Optica paraxial

Hemos estudiado las leyes de la reflexión y de la refracción. En esta página, vamos a aplicarlas a un espejo esférico concavo y a una superficie esférica convexa que separa dos medios de distinto índice de refracción.

Espejo esférico cóncavo

Vamos a calcular la posición s’ y tamaño h’ de la imagen producida por un espejo esférico cóncavo de radio r, de un objeto de altura h situado a una distancia s del origen.
La imagen se produce en la intersección del rayo reflejado y del rayo que pasa por el centro del espejo. Se trata de la intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vamos a calcular seguidamente.
En primer lugar, establecemos el origen en O y tomamos como positivo el eje X hacia la izquierda.

Como vemos en la figura, el rayo incidente y el rayo reflejado forman un ángulo θ con la dirección radial (normal a la superficie).

El rayo reflejado parte del punto x₁=r(1-cosθ), y₁=r·sinθ, y forma un ángulo con el eje X de 180-2·θ.
La ecuación de la recta es, y=ax+b, donde a es la pendiente (tangente del ángulo que forma con el eje X) y b la ordenada en el origen.
y=-tan(2θ)·x+b, el parámetro b se determina de la condición de que la recta pasa por el punto (x₁, y₁)
y1=-tan(2θ)·x1+b
y=-tan(2θ)·x+ r·sinθ+r·tan(2θ)·(1-cosθ)
El valor del ángulo θ es sinθ=h/r
El segundo rayo corresponde a una recta que pasa por el centro de coordenadas x₁=r, y₁=0 y que forma un ángulo α con el eje X.
La ecuación de esta recta es
y=tanα·x-r·tanα
El valor del ángulo α es tanα=h/(s-r)
Despejamos x en el sistema de ecuaciones
$x = \frac{r (\tan α + \sin θ + \tan (2 θ) \cdot (1 - \cos θ))}{\tan α + \tan (2 θ)}$

Esta es la posición s’ de la imagen y su tamaño h’ se calcula tomado cualquiera de las ecuaciones de las dos rectas
h’=tanα·s’-r·tanα

Objeto: Posición, s=20, tamaño, h=2
Radio del espejo esférico, r=10

Calculamos los ángulos

$\tan α = \frac{2}{20 - 10} = 0.2 \sin θ = \frac{2}{10} θ = 11.5$

Imagen: Posición, s’=6.52, tamaño, h’=0.7

Mueve con el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul en la flecha objeto

Aproximación paraxial

La figura muestra la trayectoria de dos rayos de luz que parten del punto P (objeto) y después de reflejarse en el espejo esférico de radio r, convergen en el punto P’ (imagen). Uno de los rayos es paralelo al eje horizontal y el otro rayo pasa por el centro del espejo, es normal a su superficie.
Queremos obtener una ecuación que relacione la posición del punto imagen s’ con la del punto objeto s.
En la figura vemos que β=α+θ y que γ=α+2θ
Eliminando el ángulo θ en las dos ecuaciones, tenemos γ=2β-α
Con las aproximaciones

$\tan α \approx α = \frac{d}{s} \tan γ \approx γ = \frac{d}{s'}$

El segmento d podemos suponer que es un arco de radio r y ángulo de apertura β, por lo que d=r·β

$\begin{array}{l} \frac{d}{s'} = 2 \frac{d}{r} - \frac{d}{s} \\ \frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{r} \end{array}$

Esta es la ecuación que relaciona las distancias del objeto y la imagen con el radio de curvatura del espejo esférico.

Se define aumento m como el cociente entre el tamaño de la imagen y’ y la del objeto y. m=h’/h. Utilizando la relación de semejanza entre los dos triángulos

$\frac{h'}{h} = - \frac{s'}{s}$

El signo negativo indica que P y P’ están en lados opuestos al eje X

Superficie esférica convexa

Vamos a calcular la posición s’ y tamaño h’ de la imagen producida por una superficie esférica convexa de radio r que separa dos medios de distinto índice de refracción n₁ y n₂, de un objeto de altura h situado a una distancia s del origen.

La imagen se produce en la intersección del rayo refractado y del rayo que pasa por el centro de la superficie esférica. Es la intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vamos a calcular seguidamente.
En primer lugar, establecemos el origen en O y tomamos como positivo el eje X hacia la derecha.

Como vemos en la figura, el rayo incidente forma un ángulo θ₁ y el ángulo reflejado forma un ángulo θ₂ con la dirección radial (normal a la superficie). De acuerdo con la ley de Snell de la refracción, n₁·sin θ₁ =n₂·sinθ₂

El rayo refractado parte del punto x₁=r(1-cosθ₁), y₁=r·sinθ₁, y forma un ángulo con el eje X de 180-(θ₁- θ₂)
La ecuación de la recta es,
y=-tan(θ₁- θ₂)·x+b, el parámetro b se determina de la condición de que la recta pasa por el punto (x₁, y₁)
y₁=-tan(θ₁- θ₂)·x₁+b
y=-tan(θ₁- θ₂)·x+ r·sinθ₁+r·tan(θ₁- θ₂)·(1-cosθ₁)
El valor del ángulo θ₁ es sinθ₁=h/r
El segundo rayo corresponde a una recta que pasa por el centro de coordenadas x₁=r, y₁=0 y que forma un ángulo 180-α con el eje X.
La ecuación de esta recta es
y=-tanα·x+r·tanα
El valor del ángulo α es tanα=h/(-s+r), el signo de s es negativo ya que está a la izquierda del origen.
Despejamos x en el sistema de ecuaciones
$x = \frac{r (- \tan α + \sin θ_{1} + \tan (θ_{1} - θ_{2}) \cdot (1 - \cos θ_{1}))}{\tan (θ_{1} - θ_{2}) - \tan α}$

Esta es la posición s’ de la imagen y su tamaño h’ se calcula tomado cualquiera de las ecuaciones de las dos rectas
h’=-tanα·s’+r·tanα

Objeto: Posición, s=-10, tamaño, h=2
Radio del espejo esférico, r=5
Índices de refracción, n₁=1, n₂=2.4
Aplicamos la ley de Snell: 1·sin θ₁=2.4·sin θ₂
Calculamos los ángulos

$\tan α = \frac{2}{- (- 10) + 5} = \frac{2}{15} \sin θ_{1} = \frac{2}{5} θ_{1} = 23.6 θ_{2} = 9.6$

Imagen: Posición, s’=12.42, tamaño, h’=1.0

Mueve con el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul en la flecha objeto

Aproximación paraxial

Hemos estudiado la refracción de los rayos cuando inciden en una superficie de separación plana que separa dos medios de índices de refracción n₁ y n₂.

Supongamos ahora que la superficie de separación entre los dos medios es esférica de radio r, tal como se muestra en la figura.

Del punto objeto P salen dos rayos de luz (en color rojo), uno paralelo al eje y otro que pasa por el centro C de la superficie esférica. La intersección de dichos rayos da lugar al punto P’ imagen de P.

Sea s la distancia de P a la superficie de separación, vamos a calcular la posición s’ de la imagen P’

Para el rayo paralelo al eje. Aplicamos la ley de Snell

$n_{1} \cdot \sin θ_{1} = n_{2} \cdot \sin θ_{2}$

Utilizando la aproximación de ángulos pequeños

$n_{1} \cdot θ_{1} = n_{2} \cdot θ_{2}$

En la figura vemos que:
β=γ+θ₂= γ+(n₁/n₂) θ₁
θ₁=α+β

Despejando θ₁ en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda, obtenemos
n₁·α+ n₂·γ=( n₂- n₁)·β

Utilizando las aproximaciones

$\tan α = \frac{d}{s} d = α \cdot s \tan γ = \frac{d}{s'} d = γ \cdot s'$

Podemos también considerar a d un pequeño arco de radio r y ángulo de apertura β, por lo que, d=r·β. Llegamos a la ecuación

$\frac{n_{1}}{s} + \frac{n_{2}}{s'} = \frac{n_{2} - n_{1}}{r}$

Se define aumento m como el cociente entre el tamaño de la imagen y’ y la del objeto y. m=h’/h
Aplicando la ley de Snell

$n_{1} \cdot \sin θ_{1} = n_{2} \cdot \sin θ_{2}$

Utilizando la aproximación de ángulos pequeños

$\begin{array}{l} n_{1} \cdot θ_{1} = n_{2} \cdot θ_{2} \\ \tan θ_{1} = \frac{y}{s} y = θ_{1} s \\ \tan θ_{2} = \frac{- h'}{s'} - h' = θ_{2} s' \end{array}$

Llegamos a la expresión para el aumento m

$m = - \frac{n_{1} s'}{n_{2} s}$