El oscilador de Fermi

Consideremos el siguiente sistema oscilante: una partícula de masa m, se deja caer desde una altura h, sobre una plataforma de masa M unida a un muelle elástico de constante k. La partícula cae y choca elásticamente con la plataforma, el bloque asciende y desciende, la plataforma oscila y se vuelven a encontrar al cabo de un cierto tiempo, chocan y así, sucesivamente.

Se aplica la segunda ley de Newton para estudiar el movimiento del sistema formado por el muelle y la plataforma, y las ecuaciones del movimiento de caída libre para estudiar el movimiento del bloque. En el momento del choque, se aplica el principio de conservación del momento lineal y de la energía.

El sistema es conservativo, la energía del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma se mantiene constante.

Ecuaciones del movimiento

Estudiamos las distintas etapas del movimiento del bloque y de la plataforma, para ello establecemos el origen en la posición del extremo del muelle sin deformar. Vamos a disponer de dos relojes uno que mide el tiempo parcial t de cada una de las etapas del movimiento y otro que mide el tiempo total tt, desde el momento en el que se libera el bloque a una altura h sobre el origen.

Situación inicial

En la figura, se muestra la situación inicial. El bloque de masa m está a una altura h sobre el origen. La plataforma de masa M descansa sobre el muelle elástico de constante k. La plataforma desciende una altura y_e, hasta que se equilibran el peso Mg y la fuerza que ejerce el muelle k·y_e.

y_e=Mg/k

La energía inicial del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma es

$E_{0} = m g h - M g y_{e} + \frac{1}{2} k y_{e}^{2}$

Movimiento del bloque

Se libera el bloque, las ecuaciones del movimiento son:

$x = h - \frac{1}{2} g t^{2} v_{x} = - g t$

El bloque permanece en reposo, en la posición de equilibrio, tal como se muestra en la figura

y=-y_e
v_y=0

El choque ente el bloque y la plataforma se produce en la posición x₀=-y_e, en el instante t₁.

$t_{1} = \sqrt{\frac{2 (h + y_{e})}{g}}$

La velocidad del bloque es

v_x=-g·t₁

Choque elástico

Supondremos que el bloque y la plataforma forman un sistema aislado en el momento del choque. El momento lineal se conserva. Si además el choque es elástico, la energía cinética antes y después del choque es la misma.

$\begin{array}{l} m v_{x} + M v_{y} = m V_{x} + M V_{y} \\ \frac{1}{2} m v_{x}^{2} + \frac{1}{2} M v_{y}^{2} = \frac{1}{2} m V_{x}^{2} + \frac{1}{2} M V_{y}^{2} \end{array}$

donde v_x y V_x son las velocidades del bloque antes y después del choque, y v_y y V_y son las velocidades de la plataforma antes y después del choque.

Escribimos las ecuaciones de la forma alternativa

$\begin{array}{l} m (v_{x} - V_{x}) = - M (v_{y} - V_{y}) \\ m (v_{x}^{2} - V_{x}^{2}) = - M (v_{y}^{2} - V_{y}^{2}) \end{array}$

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia

$\begin{array}{l} m (v_{x} - V_{x}) = - M (v_{y} - V_{y}) \\ m (v_{x} - V_{x}) (v_{x} + V_{x}) = - M (v_{y} - V_{y}) (v_{y} + V_{y}) \end{array}$

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver

$\begin{array}{l} m (v_{x} - V_{x}) = - M (v_{y} - V_{y}) \\ (v_{x} + V_{x}) = (v_{y} + V_{y}) \end{array}$

Despejamos las velocidades del bloque V_x y de la plataforma V_y después del choque

$V_{x} = \frac{2 M v_{y} - (M - m) v_{x}}{m + M} V_{y} = \frac{2 m v_{x} + (M - m) v_{y}}{m + M}$

Movimiento del bloque después del choque

En el instante t=0, (tiempo total tt=t₁) el bloque parte de la posición x₀=-y_e, con velocidad inicial v_0x=V_x

$x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} g t^{2} v_{x} = v_{0 x} - g t$

Movimiento de la plataforma después del choque.

En el instante t=0, (tiempo total tt=t₁) la plataforma parte de la posición y₀=-y_e, con velocidad inicial v_0y=V_y

Las fuerzas sobre la plataforma son el peso y la fuerza que ejerce el muelle. La segunda ley de Newton se escribe

Ma=-ky-Mg

En forma de ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + ω^{2} y = - g ω^{2} = \frac{k}{M}$

La solución de esta ecuación diferencial es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea

y₁=Asin(ωt)+Bcos(ωt)

donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales

y de la solución particular

y₂=C

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante C.

ω²C=-g

La solución de la ecuación diferencial completa es y=y₁+y₂

$\begin{array}{l} y = - \frac{g}{ω^{2}} + A \sin (ω t) + B \cos (ω t) \\ v_{y} = \frac{d y}{d t} = A ω cos (ω t) - B ω \sin (ω t) \end{array}$

Las condiciones iniciales son las siguientes: la plataforma parte en el instante t=0 (tiempo total tt=t₁) de la posición y₀, con velocidad v_0y. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para determinar A y B.

$\begin{array}{l} y = - \frac{g}{ω^{2}} + \frac{v_{0 y}}{ω} \sin (ω t) + (y_{0} + \frac{g}{ω^{2}}) \cos (ω t) \\ v_{y} = v_{0 y} cos (ω t) - (y_{0} ω + \frac{g}{ω}) \sin (ω t) \end{array}$

Segundo choque

El próximo choque se produce en el instante t₂, (tiempo total tt=t₁+t₂) cuando coinciden la posición x del bloque y la posición y de la plataforma. Para ello, hay que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

$x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} g t^{2} = - \frac{g}{ω^{2}} + \frac{v_{0 y}}{ω} \sin (ω t) + (y_{0} + \frac{g}{ω^{2}}) \cos (ω t)$

Se obtiene la raíz t₂ de la ecuación y se calcula la posición x_c=y_c de encuentro en dicho instante.

$x_{c} = y_{c} = x_{0} + v_{0 x} t_{2} + \frac{1}{2} g t_{2}^{2}$

La velocidad del bloque antes del choque es

$v_{x} = v_{0 x} - g t_{2}$

La velocidad de la plataforma antes del choque es

$v_{y} = v_{0 y} cos (ω t_{2}) - (y_{0} ω + \frac{g}{ω}) \sin (ω t_{2})$

Se calculan las velocidades V_x y V_y del bloque y de la plataforma después del choque. Estas son las velocidades v_0x=V_x y v_0y=V_y iniciales de ambos cuerpos en el instante t=0 (tiempo total tt=t₁+t₂) cuando se encuentran en la posición x₀=x_c, y₀=y_c calculada en el instante t₂.

El bloque asciende y la plataforma oscila, vuelven a chocar y así, sucesivamente…

La energía del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma en cualquier instante tt es

$E = \frac{1}{2} m v_{x}^{2} + m g h + \frac{1}{2} M v_{y}^{2} + M g y + \frac{1}{2} k y^{2}$

La energía total permanece constante

Sensibilidad a un pequeño cambio de las condiciones iniciales

Unos de los aspectos más interesantes de los sistemas que estudiamos en esta parte del capítulo "Introducción al régimen caótico" es la de examinar la respuesta del sistema ante un pequeño cambio de las condiciones iniciales.

Cómo evoluciona el sistema si cambiamos ligeramente la altura h desde la que se deja caer el bloque. Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1:

Masa del bloque m=10 kg
Masa de la plataforma M=20 kg
Constante elástica del muelle k=2000 N/m

En la figura, vemos la representación gráfica x-t del bloque para dos alturas iniciales distintas

Altura inicial h=1.0 en color rojo,
Altura inicial h=1.01 en color azul

Las posiciones del bloque en el instante tt=10 s son muy parecidas

Ejemplo 2:

Masa del bloque m=15 kg
Masa de la plataforma M=20 kg
Constante elástica del muelle k=2000 N/m

En la figura, vemos la representación gráfica x-t del bloque para dos alturas iniciales distintas

Altura inicial h=1.0 en color rojo,
Altura inicial h=1.01 en color azul

Las posiciones del bloque en el instante tt=10 s difieren bastante

Actividades

Se introduce

La masa m del bloque, en el control de edición titulado Masa bloque
La masa M de la plataforma, en el control de edición titulado Masa plataforma
La constante elástica del muelle k, en el control de edición titulado Cte. elástica
La altura inicial h desde la que se suelta el bloque en el intervalo (0.95, 1.05) actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura inicial.

Se pulsa el botón titulado Inicio

El programa verifica si la máxima deformación inicial que experimenta el muelle x_m después de chocar por primera vez el bloque y la plataforma es superior a 0.5 m, en cuyo caso se invita al usuario a disminuir la masa del bloque o a aumentar el valor de la constante elástica.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del bloque y de la plataforma en la parte izquierda del applet, y la representación gráfica de la posición x del bloque en función del tiempo total tt .

El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente

$| \frac{E - E_{0}}{E_{0}} | \cdot 100$

donde E es la energía del sistema en cualquier instante tt, y E₀ es la energía inicial del sistema.

Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte inferior izquierda del applet. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente. Si el procedimiento numérico empleado, es incapaz de resolver dos choques consecutivos muy próximos, el error se incrementa, y el programa debe de interrumpirse manualmente ya que no realiza los cálculos correctamente.

Podemos comparar la posición del bloque en función del tiempo para dos alturas iniciales distintas del siguiente modo (véase las dos figuras más arriba):

Cuando se completa una gráfica x-t (en color rojo o azul) en el intervalo deseado 0-10, 10-20, 20-30 s…, se copia la imagen del applet en el portapapeles y se pega en el programa de dibujo Paint que viene con el sistema operativo Windows.

Se cambia ligeramente la altura inicial h y se completa la gráfica x-t (en color azul o rojo), en el mismo intervalo. Se copia la imagen del applet en el portapapeles y se pega en el programa de dibujo Paint, en la misma posición que el applet anterior.

Se debe desactivar antes de realizar estas operaciones la opción del menú Imagen/Dibujar figuras opacas del programa Paint.

CaoticoApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Lopac V., Dananic V. Energy conservation and chaos in the gravitationally driven Fermi oscillator. Am. J. Phys. 66 (10) October 1998, pp. 892-902