Medida del módulo de elasticidad

En esta experiencia simulada, se va a medir el módulo de elasticidad de un hilo de un metro de longitud, de sección circular cuyo radio en mm podemos modificar.

Módulo de elasticidad

Un hilo metálico sometido a un esfuerzo de tracción sufre una deformación que consiste en el aumento de longitud y en una contracción de su sección.

Supondremos que el aumento de longitud es el efecto dominante, sobre todo en hilos largos y de pequeña sección. Estudiaremos el comportamiento elástico de los hilos, aquél en el que existe una relación de proporcionalidad entre la fuerza F aplicada al hilo y el incremento ΔL de su longitud o bien, entre el esfuerzo F/S y la deformación unitaria ΔL/L₀.

$\frac{F}{S} = Y \frac{Δ L}{L_{0}}$

Donde S es la sección del hilo S=π r², y Y es una constante de proporcionalidad característica de cada material que se denomina módulo de elasticidad o módulo de Young.

Metal	Módulo de Young, Y·10¹⁰ N/m²
Cobre estirado en frío	12.7
Cobre, fundición	8.2
Cobre laminado	10.8
Aluminio	6.3-7.0
Acero al carbono	19.5-20.5
Acero aleado	20.6
Acero, fundición	17.0
Cinc laminado	8.2
Latón estirado en frío	8.9-9.7
Latón naval laminado	9.8
Bronce de aluminio	10.3
Titanio	11.6
Níquel	20.4
Plata	8.27

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975.

alargamiento3.gif (2532 bytes) Representando el esfuerzo en función de la deformación unitaria para un metal obtenemos una curva característica semejante a la que se muestra en la figura.

Durante la primera parte de la curva, el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria, estamos en la región elástica. Cuando se disminuye el esfuerzo, el material vuelve a su longitud inicial. La línea recta termina en un punto denominado límite elástico.

Si se sigue aumentando el esfuerzo la deformación unitaria aumenta rápidamente, pero al reducir el esfuerzo, el material no recobra su longitud inicial. La longitud que corresponde a un esfuerzo nulo es ahora mayor que la inicial L₀, y se dice que el material ha adquirido una deformación permanente.

El material se deforma hasta un máximo, denominado punto de ruptura. Entre el límite de la deformación elástica y el punto de ruptura tiene lugar la deformación plástica.

alargamiento4.gif (2358 bytes) Si entre el límite de la región elástica y el punto de ruptura tiene lugar una gran deformación plástica el material se denomina dúctil. Sin embargo, si la ruptura ocurre poco después del límite elástico el material se denomina frágil.

En la figura, se representa el comportamiento típico de esfuerzo - deformación unitaria de un material como el caucho. El esfuerzo no es proporcional a la deformación unitaria (curva de color rojo), sin embargo, la sustancia es elástica en el sentido que si se suprime la fuerza sobre el material, el caucho recupera su longitud inicial. Al disminuir el esfuerzo la curva de retorno (en color azul) no es recorrida en sentido contrario.

La falta de coincidencia de las curvas de incremento y disminución del esfuerzo se denomina histéresis elástica. Un comportamiento análogo se encuentra en las sustancias magnéticas.

Puede demostrarse que el área encerrada por ambas curvas es proporcional a la energía disipada en el interior del material elástico. La gran histéresis elástica de algunas gomas las hace especialmente apropiadas para absorber las vibraciones.

Medida del módulo de elasticidad

En la figura, se muestra el dispositivo experimental. Se emplea un hilo de un metro de longitud dispuesto horizontalmente fijado por un extremo, mientras que el otro pasa por una polea. Del extremo libre se cuelgan pesas de 100 g, 250 g ó 500 g.

Al poner pesas sobre el extremo libre del hilo, el alambre se alarga y la polea gira un ángulo igual a ΔL/r. Siendo r el radio de la polea.

Como el alargamiento ΔL es pequeño, se puede medir mediante una aguja indicadora que marca sobre un sector circular cuyo radio es R=10·r veces el radio de la polea.

Como vemos en la figura, las longitudes de los arcos son proporcionales a los radios, de modo que

$\frac{s}{Δ L} = \frac{R}{r}$

El arco s es 10 veces mayor que el alargamiento ΔL.

Ejemplo:

Radio de la sección del hilo, 0.25 mm
Material, Aluminio
Se colocamos 6 pesas de 250 g en el extremo libre del hilo

La fuerza aplicada es F=mg=6·0.25·9.8 N

La lectura en la escala graduada semicircular es s=1.19 cm, que corresponde a una deformación de ΔL=1.19 mm.

$\frac{F}{S} = \frac{6 \cdot 0.25 \cdot 9.8}{π \cdot {(0.00025)}^{2}} \frac{Δ L}{L_{0}} = \frac{0.00119}{1}$

El cociente entre el esfuerzo y la deformación es el módulo de Young

Y=6.29·10¹⁰ N/m²

Representación gráfica de los datos "experimentales"

A medida que se van colgando pesas en el extremo libre del hilo, en el control área de texto situado a la izquierda del applet se recogen los pares de datos (fuerza que ejercen las pesas en kg, deformación en mm)

Una vez que se ha recolectado suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica. Se representa los datos "experimentales"

En el eje vertical la deformación ΔL, en mm
En el eje horizontal se representa el peso m en kg.

En la práctica real se calcula y representa la recta que mejor ajusta a los datos experimentales por el procedimiento de los mínimos cuadrados. En el programa interactivo, se proporciona le valor de la pendiente a de la recta ΔL=a·m . A partir de este dato, se calcula el módulo de Young.

Sea a=ΔL/m la pendiente de la recta en m/kg. El módulo de Young se calcula a partir del valor de la pendiente a

$Y = \frac{m g}{π r^{2}} : \frac{Δ L}{L_{0}} = \frac{m}{Δ L} \frac{g L_{0}}{π r^{2}} = \frac{1}{a} \frac{g L_{0}}{π r^{2}}$

Supongamos que se ha realizado la "experiencia" con un hilo

El radio de la sección del hilo, r=0.25 mm
El material, Aluminio

El programa interactivo calcula la pendiente de la recta a= 7.92·10^-4 m/kg. El módulo de Young es, entonces

$Y = \frac{9.8 \cdot 1.0}{7.92238 \cdot 10^{- 4} \cdot π \cdot {(0.00025)}^{2}} = 6.3 \cdot 10^{10} {N/m}^{2}$

Actividades

Se introduce

El radio del hilo en mm, en el control de edición titulado Radio
El metal del que está hecho el hilo, en el control de selección titulado Material
El tipo de pesa que cuelga del extremo libre del hilo, activando el botón de radio titulado 100g, 250 g, ó 500 g.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se arrastra con el ratón la pesa que aparece en la parte inferior derecha del applet, y se engancha en el extremo del hilo, o en la parte inferior de una pesa previamente colocada.

Cuando se han colgado varias pesas (hasta un máximo de 10) se pulsa el botón titulado Gráfica. A partir del dato de la pendiente de la recta, se calcula el módulo de Young

Se pulsa el botón titulado Respuesta, para para comparar el valor del módulo de Young calculado con el del material seleccionado.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Se arrastra la pesa con el puntero del ratón y se cuelga del extremo del hilo