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Elevación del líquido en un tubo capilar

En el apartado anterior, se ha descrito un experimento de laboratorio en la que a partir de la medida de la altura h que se eleva un líquido en un capilar de radio r conocido, se obtiene la tensión superficial γ del líquido.

En este apartado, se describe el aspecto dinámico de dicha situación física. Introducimos el tubo capilar en posición vertical en el líquido y observaremos como se incrementa la altura de líquido en el capilar a medida que transcurre el tiempo.

Cuando el líquido de viscosidad η, asciende por el tubo capilar de radio r supondremos que fluye en régimen laminar, aplicamos la ley de Poiseuille,

G= π 8 Δp· r 4 η·h

donde G es el gasto o volumen de líquido que fluye en la unidad de tiempo,

G=π r 2 dh dt

dh/dt es el incremento de altura de líquido en el capilar en la unidad de tiempo, y h es la altura de la columna de fluido en el tubo capilar en el instante t.

Δp es la diferencia de presión que hace que el líquido ascienda.

Δp= 2γ r ρgh

Cuando esta diferencia de presión se hace cero, Δp=0, se alcanza la situación de equilibrio estudiada en el apartado anterior. El líquido deja de ascender por el tubo capilar. La altura máxima a la que asciende es

h máx = 2γ ρgr

La ecuación diferencial que describe la variación de la altura h de líquido en el tubo capilar en función del tiempo t es,

π r 2 dh dt = π r 4 8ηh ( 2γ r ρgh )

o bien,

dh dt = abh h a= γr 4η b= ρg r 2 8η

Integramos la ecuación

0 h hdh abh = 0 t dt

Después de hacer algunas operaciones obtenemos la ecuación

h+ a b ln abh a =bt

o bien, la ecuación implícita equivalente.

h= a b ( 1exp( b a (h+bt) ) )

Cuando t tiende a infinito h tiende al cociente a/b.

h máx = a b = 2γ ρgr

La altura máxima hmax es independiente de la viscosidad del fluido η, pero el tiempo que tarda en alcanzar aproximadamente esta altura, depende de la viscosidad, una situación análoga a la carga de un condensador a través de una resistencia, o a la velocidad que alcanza una esfera que se deja caer en el seno de un fluido viscoso.

La ecuación que nos da h en función del tiempo t, no es idéntica, a la ecuación que nos da la carga del condensador en función del tiempo. Para obtener h cuando se proporciona el valor de t, es necesario resolver una ecuación implícita en h por procedimientos numéricos.

Actividades:

Se pulsa el botón titulado Empieza.

El tubo capilar en posición vertical se pone en contacto con el líquido, y se observa como asciende el líquido en el tubo capilar.

Los datos de los líquidos examinados se indican en el siguiente cuadro, expresados en el S.I. de unidades.

Líquido Tensión superficial γ Densidad ρ Viscosidad η
Agua 0.0728 1000 0.00105
Aceite 0.0331 900 0.113
Alcohol 0.0228 790 0.00122
Glicerina 0.0594 1260 1.393

Fuente: Manual de Física Elemental. Koshkin N. I., Shirkévich M. G. Edtorial Mir (1975)

El aceite y la glicerina tienen viscosidades η elevadas, por lo que estos líquidos ascienden lentamente en el tubo capilar en comparación con el agua y en el alcohol. El radio r del capilar juega también un papel importante. Aunque un radio mayor disminuye la diferencia de presión Δp, aumenta sin embargo, la rapidez con la que asciende el líquido

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Referencias

Peiris M. G. C. , Tenmakone K.. Rate of rise of a liquid in a capillary tube. Am. J. Phys. 48 (5) May 1980, pp. 415

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