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Una bola que cae y rebota sobre un pistón que oscila verticalmente.

En esta página, se describe el movimiento de una bola que cae y rebota sobre un pistón que describe un Movimiento Armónico Simple en dirección vertical, de amplitud A y frecuencia angular ω. En la actividad que se propone, se tratará de conseguir que la bola rebote sincronizadamente con el movimiento del pistón.

Este ejemplo, ilustra una propiedad importante de los aceleradores del tipo sincrotrón, denominada estabilidad en la fase, véase el artículo citado en las referencias

Una segunda característica de este ejemplo, es la dependencia del movimiento posterior de la bola respecto de las condiciones iniciales de partida.

Ecuaciones del movimiento

• Movimiento del pistón

El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. En el instante inicial t=0, el pistón parte del origen. Su posición y velocidad en función del tiempo t es

y_p=A·sin(ωt)
v_p= A·ω·cos(ωt)

• Movimiento de la bola

La bola se deja caer desde una altura h, con velocidad inicial nula en el instante t₀,  Su posición y velocidad en el instante t son

y_b=h-g(t-t₀)²/2
v_b= -g(t-t₀)

• Primer choque entre la bola y el pistón

Choque

El encuentro entre el pistón y la bola se produce en la posición y₁  y en el instante t₁ tal que y_b=y_p. Para determinar el instante t₁, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

h-g(t-t₀)²/2= A·sin(ωt)

Antes del choque la velocidad de la bola es

u₁= -g(t₁-t₀)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que su velocidad antes y después del choque es

v_p= A·ω·cos(ωt₁)

De la definición de coeficiente de restitución e, determinamos la velocidad de la bola v1 inmediatamente después del choque v1-vp=-e(u1-vp)

v₁=(1+e)·A·ω·cos(ωt₁)+eg(t₁-t₀)

Esta es la velocidad inicial de la bola en su movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo hasta el próximo choque con el pistón.

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t₁<t<t₂ serán

y_b=y₁+v₁(t-t₁)-g(t-t₁)²/2
v_b=v₁-g(t-t₁)

• Segundo choque entre la bola y el pistón

Choque

El segundo choque se produce en la posición y₂  y en el instante t₂ tal que y_b=y_p. Para determinar el instante t₂, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

y₁+v₁(t-t₁)-g(t-t₁)²/2=A·sin(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

v_p= A·ω·cos(ωt₂) 

La velocidad de la bola antes del choque es

u₂= v₁-g(t₂-t₁)

La velocidad de la bola después del choque es

v₂=(1+e)·A·ω·cos(ωt₂)-e(v₁-g(t₂-t₁))

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t₂<t<t₃ serán

y_b=y₂+v₂(t-t₂)-g(t-t₂)²/2
v_b=v₂-g(t-t₂)

• Choque n entre la bola y el pistón

El movimiento de la bola después del choque n

y_b=y_n+v_n(t-t_n)-g(t-t_n)²/2

Choque

El instante t_n+1 y la posición y_n+1 en el momento del siguiente choque se determina resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos

y_n+v_n(t-t_n)-g(t-t_n)²/2= A·sin(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

v_p= A·ω·cos(ωt_n+1) 

La velocidad de la bola antes del choque es

u_n+1= v_n-g(t_n+1-t_n)

La velocidad de la bola después del choque es

v_n+1=(1+e)·A·ω·cos(ωt_n+1)-e(v_n-g(t_n+1-t_n))

Después del choque

El movimiento de la bola después del choque n+1 es

y_b=y_n+1+v_n+1(t-t_n+1)-g(t-t_n+1)²/2 
v_b=v_n+1-g(t-t_n+1)

El proceso iterativo se detiene cuando el intervalo de tiempo t_n+1-t_n entre dos choques consecutivos es menor que el paso dt, utilizado para mover la partícula y el pistón. El programa interactivo es entonces, incapaz de determinar el tiempo del siguiente choque.

La bola puede continuar rebotando sobre el pistón o bien, puede quedar pegada al pistón. En la página titulada "Caída libre y sucesivos rebotes" hemos demostrado que una bola que rebota sobre un plano horizontal precisa un tiempo finito para llegar al reposo después de infinitos rebotes. Si la aceleración del pistón

-Aω²·sin(ωt)

es mayor que la aceleración de la gravedad, la partícula no se pega al pistón, aunque podría rebotar y volver de nuevo al reposo sobre el pistón en un tiempo finito menor que el periodo de oscilación.

Sincronización

La cuestión que se plantea ahora es la de determinar la altura y₀=h, y el instante t₀, en el que se deja caer la bola para que el periodo P=t_n+1-t_n de la bola, el tiempo entre dos choques consecutivos, coincida con el periodo P=2π/ω de la oscilación del pistón (en color azul en la figura).

Para ello, los choques tendrán lugar en la misma posición y_e=y_b=y_p,

La velocidad ub de la bola antes y después del choque con el pistón debe de ser la misma, pero cambiada de signo.

En otras palabras, la energía que pierde la bola en el choque como consecuencia de su inelasticidad debe ser igual a la ganancia en energía cinética después del impacto.

u_b-v_p=-e(-u_b-v_p)

${\displaystyle v_p=\frac{1-e}{1+e}{u}_b}$

Como la bola sale y llega a la misma posición empleando un tiempo de vuelo P, su velocidad antes y después del choque valdrá

${\displaystyle u_b=\frac{1}{2}gP=\frac{\pi g}{\omega }}$

Para alcanzar esta velocidad, la bola tiene que partir de la altura h, de modo que llegue a la posición y_e de choque con velocidad u_b empleando un tiempo P/2

${\displaystyle h=y_e+\frac{1}{2}g{\left(\frac{P}{2}\right)}^2=y_e+\frac{{\pi }^{2}g}{2{\omega }^2}}$

Como el pistón parte del origen en el instante inicial t=0, alcanzando una velocidad v_p= A·ω·cos(ωt_e) en el instante t_e del choque

${\displaystyle t_e=\frac{1}{\omega }\arccos \left(\frac{v_p}{A\omega }\right)=\frac{1}{\omega }\arccos \left(\frac{1-e}{1+e}·\frac{\pi g}{A{\omega }^2}\right)=\frac{\text{1}}{\omega }\text{arccos(}k)}$

La posición de encuentro es y_e=y_b=y_p=A·sin(ωt_e)

${\displaystyle y_e=A\sqrt{1-{\cos }^2(\omega t_e)}=A\sqrt{1-\frac{v_p^2}{A^2{\omega }^2}}=A\sqrt{1-k^2}}$

La bola se debe liberar con velocidad inicial cero, desde la altura

${\displaystyle h=\frac{{\pi }^{2}g}{2{\omega }^2}+y_e=\frac{{\pi }^{2}g}{2{\omega }^2}+A\sqrt{1-k^2}}$

En el instante t₀ tal que el tiempo de vuelo hasta que se encuentra con el pistón sea P/2, es decir, t_e-t₀=P/2

${\displaystyle t_0=\frac{\arccos k-\pi }{\omega }}$

Puesto que k<1 la amplitud A tiene que cumplir la siguiente condición

${\displaystyle A>\left(\frac{1-e}{1+e}\right)\frac{\pi g}{{\omega }^2}}$

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de restitución e, en el control de edición titulado Coef. restitución.

• El periodo P=2π/ω del M.A.S. que describe el pistón, en el control de edición titulado Periodo.

• La amplitud de dicho MAS se ha fijado en A=0.1 m=10 cm

• Se introduce la altura inicial h, en el control de edición titulado Altura inicial.

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se sitúa la bola en la altura inicial h, y el pistón empieza a moverse entre las posiciones –A y +A.

Cuando se pulsa el botón Empieza, la bola se deja caer en el instante t₀, que se señala en la parte superior derecha del applet. 

Se observa el movimiento de caída de la bola y los sucesivos rebotes sobre el pistón. En la parte derecha del applet, se representa la posición de la bola y del pistón en función del tiempo t. 

Ejemplo:

Introducimos los siguientes datos

• El coeficiente de restitución e=0.9

• La altura inicial h=1.32 m

• El periodo P=1.0  s

Se pulsa el botón titulado Inicio

Observamos el movimiento del pistón, la bola permanece en su posición inicial

Esperamos un tiempo t₀=0.69 s y pulsamos el botón titulado Empieza

• La bola cae y choca con el émbolo en el instante t₁=1.19 s

• La posición del pistón y de la bola es y₁=0.1·sin(2π·t₁)=0.09 m, o bien,  y₁=1.32-4.9·(1.186-0.69)²=0.09 m

• La velocidad antes del choque es u₁=-9.8·(1.19-0.69)=-4.9 m/s

• La velocidad del pistón antes y después del choque es v_p=0.1·2π·cos(2π·t₁)=0.23 m/s

• La velocidad de la bola después del choque se calcula a partir de la definición de coeficiente de restitución v₁-v_p=-e(u₁-v_p)  

v₁=(1+0.9)·0.23+0.9·4.9=4.85 m/s

• La bola alcanza la altura máxima en el instante en el que su velocidad sea cero.

0=4.85-9.8·(t-1.19)    t=1.68 s

h=1.29 m

Se vuelve a repetir de nuevo proceso, para calcular el instante en el que se produce el segundo choque, y así sucesivamente.

Sincronización

Con los datos

• El coeficiente de restitución e=0.9

• El periodo P=1.0  s

Calculamos la altura h y el instante t₀ en el que debe se soltar la bola

La frecuencia angular ω=2π/P=2π rad/s

el parámetro k vale

${\displaystyle k=\left(\frac{1-e}{1+e}\right)\frac{\pi g}{A{\omega }^2}=\left(\frac{1-0.9}{1+0.9}\right)\frac{\pi ·9.8}{0.1·4{\pi }^2}=0.41}$

la bola se debe liberar con velocidad inicial cero, desde la altura

${\displaystyle h=\frac{{\pi }^{2}g}{2{\omega }^2}+A\sqrt{1-k^2}h=\frac{{\text{π}}^{\text{2}}\text{9}\text{.8}}{{\text{2·4·π}}^{\text{2}}}+\text{0}\text{.1}\sqrt{\text{1}-\text{0}{\text{.41}}^{\text{2}}}=1.32\text{m}}$

en el instante inicial t₀

${\displaystyle t_0=\frac{\arccos k-\pi }{\omega }{t}_0=\frac{\arccos 0.41-\pi }{2\pi }=-0.31\text{s}}$

Se obtiene el mismo resultado si la bola se libera en el instante t₀ que en el instante t₀ más un número de periodos P, por ejemplo, en el instante t₀=1-0.31=0.69, 1.69 s, etc.

Para observar la sincronización se introduce

• Coeficiente de restitución e=0.90

• Periodo P=1.0 s

• Altura inicial h=1.32 m

Se pulsa el botón titulado Inicio

Observamos que el pistón se pone en movimiento, oscilando entre las posiciones +10 y -10 cm.

En la parte superior derecha del applet, se muestra el tiempo en segundos. Cuando se llegue a una cantidad próxima a 0.69 s se pulsa el botón titulado Pausa. Se pulsa varias veces el botón Paso hasta que aparezca 0.69 s en el contador de tiempo. Se pulsa el botón titulado Empieza y a continuación el botón Pausa (Continua) para que prosiga el movimiento.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

La ruta hacia el caos

Vamos a examinar el comportamiento de la bola, después de efectuar N choques con el pistón, para ello vamos a modificar las condiciones iniciales de partida de la bola y del pistón del siguiente modo:

En el apartado anterior, la bola chocaba con el pistón en el instante t1 y su velocidad antes del choque era u1. La posición del pistón era yp=A·sin(ωt1). En este apartado, establecemos la velocidad u1 y la fase φ=ωt1 como datos de partida, en el instante t=0

• Movimiento del pistón

El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. Su posición y velocidad en función del tiempo t es

y_p=A·sin(ωt+φ)
v_p= A·ω·cos(ωt+φ)

siendo φ la fase inicial del movimiento

• Movimiento de la bola

La bola choca con velocidad -v0 (hacia abajo) en el instante t1=0 con el pistón en la posición y1=A·sen(φ). La velocidad de la bola después del choque es v1=(1+e)·A·ω·cos(φ)+e·v0

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t₁<t<t₂ serán

y_b=y₁+v₁(t-t₁)-g(t-t₁)²/2
v_b=v₁-g(t-t₁)

El resto del cálculo es el mismo que en el apartado "Ecuaciones del movimiento"

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. restitución.

• La frecuencia angular ω del M.A.S. que describe el pistón en rad/s, en el control de edición titulado Frecuencia.

• La fase inicial φ, en grados, en el control de edición titulado Fase

• La amplitud de dicho MAS se ha fijado en A=0.1 m=10 cm

• La velocidad inicial v₀ (hacia abajo) en m/s, en el control de edición titulado Velocidad inicial

Se pulsa el botón Empieza.

Se observa el movimiento de caída de la bola y los sucesivos rebotes sobre el pistón. En la parte derecha del applet, se representa la posición de la bola y del pistón en función del tiempo t. 

Se sugiere al lector que experimente con el programa interactivo, cambiando la fase para valores fijos de la velocidad inicial, de la frecuencia y del coeficiente de restitución. Se cambia ligeramente el coeficiente de restitución, manteniendo fijos los otros parámetros y así, sucesivamente.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Comportamiento de la bola cuando varía la frecuencia angular ω.

Más que el movimiento de la partícula a lo largo de un determinado tiempo, interesa el comportamiento de la bola en un intervalo de frecuencias, de amplitudes de oscilación del pistón, de coeficientes de restitución de la bola en su choque con el pistón, etc.

En el applet que viene a continuación, se examina el comportamiento de la bola cuando se cambia la frecuencia angular ω, de oscilación del pistón. Se hace que la bola rebote 100 veces sobre el pistón sin tomar ninguna medida, y a continuación se mide el intervalo de tiempo entre dos choques consecutivos Δt=t_n+1-t_n, durante otros 100 choques.

Se representa en el eje horizontal la frecuencia ω, y en el eje vertical la diferencia de tiempos Δt

Estos son los resultados producidos por la rutina escrita en lenguaje C que viene en la página http://chaos.phy.ohiou.edu/~thomas/download/bball.c, adaptada por el autor al lenguaje Java para correr en un applet.

Datos:

• Intervalo de frecuencias examinado 35 a 37 rad/s
• Amplitud A=0.012
• Coeficiente de restitución e=0.5

Podemos observar las bifurcaciones y la transición hacia el estado caótico

El autor ha elaborado un programa interactivo que no reproduce los resultados mostrados en la figura adjunta.

Se introduce

• El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. restitución.

• El intervalo de frecuencias en rad/s, en los controles de edición titulados Frecuencia inicial y Frecuencia final.

• La fase inicial φ, en grados, actuando en la barra de desplazamiento titulada Fase

• La amplitud de dicho MAS se ha fijado en A=0.1 m=10 cm

• La velocidad inicial v₀ (hacia abajo) en m/s, en el control de edición titulado Velocidad inicial

Se pulsa el botón Empieza.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Para los apartados "Ecuaciones del movimiento" y "Sincronización"

Alvarez, Luis W., Senecal G. Mechanical analog of the synchrotron, illustrating phase stability and two-dimensional focusing. Am. J. Phys. 43 (4) April 1972, pp. 293-296

Para el apartado  "La ruta hacia el caos"

Tufillaro N. B., Mello T. M., Choi Y. M. Albano A. M. Period doubling of a bouncing ball, J. Physique 47 Septembre (1986) pp. 1477-1482

http://chaos.phy.ohiou.edu/~thomas/chaos/bouncing_ball.html

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