Fenómenos capilares

Elevación del líquido en un tubo capilar

En el apartado anterior, se ha descrito un experimento de laboratorio en la que a partir de la medida de la altura h que se eleva un líquido en un capilar de radio r conocido, se obtiene la tensión superficial γ del líquido.

En este apartado, se describe el aspecto dinámico de dicha situación física. Introducimos el tubo capilar en posición vertical en el líquido y observaremos como se incrementa la altura de líquido en el capilar a medida que transcurre el tiempo.

Cuando el líquido de viscosidad η, asciende por el tubo capilar de radio r supondremos que fluye en régimen laminar, aplicamos la ley de Poiseuille,

$G = \frac{π}{8} \frac{Δ p \cdot r^{4}}{η \cdot h}$

donde G es el gasto o volumen de líquido que fluye en la unidad de tiempo,

$G = π r^{2} \frac{d h}{d t}$

dh/dt es el incremento de altura de líquido en el capilar en la unidad de tiempo, y h es la altura de la columna de fluido en el tubo capilar en el instante t.

Δp es la diferencia de presión que hace que el líquido ascienda.

$Δ p = \frac{2 γ}{r} - ρ g h$

Cuando esta diferencia de presión se hace cero, Δp=0, se alcanza la situación de equilibrio estudiada en el apartado anterior. El líquido deja de ascender por el tubo capilar. La altura máxima a la que asciende es

$h_{m á x} = \frac{2 γ}{ρ g r}$

La ecuación diferencial que describe la variación de la altura h de líquido en el tubo capilar en función del tiempo t es,

$π r^{2} \frac{d h}{d t} = \frac{π r^{4}}{8 η h} (\frac{2 γ}{r} - ρ g h)$

o bien,

$\frac{d h}{d t} = \frac{a - b h}{h} a = \frac{γ r}{4 η} b = \frac{ρ g r^{2}}{8 η}$

Integramos la ecuación

$\int_{0}^{h} \frac{h d h}{a - b h} = \int_{0}^{t} d t$

Después de hacer algunas operaciones obtenemos la ecuación

$h + \frac{a}{b} \ln \frac{a - b h}{a} = - b t$

o bien, la ecuación implícita equivalente.

$h = \frac{a}{b} (1 - \exp (- \frac{b}{a} (h + b t)))$

Cuando t tiende a infinito h tiende al cociente a/b.

$h_{m á x} = \frac{a}{b} = \frac{2 γ}{ρ g r}$

La altura máxima h_max es independiente de la viscosidad del fluido η, pero el tiempo que tarda en alcanzar aproximadamente esta altura, depende de la viscosidad, una situación análoga a la carga de un condensador a través de una resistencia, o a la velocidad que alcanza una esfera que se deja caer en el seno de un fluido viscoso.

La ecuación que nos da h en función del tiempo t, no es idéntica, a la ecuación que nos da la carga del condensador en función del tiempo. Para obtener h cuando se proporciona el valor de t, es necesario resolver una ecuación implícita en h por procedimientos numéricos.

Actividades:

Se elige el tipo de líquido, seleccionado un elemento del control selección titulado Líquidos
Se elige el radio del capilar (en mm) seleccionado un elemento del control selección titulado Radio capilar.

Se pulsa el botón titulado Empieza.

El tubo capilar en posición vertical se pone en contacto con el líquido, y se observa como asciende el líquido en el tubo capilar.

Los datos de los líquidos examinados se indican en el siguiente cuadro, expresados en el S.I. de unidades.

Líquido	Tensión superficial γ	Densidad ρ	Viscosidad η
Agua	0.0728	1000	0.00105
Aceite	0.0331	900	0.113
Alcohol	0.0228	790	0.00122
Glicerina	0.0594	1260	1.393

Fuente: Manual de Física Elemental. Koshkin N. I., Shirkévich M. G. Edtorial Mir (1975)

El aceite y la glicerina tienen viscosidades η elevadas, por lo que estos líquidos ascienden lentamente en el tubo capilar en comparación con el agua y en el alcohol. El radio r del capilar juega también un papel importante. Aunque un radio mayor disminuye la diferencia de presión Δp, aumenta sin embargo, la rapidez con la que asciende el líquido

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Referencias

Peiris M. G. C. , Tenmakone K.. Rate of rise of a liquid in a capillary tube. Am. J. Phys. 48 (5) May 1980, pp. 415