Oscilaciones del péndulo-muelle.

En esta página, se estudia un sistema oscilante simple, que consiste en una partícula de masa m en el extremo inferior de un muelle elástico de constante k, fijado por el extremo superior. El muelle, inicialmente en equilibrio en posición vertical, se desplaza a una posición (x₀, y₀) y se suelta.

Observamos la combinación de dos modos de oscilación: la del péndulo simple y la del muelle elástico, ambos modos tienen su frecuencia característica y están acoplados de forma no lineal.

Como consecuencia, es difícil mantener oscilando hacia arriba y hacia abajo, el sistema formado por la partícula y el muelle elástico, el acoplamiento hace que pronto la partícula se desvíe hacia un lado y hacia el otro (como un péndulo). Se observa que estas oscilaciones son muy pronunciadas con una elección adecuada de la masa de la partícula, de la constante elástica o de la longitud del muelle sin deformar.

Este sistema no lineal de dos grados de libertad, muestra el papel importante que juegan las inestabilidades en la transferencia de energía desde un grado de libertad del sistema hacia el otro.

Ecuaciones del movimiento

Colocamos muelle elástico de constante k y longitud L₀ sin deformar en posición vertical, lo fijamos por el extremo superior y colocamos una partícula de masa m en su extremo libre inferior.

El muelle elástico se estira una longitud y_e=mg/k, la longitud del muelle es L_e=L₀+y_e.

Situamos el origen del sistema de coordenadas en la posición de la partícula en equilibrio. Desplazamos la partícula a la posición (x₀, y₀) y la soltamos. Cuando la partícula está en la posición (x, y), la longitud del muelle deformado es L, las fuerzas sobre la partícula son:

La fuerza T que ejerce el muelle deformado
El peso mg de la partícula

Aplicamos la segunda ley de Newton

$\begin{array}{l} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - T \sin θ \\ m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = T cos θ - m g \end{array}$

Sustituyendo T=k(L-L₀), mg=k(L_e-L₀), y teniendo en cuenta que senθ=x/L, y cosθ=(L_e-y)/L, el sistema de ecuaciones diferenciales se escribe en función de la posición (x, y) de la partícula.

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} (L - L_{0}) \frac{x}{L} \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = \frac{k}{m} (L - L_{0}) \frac{(L_{e} - y)}{L} - \frac{k}{m} (L_{e} - L_{0}) \end{array}$

La longitud del muelle deformado es

$L = \sqrt{{(L_{e} - y)}^{2} + x^{2}}$

Es importante hacer notar, que la no linealidad de las ecuaciones diferenciales procede de la geometría no del muelle cuyo comportamiento se supone lineal.

Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial es x₀, y₀, y parte del reposo.

Aproximaciones

Cuando los desplazamientos x e y de la posición de equilibrio son pequeños en comparación con la longitud del muelle L₀, el sistema de ecuaciones diferenciales se puede expresar de forma más simple.

En la primera ecuación diferencial, el término

$\begin{array}{l} (L - L_{0}) \frac{x}{L} = x - \frac{L_{0}}{L} x \\ \frac{L_{0}}{L} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{L_{0}^{2}} + \frac{y^{2}}{L_{0}^{2}} - \frac{2 L_{e} y}{L_{0}^{2}} + \frac{L_{e}^{2}}{L_{0}^{2}}}} \approx \frac{1}{\sqrt{- \frac{2 L_{e} y}{L_{0}^{2}} + \frac{L_{e}^{2}}{L_{0}^{2}}}} = \frac{L_{0}}{L_{e}} {(1 - \frac{2 y}{L_{e}})}^{- 1 / 2} \approx \frac{L_{0}}{L_{e}} + \frac{L_{0}}{L_{e}^{2}} y \end{array}$

La primera ecuación diferencial, se escribe

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} (1 - \frac{L_{0}}{L_{e}}) x + \frac{k}{m} \frac{L_{0}}{L_{e}^{2}} x y \\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{g}{L_{e}} x = \frac{k}{m} \frac{L_{0}}{L_{e}^{2}} x y \end{array}$

En la segunda ecuación diferencial, el término

$\begin{array}{l} (L - L_{0}) \frac{(L_{e} - y)}{L} - (L_{e} - L_{0}) = - y - \frac{L_{0}}{L} (L_{e} - y) + L_{0} = - y - L_{0} \frac{(L_{e} - y)}{\sqrt{{(L_{e} - y)}^{2} + x^{2}}} + L_{0} = \\ - y - L_{0} {(1 + \frac{x^{2}}{{(L_{e} - y)}^{2}})}^{- 1 / 2} + L_{0} \approx - y - L_{0} (1 - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{L_{e}^{2}}) + L_{0} = - y + \frac{1}{2} \frac{L_{0}}{L_{e}^{2}} x^{2} \end{array}$

La segunda ecuación diferencial, se escribe

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + \frac{k}{m} y = \frac{1}{2} \frac{k}{m} \frac{L_{0}}{L_{e}^{2}} x^{2}$

Definimos ω_x la frecuencia de oscilación a largo del eje X, ω_y la frecuencia de oscilación a lo largo del eje Y, y λ la constante de proporcionalidad del acoplamiento como

$ω_{x}^{2} = \frac{g}{L_{e}} ω_{y}^{2} = \frac{k}{m} λ = \frac{k}{m} \frac{L_{0}}{L_{e}^{2}}$

El sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas queda

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω_{x}^{2} x = λ x y \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + ω_{y}^{2} y = \frac{λ}{2} x^{2} \end{array}$

La frecuencia ω_x corresponde a las oscilaciones de un péndulo de longitud L_e.
La frecuencia ω_y corresponde a las oscilaciones de una masa m unida a un muelle elástico de constante k.

Resonancia autoparamétrica

Supongamos que comenzamos a hacer oscilar la partícula muy próxima al eje Y, con x<<y. La solución de la segunda ecuación diferencial (se desprecia el término λx²) es, aproximadamente

y=Acos(ω_y·t)

La primera ecuación diferencial se convierte en

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + (ω_{x}^{2} - λ A \cos (ω_{y} t)) x = 0$

Esta ecuación diferencial se denomina del tipo Mathieu. Cuando

$\frac{ω_{y}}{ω_{x}} = \frac{2}{n} n = 1, 2, ..$

la solución es inestable incluso para pequeños valores del parámetro A (amplitud de la oscilación a lo largo del eje Y). Cuando menor sea n, más pronunciada es la inestabilidad. Así, para n=1, la relación entre las frecuencias angulares es

ω_y=2ω_x.

Los valores de la constante elástica k, de la longitud L₀ del muelle sin deformar, y de la masa m de la partícula que hacen que se cumpla esta relación son

$\begin{array}{l} ω_{y}^{2} = 4 ω_{x}^{2} \\ \frac{k}{m} = 4 \frac{g}{L_{e}} L_{e} = L_{0} + \frac{m g}{k} \\ L_{0} = \frac{3 m g}{k} \end{array}$

Energía del sistema

En la situación inicial, t=0, la partícula unida al muelle elástica se libera (v=0) en la posición (x₀, y₀). Situamos el nivel cero de energía potencial E_p=0, en la posición de la partícula cuando se encuentra en equilibrio, tal como se muestra en la figura.

La energía inicial es

$E = m g y_{0} + \frac{1}{2} k {(\sqrt{x_{0} + {(L_{e} - y_{0})}^{2}} - L_{0})}^{2}$

En el instante t la partícula se encuentra en la posición (x, y) y lleva una velocidad v=v_xi+v_yj

La energía del sistema es

$E = \frac{1}{2} m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) + m g y + \frac{1}{2} k {(\sqrt{x^{2} + {(L_{e} - y)}^{2}} - L_{0})}^{2}$

Actividades

Se introduce

La constante elástica k del muelle en N/m, actuando en la barra de desplazamiento titulada Cte. elástica
La masa m de la partícula, en g, actuando en la barra de desplazamiento titulada Masa
La longitud del muelle sin deformar se ha fijado en L₀=1 m

Se pulsa el botón titulado Inicio

La partícula se sitúa en la posición de equilibrio a lo largo del eje vertical, el muelle se deforma y_e=mg/k.

Con el puntero del ratón, se elige la posición inicial (x₀, y₀) donde se suelta la partícula, en el cuadrado -0.5≤x₀<0.5, -0.5≤y₀<0.5.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la partícula, y su trayectoria

Nota: En el programa interactivo, el origen se sitúa en la posición del extremo libre del muelle sin deformar, L₀=1 m por debajo del punto de sujeción del muelle, mientras que en los fundamentos físicos, se ha situado en la posición de equilibrio de la partícula, y_e=mg/k por debajo del origen, o L_e=L₀+mg/k por debajo del punto de sujeción.

En el programa interactivo resuelve el sistema de dos ecuaciones diferencial de segundo orden por el método de Runge-Kutta. Este procedimiento numérico produce, en general, buenos resultados, que podemos confirmar observando que la energía se mantiene constante.

Ejemplo:

La masa de la partícula m=300g=0.3 kg
La longitud del muelle L₀=1.0 m

El valor de la constante k del muelle que hace que ω_y=2ω_x es k=8.82 N/m

En la posición de equilibrio el muelle se deforma y_e=mg/k=1/3 m. La longitud del muelle en la posición de equilibrio es L_e=1+1/3=4/3 m

Si partimos de una posición inicial muy próxima al eje vertical Y, por ejemplo, x₀=0.01 m e y₀=0.0, observamos como crecen las oscilaciones hacia uno y otro lado del eje vertical, del tipo péndulo, y disminuyen las oscilaciones tipo muelle. Luego, sucede el proceso inverso.

En la parte superior izquierda del applet, se muestra la energía total de la partícula y la posición de la partícula (x, y) de la partícula en cada instante t.

En la parte derecha del applet, se representan los tres tipos de energías mediante un diagrama de barras:

energía cinética (color rojo)
energía potencial (en color azul)
energía potencial elástica (en color verde)

La suma de las tres clases de energía se mantiene constante.

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastre con el puntero del ratón el pequeño círculo de color rojo

Referencias

Rusbridge M.G., Motion of the sprung pendulum. Am. J. Phys. 48 (2) February 1980, pp. 146-151.

Olsson M. G. Why does a mass on a spring sometimes misbehave?. Am. J. Phys. 44 (12) December 1976, pp. 1211-1212.