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Dos discos que se acoplan. Conservación del momento angular

Tenemos dos discos, el inferior tiene un radio de 1 m y superior tiene un radio de 0.5 m que pueden girar alrededor del mismo eje pero con velocidades angulares distintas. En un momento dado, el disco superior cae y se acopla al disco inferior. Se pide calcular la velocidad angular de rotación del conjunto de los dos discos acoplados.

Mediante esta simulación, se quiere mostrar que las fuerza interiores o de interacción mutua entre las partículas del sistema no afectan al estado final del sistema.

Descripción

Tenemos un sistema formado por dos discos que giran alrededor de un eje común. El momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo, por lo que se conserva el momento angular

${\displaystyle M_{ext}=\frac{dL}{dt}{M}_{ext}=0L=\text{cte}}$

El momento angular de un sólido en rotación alrededor de un eje fijo con velocidad angular ω es L=Iω

La fórmula del momento de inercia I₀ de un disco respecto a un eje de rotación perpendicular al disco y que pase por su centro es $I_0=\frac{1}{2}m{R}^2$

Momento angular antes del acoplamiento

El momento angular del sistema antes del acoplamiento es la suma de los momentos angulares de cada uno de los discos

L=I₁ω₁+ I₂ω₂

Donde ω₁ y ω₂ son las velocidades angulares iniciales antes del acoplamiento.

Momento angular después del acoplamiento

Después del acoplamiento ambos discos llevan una velocidad angular común ω .

L=I₁ω + I₂ω

Principio de conservación del momento angular

Despejando la velocidad angular ω , tenemos

${\displaystyle \omega =\frac{I_1{\omega }_1+I_2{\omega }_2}{I_1+I_2}}$

Esta fórmula es similar al choque entre una bala y un bloque, cuando la bala se incrusta en el bloque.

Balance energético

Energía antes del acoplamiento

${\displaystyle E_i=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2+\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2}$

Energía después del acoplamiento

${\displaystyle E_f=\frac{1}{2}\left(I_1+I_2\right){\omega }^2}$

El trabajo de la fuerza de rozamiento en el acoplamiento es W=E_f-E_i. Haciendo algunas simplificaciones podemos llegar a esta expresión final

${\displaystyle W=-\frac{1}{2}\frac{I_1{I}_2}{I_1+I_2}{\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)}^2}$

La energía final es siempre menor que la inicial E_f<E_i

El papel de las fuerza internas

La velocidad angular de los discos acoplados cambia desde las velocidades angulares iniciales ω₁ y ω₂ a la velocidad angular final ω a lo largo de un tiempo t.

Sobre los discos actúan fuerzas interiores de rozamiento entre las superficies en contacto de modo que, uno de los discos se acelera y el otro se decelera hasta que adquieren la misma velocidad angular final ω.

Estas fuerza interiores ejercen un momento M_r. Imaginemos que ω₁ > ω₂, el momento M_r se opone a ω₁ decelerando el disco inferior y acelerando el disco superior tal como se muestra en la figura.

Imaginemos que ambos discos tienen momentos de inercia iguales I₁=I₂ y velocidades angulares iguales y de sentido contrario ω_{1 =}- ω₂, el momento M_r hace disminuir ambas velocidades, hasta que la velocidad angular final del conjunto es cero, tal como predice el principio de conservación del momento angular.

Ecuación de la dinámica de rotación

Formulamos la ecuación de la dinámica de rotación para cada uno de los discos

-M_r=I₁·α₁
M_r=I₂·α₂

Suponiendo que M_r es constante, las aceleraciones angulares son constantes, las velocidades angulares valdrán

ω₁ =ω₁₀ +α₁t
ω₂=ω₂₀+α₂t

donde ω₁₀ y ω₂₀ son las velocidades angulares iniciales en el instante t=0.

A partir de estas ecuaciones se puede calcular el tiempo t que tardan los discos en adquirir la misma velocidad angular ω₁=ω₂=ω.

${\displaystyle t=\frac{{\omega }_{10}-{\omega }_{20}}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}=M_r\frac{I_1{I}_2}{I_1+I_2}\left({\omega }_{10}-{\omega }_{20}\right)}$

También podemos calcular el desplazamiento de cada uno de los discos durante el intervalo de tiempo t.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_1={\omega }_{10}t+\frac{1}{2}{\alpha }_1{t}^2\\ {\theta }_2={\omega }_{20}t+\frac{1}{2}{\alpha }_2{t}^2\end{array}}$

Trabajo de las fuerzas internas

El trabajo del momento de la fuerza de rozamiento es

W=-M_r·θ₁+M_r·θ₂

Como vemos por las flechas en la figura, M_r es opuesto al desplazamiento θ₁ (trabajo negativo), y es del mismo sentido que el desplazamiento θ₂ (trabajo positivo).

Haciendo algunas operaciones podemos llegar en pocos pasos a la misma expresión para W que la que obtuvimos a partir del balance energético después de aplicar el principio de conservación del momento angular. Pero ahora podemos interpretar mejor el origen de la disipación de la energía durante el tiempo t que dura el acoplamiento (hasta que los discos alcanzan la misma velocidad angular final).

${\displaystyle W=-\frac{1}{2}\frac{I_1{I}_2}{I_1+I_2}{\left({\omega }_{10}-{\omega }_{20}\right)}^2}$

Ejemplos

Ejemplo 1º:

• Momentos de inercia

Sea m₁=0.2 kg, r₁=1.0 m, I₁=0.1 kg·m²
Sea m₂=0.8 kg, r₂=0.5 m, I₂=0.1 kg·m²

• Velocidades angulares iniciales

Sea ω₁=2 rad/s
Sea ω₂=0 rad/s

1. Principio de conservación del momento angular

0.1·2+0.1·0=(0.1+0.1)·ω , por lo que ω =1 rad/s

• Balance energético

E_i=0.2 J
E_f=0.1 J
W=E_f-E_i=-0.1 J

2. Fuerzas internas

Sea el momento de las fuerza se rozamiento M_r=0.1 N·m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco

-0.1=0.1·α₁
0.1=0.1·α₂

Ahora las velocidades angulares finales

ω₁=2-1·t
ω₂=0+1·t

Las velocidades angulares ω₁ =ω₂ se hacen iguales en el instante t=1 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular común es 1 rad/s

• Balance energético

Desplazamientos (ángulo girado por cada disco en el tiempo t)

θ₁=1.5 rad
θ₂=0.5 rad

Trabajo del momento de las fuerzas de rozamiento

W=-0.1·1.5+0.1·0.5=-0.1 J

El momento de las fuerzas de rozamiento se opone al desplazamiento del primer disco y favorece el del segundo

Obtenemos el mismo valor que en el apartado 1º

Ejemplo 2º

Un caso interesante se produce cuando ambos discos tienen el mismo momento de inercia, y velocidades angulares iguales y de sentido contrario

• Momentos de inercia

Sea m₁=0.2 kg, r₁=1.0 m, I₁=0.1 kg·m²
Sea m₂=0.8 kg, r₂=0.5 m, I₂=0.1 kg·m²

• Velocidades angulares iniciales

Sea ω₁=-4 rad/s
Sea ω₂=4 rad/s

1. Principio de conservación del momento angular

0.1·4-0.1·4=(0.1+0.1)·ω , por lo que ω =0 rad/s

Los discos se paran después de acoplarse

• Balance energético

E_i=1.6 J
E_f=0.0 J

La pérdida de energía durante el acoplamiento

W=E_f-E_i=-1.6 J

2. Fuerzas internas

Sea el momento de las fuerza se rozamiento M_r=0.1 N·m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco

-0.1=0.1·α₁
0.1=0.1·α₂

Ahora las velocidades angulares finales

ω₁=4-1·t
ω₂=-4+1·t

Las velocidades angulares ω₁ =ω₂ se hacen iguales en el instante t=4 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular final común es cero

• Balance energético

Desplazamientos (ángulo girado por los discos) durante el tiempo t

θ₁=8 rad
θ₂=-8 rad

Trabajo del momento de las fuerzas de rozamiento

W=-0.1·8+0.1·(-8)=-1.6 J

Fijarse ahora que el momento de las fuerzas de rozamiento se opone al desplazamiento de ambos discos

Actividades

Se introduce:

• Masa del disco inferior m₁ (kg)
• El radio del disco inferior está fijado en el programa r₁=1 m
• Velocidad angular inicial ω₁ (rad/s)
• Masa del disco superior m₂ (kg)
• El radio del disco superior está fijado en el programa r₂=0.5 m
• Velocidad angular inicial ω₂ (rad/s)
• Momento de las fuerzas de rozamiento entre los discos M_r (N·m)

Se pulsa el botón titulado Inicio.

Los discos empiezan a girar primero uno independientemente del otro. En la parte izquierda del applet, tenemos un diagrama de dos barras, una para la energía y otra para el momento angular.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se activa un mecanismo que hace que el disco superior se acople con el inferior (véase el dibujo en la parte inferior del applet).

Cuando están acoplados empieza a actuar el momento de las fuerzas de rozamiento.

En la parte derecha del applet, observamos la evolución de la velocidad angular de cada disco en función del tiempo. Podemos comprobar que la magnitud del momento de la fuerza de rozamiento no afecta a la velocidad angular final común de ambos discos. Tan sólo, al tiempo que tardan en alcanzar dicho estado final.

En la parte izquierda del applet, se muestra la energía y el momento angular de cada uno de los discos. La conservación del momento angular no implica la conservación de la energía. El efecto del acoplamiento es la disminución de la energía inicial que se pierde en forma de calor debido al rozamiento entre ambos discos, mientras que el momento angular permanece constante. El momento angular de un disco aumenta, el del otro disminuye pero la suma es constante.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

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