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Una bola que cae y rebota sobre un pistón que oscila verticalmente.

En esta página, se describe el movimiento de una bola que cae y rebota sobre un pistón que describe un Movimiento Armónico Simple en dirección vertical, de amplitud A y frecuencia angular ω. En la actividad que se propone, se tratará de conseguir que la bola rebote sincronizadamente con el movimiento del pistón.

Este ejemplo, ilustra una propiedad importante de los aceleradores del tipo sincrotrón, denominada estabilidad en la fase, véase el artículo citado en las referencias

Una segunda característica de este ejemplo, es la dependencia del movimiento posterior de la bola respecto de las condiciones iniciales de partida.

Ecuaciones del movimiento

El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. En el instante inicial t=0, el pistón parte del origen. Su posición y velocidad en función del tiempo t es

yp=A·sin(ωt)
vp
= A·ω·cos(ωt)

La bola se deja caer desde una altura h, con velocidad inicial nula en el instante t0,  Su posición y velocidad en el instante t son

yb=h-g(t-t0)2/2
vb= -g
(t-t0)

Choque

El encuentro entre el pistón y la bola se produce en la posición y1  y en el instante t1 tal que yb=yp. Para determinar el instante t1, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

h-g(t-t0)2/2=sin(ωt)

Antes del choque la velocidad de la bola es

u1= -g(t1-t0)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que su velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωt1)

De la definición de coeficiente de restitución e, determinamos la velocidad de la bola v1 inmediatamente después del choque

v1-vp=-e(u1-vp)

v1=(1+e)·A·ω·cos(ωt1)+eg(t1-t0)

Esta es la velocidad inicial de la bola en su movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo hasta el próximo choque con el pistón.

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t1<t<t2 serán

yb=y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2
vb=v1-
g(t-t1)

Choque

El segundo choque se produce en la posición y2  y en el instante t2 tal que yb=yp. Para determinar el instante t2, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2=A·sin(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωt2

La velocidad de la bola antes del choque es

u2= v1-g(t2-t1)

La velocidad de la bola después del choque es

v2=(1+e)·A·ω·cos(ωt2)-e(v1-g(t2-t1))

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t2<t<t3 serán

yb=y2+v2(t-t2)-g(t-t2)2/2
vb=v2-g(t-t2)

El movimiento de la bola después del choque n

yb=yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2

Choque

El instante tn+1 y la posición yn+1 en el momento del siguiente choque se determina resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos

yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2=sin(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωtn+1

La velocidad de la bola antes del choque es

un+1= vn-g(tn+1-tn)

La velocidad de la bola después del choque es

vn+1=(1+e)·A·ω·cos(ωtn+1)-e(vn-g(tn+1-tn))

Después del choque

El movimiento de la bola después del choque n+1 es

yb=yn+1+vn+1(t-tn+1)-g(t-tn+1)2/2 
vb=vn+1-
g(t-tn+1)

El proceso iterativo se detiene cuando el intervalo de tiempo tn+1-tn entre dos choques consecutivos es menor que el paso dt, utilizado para mover la partícula y el pistón. El programa interactivo es entonces, incapaz de determinar el tiempo del siguiente choque.

La bola puede continuar rebotando sobre el pistón o bien, puede quedar pegada al pistón. En la página titulada "Caída libre y sucesivos rebotes" hemos demostrado que una bola que rebota sobre un plano horizontal precisa un tiempo finito para llegar al reposo después de infinitos rebotes. Si la aceleración del pistón

-2·sin(ωt)

es mayor que la aceleración de la gravedad, la partícula no se pega al pistón, aunque podría rebotar y volver de nuevo al reposo sobre el pistón en un tiempo finito menor que el periodo de oscilación.

Sincronización

La cuestión que se plantea ahora es la de determinar la altura y0=h, y el instante t0, en el que se deja caer la bola para que el periodo P=tn+1-tn de la bola, el tiempo entre dos choques consecutivos, coincida con el periodo P=2π/ω de la oscilación del pistón (en color azul en la figura).

Para ello, los choques tendrán lugar en la misma posición ye=yb=yp,

La velocidad ub de la bola antes y después del choque con el pistón debe de ser la misma, pero cambiada de signo.

En otras palabras, la energía que pierde la bola en el choque como consecuencia de su inelasticidad debe ser igual a la ganancia en energía cinética después del impacto.

ub-vp=-e(-ub-vp)

v p = 1e 1+e u b

Como la bola sale y llega a la misma posición empleando un tiempo de vuelo P, su velocidad antes y después del choque valdrá

u b = 1 2 gP= πg ω

Para alcanzar esta velocidad, la bola tiene que partir de la altura h, de modo que llegue a la posición ye de choque con velocidad ub empleando un tiempo P/2

h= y e + 1 2 g ( P 2 ) 2 = y e + π 2 g 2 ω 2

Como el pistón parte del origen en el instante inicial t=0, alcanzando una velocidad vp= A·ω·cos(ωte) en el instante te del choque

t e = 1 ω arccos( v p Aω )= 1 ω arccos( 1e 1+e · πg A ω 2 ) = 1 ω arccos(k) 

La posición de encuentro es ye=yb=yp=A·sin(ωte)

y e =A 1 cos 2 (ω t e ) =A 1 v p 2 A 2 ω 2 =A 1 k 2

La bola se debe liberar con velocidad inicial cero, desde la altura

h= π 2 g 2 ω 2 + y e = π 2 g 2 ω 2 +A 1 k 2

En el instante t0 tal que el tiempo de vuelo hasta que se encuentra con el pistón sea P/2, es decir, te-t0=P/2

t 0 = arccoskπ ω

Puesto que k<1 la amplitud A tiene que cumplir la siguiente condición

 A>( 1e 1+e ) πg ω 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se sitúa la bola en la altura inicial h, y el pistón empieza a moverse entre las posiciones –A y +A.

Cuando se pulsa el botón Empieza, la bola se deja caer en el instante t0, que se señala en la parte superior derecha del applet. 

Se observa el movimiento de caída de la bola y los sucesivos rebotes sobre el pistón. En la parte derecha del applet, se representa la posición de la bola y del pistón en función del tiempo t. 

Ejemplo:

Introducimos los siguientes datos

Se pulsa el botón titulado Inicio

Observamos el movimiento del pistón, la bola permanece en su posición inicial

Esperamos un tiempo t0=0.69 s y pulsamos el botón titulado Empieza

v1=(1+0.9)·0.23+0.9·4.9=4.85 m/s

0=4.85-9.8·(t-1.19)    t=1.68 s

h=1.29 m

Se vuelve a repetir de nuevo proceso, para calcular el instante en el que se produce el segundo choque, y así sucesivamente.

Sincronización

Con los datos

Calculamos la altura h y el instante t0 en el que debe se soltar la bola

La frecuencia angular ω=2π/P=2π rad/s

el parámetro k vale

k=( 1e 1+e ) πg A ω 2 =( 10.9 1+0.9 ) π·9.8 0.1·4 π 2 =0.41

la bola se debe liberar con velocidad inicial cero, desde la altura

h= π 2 g 2 ω 2 +A 1 k 2 h= π 2 9.8 2·4·π 2 +0.1 10 .41 2 =1.32m

en el instante inicial t0

t 0 = arccoskπ ω t 0 = arccos0.41π 2π =0.31s

Se obtiene el mismo resultado si la bola se libera en el instante t0 que en el instante t0 más un número de periodos P, por ejemplo, en el instante t0=1-0.31=0.69, 1.69 s, etc.

Para observar la sincronización se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

Observamos que el pistón se pone en movimiento, oscilando entre las posiciones +10 y -10 cm.

En la parte superior derecha del applet, se muestra el tiempo en segundos. Cuando se llegue a una cantidad próxima a 0.69 s se pulsa el botón titulado Pausa. Se pulsa varias veces el botón Paso hasta que aparezca 0.69 s en el contador de tiempo. Se pulsa el botón titulado Empieza y a continuación el botón Pausa (Continua) para que prosiga el movimiento.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

La ruta hacia el caos

Vamos a examinar el comportamiento de la bola, después de efectuar N choques con el pistón, para ello vamos a modificar las condiciones iniciales de partida de la bola y del pistón del siguiente modo:

En el apartado anterior, la bola chocaba con el pistón en el instante t1 y su velocidad antes del choque era u1. La posición del pistón era

yp=A·sin(ωt1).

En este apartado, establecemos la velocidad u1 y la fase φ=ωt1 como datos de partida, en el instante t=0

El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. Su posición y velocidad en función del tiempo t es

yp=A·sin(ωt+φ)
vp
= A·ω·cos(ωt+φ)

siendo φ la fase inicial del movimiento

 

La bola choca con velocidad -v0 (hacia abajo) en el instante t1=0 con el pistón en la posición y1=A·sen(φ). La velocidad de la bola después del choque es

v1=(1+e)·A·ω·cos(φ)+e·v0

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t1<t<t2 serán

yb=y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2
vb=v1-
g(t-t1)

El resto del cálculo es el mismo que en el apartado "Ecuaciones del movimiento"

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón Empieza.

Se observa el movimiento de caída de la bola y los sucesivos rebotes sobre el pistón. En la parte derecha del applet, se representa la posición de la bola y del pistón en función del tiempo t. 

Se sugiere al lector que experimente con el programa interactivo, cambiando la fase para valores fijos de la velocidad inicial, de la frecuencia y del coeficiente de restitución. Se cambia ligeramente el coeficiente de restitución, manteniendo fijos los otros parámetros y así, sucesivamente.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Comportamiento de la bola cuando varía la frecuencia angular ω.

Más que el movimiento de la partícula a lo largo de un determinado tiempo, interesa el comportamiento de la bola en un intervalo de frecuencias, de amplitudes de oscilación del pistón, de coeficientes de restitución de la bola en su choque con el pistón, etc.

En el applet que viene a continuación, se examina el comportamiento de la bola cuando se cambia la frecuencia angular ω, de oscilación del pistón. Se hace que la bola rebote 100 veces sobre el pistón sin tomar ninguna medida, y a continuación se mide el intervalo de tiempo entre dos choques consecutivos Δt=tn+1-tn, durante otros 100 choques.

Se representa en el eje horizontal la frecuencia ω, y en el eje vertical la diferencia de tiempos Δt

Estos son los resultados producidos por la rutina escrita en lenguaje C que viene en la página http://chaos.phy.ohiou.edu/~thomas/download/bball.c, adaptada por el autor al lenguaje Java para correr en un applet.

Datos:

Podemos observar las bifurcaciones y la transición hacia el estado caótico

El autor ha elaborado un programa interactivo que no reproduce los resultados mostrados en la figura adjunta.

Se introduce

Se pulsa el botón Empieza.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Para los apartados "Ecuaciones del movimiento" y "Sincronización"

Alvarez, Luis W., Senecal G. Mechanical analog of the synchrotron, illustrating phase stability and two-dimensional focusing. Am. J. Phys. 43 (4) April 1972, pp. 293-296

Para el apartado  "La ruta hacia el caos"

Tufillaro N. B., Mello T. M., Choi Y. M. Albano A. M. Period doubling of a bouncing ball, J. Physique 47 Septembre (1986) pp. 1477-1482

http://chaos.phy.ohiou.edu/~thomas/chaos/bouncing_ball.html

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