El resonador de Helmholtz

Determinación del volumen de líquido en una botella

En esta “experiencia” se tratará de medir el volumen de líquido que hay en una botella a partir del volumen conocido de una botella idéntica vacía.

Consideremos dos botellas iguales con diferentes volúmenes de aire V₁ y V₂. Las frecuencias de resonancia serán respectivamente.

$ω_{1} = c \sqrt{\frac{S}{L_{e} V_{1}}} ω_{2} = c \sqrt{\frac{S}{L_{e} V_{2}}}$

S es el área de la sección del cuello
V_1,2es el volumen de aire en las botellas
L_e es la longitud efectiva del cuello
c es la velocidad del sonido en el aire

El cociente entre las dos frecuencias depende únicamente de sus volúmenes

$\frac{ω_{1}}{ω_{2}} = \sqrt{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

Midiendo las frecuencias de resonancia ω₁ y ω₂, conocido el volumen de la botella vacía V₁ se determina el volumen V₂ de aire en la segunda botella.

Situamos un micrófono a igual distancia de las dos botellas y conectamos el micrófono a la tarjeta de sonido de un ordenador. Soplamos simultáneamente en las dos botellas y observamos en la pantalla del ordenador la superposición de los dos movimientos ondulatorios procedentes de cada una de las botellas en la posición del micrófono. Como el micrófono está a igual distancia de las bocas de las dos botellas supondremos que las amplitudes son iguales.

En la posición del micrófono, tendremos la superposición de dos Movimientos Armónicos Simples (MAS) de la misma amplitud A pero de distinta frecuencia.

ψ₁=Asin(ω₁·t)
ψ₂=Asin(ω₂·t)

El MAS resultante es

$Ψ = 2 A \cos (\frac{ω_{2} - ω_{1}}{2} t) sin (\frac{ω_{2} + ω_{1}}{2} t)$

Cuya amplitud depende del tiempo (el primer factor coseno), y cuya frecuencia es la media aritmética de las dos frecuencias ω₁ y ω₂

Medimos

el periodo P₀ de una oscilación (en color azul), el intervalo de tiempo entre dos picos o dos valles consecutivos.
el periodo P_m de la amplitud modulada (en color rojo)

$\begin{array}{l} P_{0} = \frac{4 π}{ω_{2} + ω_{1}} P_{m} = \frac{4 π}{ω_{2} - ω_{1}} \\ ω_{1} = 2 π (\frac{1}{P_{0}} - \frac{1}{P_{m}}) ω_{2} = 2 π (\frac{1}{P_{0}} + \frac{1}{P_{m}}) \\ \frac{ω_{2}}{ω_{1}} = \frac{P_{m} + P_{o}}{P_{m} - P_{0}} \end{array}$

Despejamos el volumen V₂ conocido el volumen V₁

$V_{2} = {(\frac{P_{m} - P_{0}}{P_{m} + P_{0}})}^{2} V_{1}$

Ejemplo

El volumen V₁ de la botella vacía es 0.7 litros

Medimos

el periodo P₀ de una oscilación (en color azul), P₀=0.008 s
el periodo P_m de la amplitud modulada (en color rojo), P_m=0.089 s

$V_{2} = {(\frac{0.089 - 0.008}{0.089 + 0.008})}^{2} 0.7 = 0.49$

El volumen de líquido en la botella es 0.7-0.49=0.21

Actividades

Se mueve con el puntero del ratón la flecha de color rojo para establecer el volumen del líquido en la segunda botella
La primera botella está vacía, su volumen es de 0.7 litros.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa en la “pantalla del ordenador” la composición de los dos MAS de la misma dirección y distinta frecuencia (en color azul).

Se mide el tiempo de varias oscilaciones y se determina el periodo P₀ de una oscilación.

Se activa la casilla titulada Ver amplitud, se representa la amplitud de la oscilación (en color rojo)

Se mide el periodo completo P_m, la mitad o un cuarto, dependiendo del volumen de agua en la segunda botella.

Mueva con el puntero del ratón la flecha de color rojo

Referencias

Alba J., Ramis J., Martínez J. A., Pico R., Escuder E., Aplicación de los fenómenos ondulatorios de batido y resonancia para la determinación del volumen de líquido en una botella. Revista Española de Física, V 18, nº 3, 2004, págs. 51-53