Composición de dos MAS de la misma dirección y de distinta frecuencia.

En la página anterior hemos estudiado la composición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia, obteniendo la amplitud del MAS resultante y su fase inicial. En esta página, vamos a aplicar el mismo procedimiento para obtener la amplitud resultante de la composición de dos MAS de la misma dirección pero de distinta frecuencia.

Descripción

Supongamos dos MAS de distinta frecuencia angular y con la misma fase inicial

x₁=A₁·sin(ω₁·t)
x₂=A₂·sin(ω₂·t)

De acuerdo con la interpretación geométrica de un MAS.

El primer MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de longitud A₁ que gira con velocidad angular ω₁.
El segundo MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de longitud A₂ que gira con velocidad angular ω₂.
El MAS resultante es la proyección sobre el eje X del vector suma vectorial de los dos vectores.
De forma vectorial lo expresamos como
$A = A_{1} + A_{2}$

El módulo del vector resultante no tiene una longitud constante

$A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos (ω_{1} - ω_{2}) t}$

su valor máximo es A₁+A₂ y su valor mínimo es |A₁-A₂|. Se dice entonces que la amplitud es modulada.

Cuando las amplitudes A₁=A₂ podemos expresar de forma más simple el MAS resultante

x= x₁+ x₂=A₁·sin(ω₁·t)+A₁·sin(ω₂·t)

$x = 2 A_{1} \cos \frac{1}{2} (ω_{1} - ω_{2}) t \cdot \sin \frac{1}{2} (ω_{1} + ω_{2}) t$

Esta ecuación nos dice que se trata de un MAS de frecuencia angular (ω₁+ω₂)/2 y de amplitud

$A = 2 A_{1} \cos \frac{1}{2} (ω_{1} - ω_{2}) t$

En la figura, en color rojo se muestra la amplitud modulada A y en color azul el resultado x de la composición de los dos MAS.

composicion2.gif (5263 bytes)

Ejemplos:

Hay muchos fenómenos físicos en el que el movimiento de una partícula es la superposición de dos MAS de frecuencias angulares diferentes ω₁ y ω₂.

Por ejemplo, la superposición de dos modos normales de oscilación, que se describen en las "experiencias" denominadas

Imaginemos que tenemos dos diapasones cada uno de los cuales produce un sonido "nota" de una determinada frecuencia. Las vibraciones de los diapasones se transmiten por el aire y llegan al tímpano del oído. El movimiento del tímpano es la superposición de dos MAS de la misma dirección y de distinta frecuencia.

Si ambos diapasones se golpean con igual fuerza y al mismo tiempo y se mantienen a la misma distancia del oído, los dos MAS que producen el movimiento del tímpano tendrán la misma fase inicial y la misma amplitud.

Cuando las frecuencias de los dos MAS están muy próximas, el oído no reconocerá dos notas diferentes, sino una única nota de frecuencia igual al promedio de las dos frecuencias y con variaciones en la amplitud.

Actividades

Se introduce

La frecuencia ω₁ del primer MAS, en el control de edición titulado Frec. angular1.
La frecuencia ω₂ del segundo MAS, en el control de edición titulado Frec. angular2.

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se observa, a la izquierda del applet el movimiento de tres partículas:

La primera describe un MAS de frecuencia angular ω₁ .
La segunda describe un MAS de frecuencia angular ω₂.
La tercera (de color azul) describe el MAS resultado de la composición de los dos MAS.

En la parte derecha, se representa gráficamente el desplazamiento x de cada una de las partículas en función del tiempo.

En la primer gráfica se representa x₁=A₁·sin(ω₁·t)
En la segunda gráfica se representa x₂=A₁·sin(ω₂·t)
En la tercera gráfica (en color azul) x₁+x₂. En color rojo se representa la amplitud A modulada en función del tiempo.

Lissajous aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.