_a= H-h₁-h₂+d=1.5 m.

Supongamos que añadimos un volumen de agua a la rama izquierda del primer tubo, que equivale a una altura x=0.88 m. Calculamos las incógnitas

De la expresión (11) calculamos la longitud final de la burbuja de aire

$L_{f} = \frac{(1.5 - 10.34 - 0.44) + \sqrt{(10.34 - 1.5 + 0.44) + 4 \cdot 10.34 \cdot 1.5}}{2} = 1.45 m$

De la ecuación de la transformación isoterma (5) calculamos la presión final P_f

1.013·10⁵·1.5=P_f·1.45 P_f=1.05·10⁵ Pa.

El incremento de presión ha sido de ΔP=P_f-P_a=3783 Pa

Las fórmulas (12) nos dan los valores de las alturas finales de agua en ambas ramas del primer tubo h_1i y h_1d

$\begin{array}{l} h_{1 i} = 0.25 + \frac{0.88}{2} + \frac{1.050 \cdot 10^{5} - 1.013 \cdot 10^{5}}{2 \cdot 1000 \cdot 9.8} = 0.88 m \\ h_{1 d} = 0.25 + \frac{0.88}{2} - \frac{1.050 \cdot 10^{5} - 1.013 \cdot 10^{5}}{2 \cdot 1000 \cdot 9.8} = 0.50 m \end{array}$

Las fórmulas (13) nos dan los valores de las alturas finales de agua en ambas ramas del segundo tubo h_2i y h_2d

$\begin{array}{l} h_{2 i} = 0.45 - \frac{1.050 \cdot 10^{5} - 1.013 \cdot 10^{5}}{2 \cdot 1000 \cdot 9.8} = 0.26 m \\ h_{1 d} = 0.45 + \frac{1.050 \cdot 10^{5} - 1.013 \cdot 10^{5}}{2 \cdot 1000 \cdot 9.8} = 0.64 m \end{array}$

Actividades

Se pulsa el botón titulado Inicio

Con el puntero del ratón se arrastra la flecha de color rojo, para establecer la altura inicial h₁ del líquido en el tubo en U de la izquierda
Con el puntero del ratón se arrastra la flecha de color azul, para establecer la altura inicial h₂ del líquido en el tubo en U de la derecha.

Pulsamos el botón titulado Empieza

Los dos tubos se unen, y la burbuja de aire encerrada en el tubo entre las superficies de agua de los dos tramos más próximos, se encuentra a la presión atmosférica P_a. Se añade agua al tramo izquierdo del primer tubo, esta agua toma un color azul claro, para distinguirla del agua ya existente en el primer tubo.

Observamos como cambian los niveles del agua en las ramas de los dos tubos, a medida que se incrementa x. Podemos pulsar el botón titulado Pausa, para parar la animación y calcular la solución del problema, para un valor dado de x.

Un manómetro situado en la parte superior del applet nos mide el incremento de la presión del aire atrapado, ΔP=P_f-P_a.

Para volver a empezar la experiencia se pulsa en el botón titulado Inicio.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Se pulsa el botón Inicio. Se arrastra con el puntero del ratón las flechas de color rojo y azul

Referencias

Gaffney C. The hydrostatics of trapped bubbles in fluids. The Physics Teacher, vol 38, November 2000, pp. 458-460