El resonador de Helmholtz

En esta página, se describe un experimento de medida de la velocidad del sonido mediante un resonador de Helmholtz. Su frecuencia de resonancia depende de las dimensiones de la cavidad y de la velocidad de propagación del sonido.

Descripción

	Un resonador ideal consiste en una cavidad de volumen V con un cuello de área S y de longitud L. Si la longitud de onda λ es mucho más grande que sus dimensiones L, S^1/2 y V^1/3, el aire del cuello se mueve como un bloque de masa m.
	El aire contenido en el gran volumen V₀ actúa como un muelle de constante elástica k que está unido a un bloque de masa m que es el aire del cuello de la botella.

La deducción de la frecuencia de oscilación es similar a la empleada para calcular la frecuencia de las oscilaciones de una esfera en el experimento de la medida del índice adiabático de un gas ideal.

Transformación adiabática

Si suponemos que la oscilación transcurre muy rápidamente, los cambios de presión y de volumen del gas del recipiente, se describen mediante un proceso adiabático. La relación entre la presión y el volumen del gas para dicho proceso viene dada por la ecuación.

$p V^{γ} = cte$

donde V es el volumen del gas, p la presión y γ el índice adiabático del gas.

Cuando la porción de aire en el cuello de la botella, se ha desplazado x de la posición de equilibrio, el volumen se ha reducido en V₀-Sx y la presión a cambiado a p de modo que

$p_{0} V_{0}^{γ} = p {(V_{0} - S \cdot x)}^{γ}$

Despejando p

$p = p_{0} {(1 - \frac{S \cdot x}{V_{0}})}^{- γ}$

Dado que S·x<< V₀. El desarrollo del binomio de Newton (a+b)ⁿ hasta el primer término, nos da la presión aproximada p.

$p \approx p_{0} (1 + γ \frac{S}{V_{0}} x)$

resonador2.gif (2030 bytes) La fuerza neta que actúa sobre dicha porción de aire de masa m será

$F = (p_{0} - p) S = - p_{0} γ \frac{S^{2}}{V_{0}} x$

La fuerza F es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste, un claro signo de que la porción de aire describe un M.A.S.

Cuando la masa m de aire (en color azul) se desplaza hacia la derecha, la presión aumenta, la fuerza sobre la partícula está dirigida hacia la izquierda. Cuando la masa m se desplaza hacia la izquierda la presión disminuye, la fuerza sobre la partícula es hacia la derecha. Por tanto, la fuerza sobre la partícula es de sentido contrario al desplazamiento, una de las características del M.A.S.

Oscilaciones armónicas

La segunda ley de Newton se escribe

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + p_{0} γ \frac{S^{2}}{V_{0}} x = 0$

Ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia

$ω_{0}^{2} = \frac{γ S^{2} p_{0}}{m V_{0}}$

Teniendo en cuenta que la fórmula de la velocidad del sonido en un gas de presión p₀ y densidad ρ₀ es

$v_{s} = \sqrt{\frac{γ p_{0}}{ρ_{0}}}$

y que la partícula de masa m es aquí el aire contenido en el cuello de la botella

m=ρ₀·SL

Obtenemos la expresión de la frecuencia angular ω₀ de las oscilaciones de dicha masa de aire

$ω_{0} = v_{s} \sqrt{\frac{S}{L V_{0}}}$

La fórmula aplicable experimentalmente es

$ω_{0} = v_{s} \sqrt{\frac{S}{L_{e} V_{0}}}$

Donde L_e=L+ΔL es la longitud efectiva del cuello. La longitud efectiva L_e es la longitud real L del cuello más alrededor de 0.7 de radio del cuello r a cada lado, es decir, L_e=L+1.4·r, este factor puede variar de 1.3 a 1.7.

En la experiencia simulada, no tendremos en cuenta esta corrección y usaremos la expresión de ω₀ para el resonador ideal.

Dispositivo experimental

resonador1.gif (3078 bytes)

En la figura, se dibuja el esquema del dispositivo experimental descrito en el artículo mencionado en la referencia

SE coloca un altavoz en el extremo de un tubo de acero de L=1.5 m de longitud y S_t=48 cm² sección. Hacia la mitad del tubo se coloca un micrófono a la derecha del cual se rellena el tubo con fibra de vidrio para amortiguar el sonido.

El resonador es un recipiente cilíndrico de V₀=339.0 cm³ de volumen, tiene la característica de que se le pueden acoplar cuellos de distinta longitud L. La sección S del cuello es de 4.9 cm².

El altavoz está conectado a un generador que produce ondas senoidales de frecuencias comprendidas entre 100 y 700 Hz. Se mide la señal recogida por el micrófono mediante un voltímetro.

Para este dispositivo la curva de resonancia de la intensidad del sonido I tiene forma Lorentziana, y está dada por

$I = \frac{{(\frac{1}{2} Γ)}^{2}}{{(ω_{0} - ω)}^{2} + {(\frac{1}{2} Γ)}^{2}} Γ = \frac{v_{s} S}{2 S_{t} L_{e}}$

donde S es la sección del cuello del resonador, L su longitud, S_t es la sección del tubo y v_s la velocidad del sonido

Actividades

El applet simula las características esenciales de este experimento. Cambiando la longitud del cuello L del resonador se mide la frecuencia de resonancia ω₀. A partir de las medidas de varias frecuencias de resonancia se obtiene la velocidad del sonido en el aire.

El programa interactivo genera el valor de la velocidad del sonido en el aire, un número al azar comprendido entre 330 y 370.

Se introduce

la longitud del cuello L en el intervalo comprendido entre 1.5 y 4.5 cm,

Se pulsa el botón titulado Empieza.

El generador hace un barrido de frecuencias entre 100 y 600 Hz, y se recoge la respuesta del micrófono, dibujándose la curva de resonancia de la intensidad I del sonido.

Se sitúa el puntero del ratón en la frecuencia que señala el mínimo de intensidad y se pulsa el botón izquierdo del ratón.

En el área de texto situado a la izquierda del applet se guardan los resultados experimentales (longitud del cuello L, frecuencia de resonancia f₀)

Cuando tengamos suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica, y se representa los datos experimentales y la recta que mejor ajusta a dichos datos. El programa interactivo calcula el valor de la pendiente de dicha recta.

Conocida la pendiente podemos determinar la velocidad del sonido mediante la fórmula

$f_{0} = (\frac{v_{s}}{2 π} \sqrt{\frac{S}{V_{0}}}) \frac{1}{\sqrt{L}}$

La gráfica representa en el eje vertical la frecuencia en Hz, y en el eje horizontal la inversa de la raíz cuadrada de la longitud del cuello expresada en cm^-1/2.

Ejemplo.

Supongamos que hemos realizado un experiencia y la pendiente de la recta de ajuste nos ha dado 666.48 determinar la velocidad del sonido

$666.48 = \frac{v_{s}}{2 π} \sqrt{\frac{4.9 {cm}^{2}}{339 {cm}^{3}}} v_{s} = 34831.2 cm/s = 348 .3 m/s$

Una vez obtenida la velocidad de propagación del sonido, se podría estimar la densidad del aire a partir de la fórmula de la velocidad de propagación del sonido en un gas

$ρ_{0} = \frac{γ p_{0}}{v_{s}^{2}}$

siendo p₀=101300 Pa la presión atmosférica, y γ =1.4 el índice adiabático. En el capítulo de Termodinámica se describen dos experiencias para realizar esta medida:

Situe el puntero del ratón en la frecuencia que señala el mínimo de intensidad y pulse el botón izquierdo del ratón.

Referencias

Tang S. H., Tan H.S., Tan K. L. Hsu T.S. Velocity of sound and resonance absorption determination from a low-cost Helmholtz experiment. Eur. J. Phys. (6) 1985, pp.134-138