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Carga de un condensador

Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.

En el circuito de la figura tendremos que la suma

V_ab+V_bc+V_ca=0

• El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm V_ab=iR
• La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c, de modo que V_bc=q/C.
• El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que V_ca=-V_ε , donde V_ε es la fem de la batería

La ecuación del circuito es

${\displaystyle iR+\frac{q}{C}-V_{\epsilon }=0}$

Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar

${\displaystyle \begin{array}{l}R\frac{dq}{dt}=V_{\epsilon }-\frac{q}{C}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{q}{\int }}\frac{dq}{C{V}_{\epsilon }-q}}=\frac{1}{RC}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}q=C{V}_{\epsilon }\left(1-\exp \left(\frac{-t}{RC}\right)\right)\end{array}}$

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo

${\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=\frac{V_{\epsilon }}{R}\exp \left(\frac{-t}{RC}\right)}$

La carga tiende hacia un valor máximo C·V_ε al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.

La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga máxima.

La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.

Un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte es la analogía hidráulica de la carga de un condensador.

Balance energético

• La energía aportada por la batería hasta el instante t es

${\displaystyle E_b={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{V}_{\epsilon }i·dt}=V_{\epsilon }^{2}C\left(1-\exp \left(\frac{-t}{RC}\right)\right)}$

• La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es

${\displaystyle E_R={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{i}^{2}R·dt}=\frac{V_{\epsilon }^{2}C}{2}\left(1-\exp \left(\frac{-2t}{RC}\right)\right)}$

• La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico es

${\displaystyle E_c=\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}=\frac{V_{\epsilon }^{2}C}{2}{\left(1-\exp \left(\frac{-t}{RC}\right)\right)}^2}$

Comprobamos que E_b=E_R+E_C. Parte de la energía suministrada en la batería se disipa en la resistencia y otra parte, se acumula en el condensador.

Cuando se completa el proceso de carga t→∞, la mitad de la energía suministrada por la batería se disipa en la resistencia y la otra mitad se acumula en el condensador.

Ejemplo:

Sea un condensador de capacidad C=1.5 µF en serie con una resistencia de R=58 kΩ y una batería de V_є=30 V. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms

• La carga del condensador es

${\displaystyle q=1.5·{10}^{-6}·30\left(1-\exp \left(\frac{-60·{10}^{-3}}{58000·1.5·{10}^{-6}}\right)\right)=22.42·{10}^{-6}\text{C}}$

• La intensidad es

${\displaystyle i=\frac{30}{58000}\exp \left(\frac{-60·{10}^{-3}}{58000·1.5·{10}^{-6}}\right)=2.60·{10}^{-4}\text{A}}$

• La energía suministrada por la batería es

${\displaystyle E_b=1.5·{10}^{-6}·{30}^2\left(1-\exp \left(\frac{-60·{10}^{-3}}{58000·1.5·{10}^{-6}}\right)\right)=6.73·{10}^{-4}\text{J}}$

• La energía disipada en la resistencia es

${\displaystyle E_R=\frac{1.5·{10}^{-6}·{30}^2}{2}\left(1-\exp \left(\frac{-2·60·{10}^{-3}}{58000·1.5·{10}^{-6}}\right)\right)=5.05·{10}^{-4}\text{J}}$

• La energía acumulada en el condensador es

${\displaystyle E_C=\frac{1}{2}\frac{{(22.42·{10}^{-6})}^2}{1.5·{10}^{-6}}=1.68·{10}^{-4}\text{J}}$

Cuando se completa el proceso de carga t→∞,

• La carga del condensador es

q=CV_є=1.5·10^-6·30=45μC

• La energía suministrada por la batería es

E_b=13.5·10^-4 J

• La energía acumulada en el condensador es

E_c=6.75·10^-4 J

• La energía total disipada en la resistencia es

E_R=6.75·10^-4 J

Actividades

Se introduce

• La capacidad C del condensador, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Condensador
• La resistencia R, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Resistencia
• La fem Vε_e de la batería está fijada en el valor de 10

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la carga del condensador, su color pasa gradualmente de blanco (sin carga) a rojo (carga positiva) y azul (carga negativa). A la derecha del applet, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.

Observar

• que la carga máxima no depende de la resistencia R,
• que la intensidad máxima no depende de la capacidad C

Elegir dos valores de la resistencia R₁ y R₂ y dos valores de la capacidad C₁ y C₂ de modo que R₁·C₁=R₂·C₂.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García