Choques en una dimensión

En esta página, se describen los choques frontales de dos partículas en el Sistema de Referencia del Laboratorio (Sistema -L) y en el Sistema de Referencia del Centro de Masa (Sistema–C).

Como caso particular, se comprueba la conservación del momento lineal en la explosión de un cuerpo, que da lugar a dos fragmentos que se mueven en la misma dirección pero en sentido contrario.

Choques frontales

Descripción desde el Sistema de Referencia del Laboratorio

Supongamos que la segunda partícula u₂=0, está en reposo antes del choque. La conservación de la conservación del momento lineal

choques3.gif (907 bytes)

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

De la definición del coeficiente de restitución e

-e(u₁-u₂)=v₁-v₂

Despejando las velocidades después del choque v₁ y v₂

$v_{1} = \frac{(m_{1} - m_{2} e) u_{1} + m_{2} (1 + e) u_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2} = \frac{m_{1} (1 + e) u_{1} + (m_{2} - m_{1} e) u_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

$V_{c m} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v₁ y v₂ de forma más simplificada y fácil de recordar.

v₁=(1+e)V_cm-eu₁v₂=(1+e)V_cm-eu₂

Si la segunda partícula está en reposo antes del choque, u₂=0. Las velocidades después del choque v₁ y v₂ serán.

$v_{1} = \frac{m_{1} - e m_{2}}{m_{1} + m_{2}} u_{1} v_{2} = \frac{m_{1} (1 + e)}{m_{1} + m_{2}} u_{1}$

Descripción desde el Sistema de Referencia del Centro de Masa

Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C antes del choque

$u_{1 c m} = u_{1} - V_{c m} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (u_{1} - u_{2}) u_{2 c m} = u_{2} - V_{c m} = - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} (u_{1} - u_{2})$

Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C después del choque

$v_{1 c m} = v_{1} - V_{c m} = \frac{- m_{2} e}{m_{1} + m_{2}} (u_{1} - u_{2}) v_{2 c m} = v_{2} - V_{c m} = \frac{m_{1} e}{m_{1} + m_{2}} (u_{1} - u_{2})$

v_1cm=-e·u_1cmv_1cm=-e·u_1cm

La velocidad de ambos objetos después del choque en el Sistema-C se reducen en un factor e.

Comprobamos también que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

m₁·u_1cm+m₂·u_2cm=0
m₁·v_1cm+m₂·v_2cm=0

Energía perdida en el choque

La energía perdida en la colisión Q la podemos hallar como la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque en el Sistema-L.

$Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} - \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2}$

Pero es mucho más fácil calcular esta diferencia en el Sistema-C.

$Q = - \frac{1}{2} (1 - e^{2}) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} {(u_{1} - u_{2})}^{2}$

Ejemplo:

Primera partícula: m₁=1, u₁=2
Segunda partícula: m₂=2, u₂=0
Coeficiente de restitución: e=0.9

Principio de conservación del momento lineal

1·2+2·0=1·v₁+2·v₂

Definición de coeficiente de restitución

-0.9(2-0)=v₁-v₂

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos

v₁=-0.53, v₂=1.27 m/s

Energía perdida en la colisión (Sistema-L)

$Q = \frac{1}{2} 1 \cdot {0.53}^{2} + \frac{1}{2} 2 \cdot {1.27}^{2} - \frac{1}{2} 1 \cdot 2^{2} = - 0.253 J$

Calculada mediante la fórmula (Sistema-C)

$Q = - \frac{1}{2} (1 - {0.9}^{2}) \frac{1 \cdot 2}{1 + 2} {(2 - 0)}^{2} = - 0.253 J$

Choques elásticos

Podemos obtener de forma alternativa, las velocidades v₁ y v₂ después del choque para un choque elástico empleando la conservación del momento lineal y de la energía cinética.

Principio de conservación del momento lineal

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0.

$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$

Dados u₁ y u₂, las velocidades de las partículas m₁ y m₂ antes del choque, podemos calcular las velocidades de las partículas v₁ y v₂ después del choque resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Trasformamos las dos ecuaciones, en las equivalentes

$\begin{array}{l} m_{1} (u_{1} - v_{1}) = - m_{2} (u_{2} - v_{2}) \\ m_{1} (u_{1}^{2} - v_{1}^{2}) = - m_{2} (u_{2}^{2} - v_{2}^{2}) \end{array}$

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia

$\begin{array}{l} m_{1} (u_{1} - v_{1}) = - m_{2} (u_{2} - v_{2}) \\ m_{1} (u_{1} - v_{1}) (u_{1} + v_{1}) = - m_{2} (u_{2} - v_{2}) (u_{2} + v_{2}) \end{array}$

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver

$\begin{array}{l} m_{1} (u_{1} - v_{1}) = - m_{2} (u_{2} - v_{2}) \\ (u_{1} + v_{1}) = (u_{2} + v_{2}) \end{array}$

Despejamos las velocidades de las partículas después del choque v₁ y v₂

$v_{1} = \frac{2 m_{2} u_{2} + (m_{1} - m_{2}) u_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2} = \frac{2 m_{1} u_{1} + (m_{2} - m_{1}) u_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Son las mismas ecuaciones que hemos obtenido previamente con el coeficiente de restitución e=1.

Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es

$V_{c m} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del choque v₁ y v₂ de forma más simplificada y fácil de recordar.

v₁=2V_cm-u₁v₂=2V_cm-u₂

Actividades

Se introduce

El coeficiente de restitución e, un valor comprendido entre 0 y 1en el control de edición titulado Coef. restitución. El valor de 1 corresponde a un choque elástico
El cociente entre las masas m₂/m₁, en el control de edición titulado Cociente entre masas. Donde m₂ es la masa de la partícula que está inicialmente en reposo, y m₁ la masa de la partícula inicialmente en movimiento.
La velocidad de la primera partícula u₁, en el control de edición titulado Velocidad partícula 1

Se pulsa el botón titulado Empieza.

En la mitad superior del applet, se representa el choque frontal en el Sistema-L del laboratorio. Una cruz de color azul representa la posición del centro de masas del sistema formado por las dos partículas interactuantes. Se representa también mediante un diagrama de tarta la energía inicial y final de las partículas. Cuando el choque es elástico la energía inicial es igual a la final. Cuando el choque es inelástico (coeficiente de restitución menor que la unidad) la energía final es menor que la inicial.

En la parte inferior, se representa el mismo choque en el Sistema-C del centro de masas

Se proporcionan los datos correspondientes a la velocidad de las partículas antes del choque y después del choque tanto en el Sistema–L como en el Sistema-C. Se representan también los momentos lineales en forma de vectores antes del choque y después del choque. De este modo el lector puede comprobar de forma visual la conservación del momento lineal.

Se recomienda al lector, que resuelva el mismo problemas de choques frontales y compruebe su solución con el programa interactivo. Por ejemplo, cuando las masas son iguales, la relación entre masas m₂/m₁ es igual a la unidad, y el choque es elástico (e=1).

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.