La ley de Snell de la refracción

En la página anterior titulada "Reflexión y transmisión de ondas", hemos estudiado la propagación de una onda a lo largo del eje X. El plano x=0 es la superficie de separación de los dos medios. Hemos visto que, cuando una onda incide sobre la superficie que separa dos medios de distintas propiedades mecánicas, una parte se refleja y otra parte se trasmite al segundo medio.

En esta página, vamos a estudiar el comportamiento de una onda plana que se propaga hacia la superficie de separación de dos medios, formando cierto ángulo de incidencia.

El principio de Huygens

El principio de Huygens proporciona un método geométrico para hallar, a partir de una forma conocida del frente de ondas en cierto instante, la forma que adoptará dicho frente en otro instante posterior. El principio supone que cada punto del frente de ondas primario da origen a una fuente de ondas secundarias que producen ondas esféricas que tienen la misma frecuencia y se propagan en todas las direcciones con la misma velocidad que la onda primaria en cada uno de dichos puntos. El nuevo frente de ondas, en un instante dado, es la envolvente de todas las ondas secundarias tal como se muestra en la figura.

Supongamos que conocemos la forma del frente de ondas inicial AB. Sobre el frente situamos varias fuentes de ondas secundarias señaladas por puntos de color rojo y azul. Sea v es la velocidad de propagación en el punto donde está situada la fuente secundaria de ondas. Para determinar la forma del frente de ondas A'B' en el instante t, se traza una circunferencia de radio v·t. centrada en cada una de las fuentes (en color rojo). La envolvente de todas las circunferencias es el nuevo frente de ondas en el instante t.

El radio de las circunferencias será el mismo si el medio es homogéneo e isótropo, es decir, tiene las mismas propiedades en todos los puntos y en todas las direcciones.

Ley de la reflexión

En la parte izquierda de la figura, se muestra el aspecto de un frente de ondas que se refleja sobre una superficie plana. Si el ángulo que forma el frente incidente con la superficie reflectante es θ_i, vamos a demostrar, aplicando el principio de Huygens, que el frente de ondas reflejado forma un ángulo θ_r tal que θ_i= θ_r.

Las posiciones del frente de ondas al cabo de un cierto tiempo t, se calculan trazando circunferencias de radio v·t con centro en las fuentes secundarias de ondas situadas en varios puntos del frente de onda inicial.

Las ondas secundarias situadas junto al extremos superior A se propagarán sin obstáculo, su envolvente dará lugar a un nuevo frente de ondas paralelo al inicial y situado a una distancia v·t. Las ondas secundarias producidas en el extremo inferior del frente de ondas chocan contra la superficie reflectante, invirtiendo el sentido de su propagación. La envolvente de las ondas secundarias reflejadas da lugar a la parte del frente de ondas reflejado. El frente de ondas completo en el instante t tiene la forma de una línea quebrada.

Tomemos la fuente de ondas secundarias P, de la porción OP del frente de ondas incidente, trazamos la recta perpendicular PP’, tal que PP’=v·t. Con centro en O trazamos una circunferencia de radio v·t. Se traza el segmento P’O’ que es tangente a dicha circunferencia. Este segmento, es la porción del frente de ondas reflejado. De la igualdad de los triángulos OPP’ y OO’P’ se concluye que el ángulo θ_i es igual al ángulo θ_r.

Si trazamos las rectas perpendiculares (denominadas rayos) a los frentes de onda incidente y reflejado, se concluye, que el ángulo de incidencia θ_i formado por el rayo incidente y la normal a la superficie reflectante, es igual al ángulo de reflexión θ_r formado por el rayo reflejado y dicha normal.

Ley de Snell de la refracción

Consideremos un frente de ondas que se acerca a la superficie de separación de dos medios de distintas propiedades. Si en el primer medio la velocidad de propagación de las ondas es v₁ y en el segundo medio es v₂ vamos a determinar, aplicando el principio de Huygens, la forma del frente de onda un tiempo posterior t.

A la izquierda, se ha dibujado el frente de ondas que se refracta en la superficie de separación de dos medio, cuando el frente de ondas incidente entra en contacto con el segundo medio. Las fuentes de ondas secundarias situadas en el frente de ondas incidente, producen ondas que se propagan en todas las direcciones con velocidad v₁ en el primer medio y con velocidad v₂ en el segundo medio. La envolvente de las circunferencias trazadas nos da la forma del frente de ondas después de tiempo t, una línea quebrada formada por la parte del frente de ondas que se propaga en el primer medio y el frente de ondas refractado que se propaga en el segundo.

El frente de ondas incidente forma un ángulo θ₁ con la superficie de separación, y frente de ondas refractado forma un ángulo θ₂ con dicha superficie.

En la parte central de la figura, establecemos la relación entre estos dos ángulos.

En el triángulo rectángulo OPP’ tenemos que

v₁·t=|OP’|·sinθ₁

En el triángulo rectángulo OO’P’ tenemos que

v₂·t=|OP’|·sinθ₂

La relación entre los ángulos θ₁ y θ₂es

$\frac{v_{1}}{sin θ_{1}} = \frac{v_{2}}{sin θ_{2}}$

Reflexión total

Si v₁>v₂ el ángulo θ₁ > θ₂ el rayo refractado se acerca a la normal
Si v₁<v₂ el ángulo θ₁ < θ₂ el rayo refractado se aleja de la normal

En este segundo caso, para un ángulo límite θ_c el ángulo de refracción es θ₂ =π/2

$sin θ_{c} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$

El ángulo límite es aquél ángulo incidente para el cual el rayo refractado emerge tangente a la superficie de separación entre los dos medios.

Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, el seno del ángulo de refracción resulta mayor que la unidad. Esto indica, que las ondas que inciden con un ángulo mayor que el límite no pasan al segundo medio, sino que son reflejados totalmente en la superficie de separación.

En la figura, observamos que a medida que se incrementa el ángulo de incidencia θ₁ el ángulo de refracción aumenta hasta que se hace igual a π/2. Si se vuelve a incrementar el ángulo de incidencia, la onda incidente se refleja en el primer medio.

Índice de refracción

Se denomina índice de refracción, al cociente entre la velocidad de la luz c en el vacío y la velocidad v de la luz en un medio material transparente.

n=c/v

La ley de Snell de la refracción se expresa en términos del índice de refracción

n₁·sinθ₁= n₂·sinθ₂

En la siguiente tabla, se proporcionan datos acerca de los índices de refracción de diversas sustancias

Sustancia	Índice de refracción (línea sodio D)
Azúcar	1.56
Diamante	2.417
Mica	1.56-1.60
Benceno	1.504
Glicerina	1.47
Agua	1.333
Alcohol etílico	1.362
Aceite de oliva	1.46

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física elemental. Edt. Mir (1975), pág. 209

Actividades

Se introduce

El ángulo de incidencia θ₁, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo.
El índice de refracción n, en el control de edición titulado Índice de refracción, o seleccionando una sustancia en el control de selección situado debajo.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El primer medio, de color amarillo, es el aire n₁=1, y el medio de color azul claro es segundo medio cuyo índice de refracción n₂ se ha seleccionado.

Observamos la propagación de las ondas en los dos medios

Como el primer medio tiene menor índice de refracción que el segundo, se cumple que θ₁ > θ₂, el rayo refractado se acerca a la normal a la superficie de separación.

Se ha de tener en cuenta, que una parte de la luz incidente se refleja, pero por razones de claridad no se muestra en el applet.

Los sucesivos frentes de onda están separados una longitud de onda, como la frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro, la longitud de onda cambia, y se hace más pequeña cuando el medio tiene menor velocidad de propagación, o mayor índice de refracción.

$n = \frac{c}{v} = \frac{λ_{0} / f}{λ / f} = \frac{λ_{0}}{λ}$

Si n>1 entonces, λ₀> λ, la longitud de onda de la luz λ₀ de una determinada frecuencia f, que se propaga en el vacío (o en el aire) es mayor que la longitud de onda λ de la misma radiación que se propaga en un medio de índice de refracción n.

Si se activa la casilla titulada Invertir, el primer medio tiene mayor índice de refracción que el segundo. Observamos que la longitud de onda aumenta, y que el ángulo de incidencia θ₁ es menor que el ángulo de refracción θ₂. El rayo refractado se aleja de la normal.

A partir de un determinado ángulo de incidencia, la onda incidente no pasa al segundo medio, se refleja en la superficie de separación

Calcular el ángulo límite para el agua, diamante, etc. y observar el comportamiento de las ondas para un ángulo de incidencia un poco mayor o menor que el ángulo límite.