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Escalera apoyada en dos paredes perpendiculares por la que sube una persona.

Supongamos una escalera homogénea de masa m y longitud L apoyada en dos paredes perpendiculares. Un hombre de masa M sube por la escalera hasta un peldaño situado a una distancia d del extremo inferior de la escalera, vamos a estudiar el comportamiento del sistema formado por la escalera supuesta una varilla homogénea y el hombre supuesto una masa puntual.

Estática

Las fuerzas sobre la escalera son las que se dibujan en la figura. Fx es la reacción de la pared vertical supuesta lisa (sin rozamiento) N es la  fuerza que ejerce la pared horizontal mg es el peso que actúa en el centro de masas de la escalera Mg es el peso del hombre. Fr es la fuerza de rozamiento que impide que el extremo inferior de la escalera deslice

Cuando la escalera forma un ángulo θ con la vertical las ecuaciones de equilibrio son:

La resultante de la fuerzas debe ser cero.

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x=F_r\\ N=mg+Mg\end{array}}$

El momento de las fuerzas respecto de cualquier punto (por ejemplo el extremo inferior de la escalera) es cero.

${\displaystyle -F_{x}L\cos \theta +mg\frac{L}{2}\text{sin}\theta +Mgd\text{sin}\theta =0}$

Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento F_r que sujeta el extremo inferior de la escalera.

${\displaystyle F_r=\frac{mL/2+Md}{L}g\tan \theta }$

A medida asciende el hombre por los peldaños de la escalera, se incrementa d, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando

F_r=μ_sN= μ_s(mg+Mg)

Donde μ_s es el coeficiente estático de rozamiento

El valor máximo del desplazamiento d_m del hombre a lo largo de la escalera es

${\displaystyle d_m=L\left(\frac{{\mu }_s(m+M)}{M\tan \theta }-\frac{m}{2M}\right)}$

Dinámica

La posición del centro de masas del sistema formado por el hombre y la escalera se encuentra a una distancia x_c medida desde el extremo inferior de la escalera

${\displaystyle x_c=\frac{M{d}_m+mL/2}{m+M}}$

Aplicando el teorema de Steiner calculamos el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masas

${\displaystyle I_c=\frac{1}{12}m{L}^2+m{\left(\frac{L}{2}-x_c\right)}^2+M{(x_c-d_m)}^2}$

La fuerza de rozamiento F_r=μN en el extremo inferior de la escalera disminuye ligeramente, ya que el coeficiente cinético μ suele ser menor que el estático μ_s

El movimiento de la escalera consta de dos etapas:

1.- El extremo superior de la escalera permanece en contacto con la pared vertical

Movimiento de traslación del cm. ${\displaystyle \begin{array}{l}(m+M)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F_x-\mu N\\ (m+M)\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=N-mg-Mg\end{array}}$

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

${\displaystyle \begin{array}{l}{I}_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=N{x}_c\text{sin}\theta -F_x(L-x_c)\cos \theta -\mu N{x}_c\cos \theta +mg\left(\frac{L}{2}-x_c\right)\text{sin}\theta -Mg(x_c-d_m)\text{sin}\theta \\ I_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=(x_c\text{sin}\theta -\mu x_c\cos \theta )N-F_x(L-x_c)\cos \theta +mg\left(\frac{L}{2}-x_c\right)\text{sin}\theta -Mg(x_c-d_m)\text{sin}\theta \end{array}}$

La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la barra está apoyada en la pared vertical F_x>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.

${\displaystyle x=(L-x_c)\sin \theta y=x_c\cos \theta }$

Derivamos dos veces respecto del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=(L-x_c)\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=(L-x_c)\left\{-\text{sin}\theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\cos \theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right\}\\ \frac{dy}{dt}=-x_c\text{sin}\theta \frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-x_c\left\{\cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\text{sin}\theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right\}\end{array}}$

Despejamos F_x y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.

${\displaystyle \begin{array}{l}N=(m+m)\left\{g-x_c\cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-x_c\text{sin}\theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right\}\\ F_x=(m+M)\left\{\mu g+\left((L-x_c)\cos \theta -\mu x_c\text{sin}\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}-\left((L-x_c)\text{sin}\theta +\mu x_c\cos \theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right\}\end{array}}$

Introducimos N, F_x en la ecuación de la dinámica de rotación. Obtenemos la ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=B{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+C\\ A=I_c+(m+M)\left\{x_c^2{\text{sin}}^2\theta -\mu L{x}_c\text{sin}\theta \cos \theta +{(L-x_c)}^2{\cos }^2\theta \right\}\\ B=(m+M)\left\{-x_c^2\text{sin}\theta \cos \theta +\mu L{x}_c{\cos }^2\theta +{(L-x_c)}^2\text{sin}\theta \cos \theta \right\}\\ C=mg\frac{L}{2}\text{sin}\theta +Mg{d}_m\text{sin}\theta -\mu (m+M)gL\cos \theta \end{array}}$

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ₀.

Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical F_x va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t₁. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ₁  y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)₁.

La velocidad horizontal del centro de masas es

${\displaystyle {\left(\frac{dx}{dt}\right)}_1=(L-x_c)\cos {\theta }_1{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_1}$

2.- El extremo superior de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical

Las ecuaciones del movimiento son

Movimiento de traslación del centro de masas ${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\mu N\\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=N-mg-Mg\end{array}}$

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

${\displaystyle I_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=N{x}_c\text{sin}\theta -\mu N{x}_c\cos \theta +mg\left(\frac{L}{2}-x_c\right)\text{sin}\theta -Mg(x_c-d_m)\text{sin}\theta }$

La ordenada y del centro de masas es

${\displaystyle y=x_c\cos \theta }$

Derivamos dos veces respecto del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=-x_c\text{sin}\theta \frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-x_c\left\{\cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\text{sin}\theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right\}\end{array}}$

Despejamos la reacción N

${\displaystyle N=(m+m)\left\{g-x_c\cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-x_c\text{sin}\theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right\}}$

Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m.

Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=g-x_c\left\{\cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\text{sin}\theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right\}\\ A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=B{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+C\\ A=I_c+(m+M)x_c^2\left\{\text{sin}\theta -\mu \cos \theta \right\}\text{sin}\theta \\ B=-(m+M)x_c^2\left\{\text{sin}\theta -\mu \cos \theta \right\}\text{cos}\theta \\ C=mg\frac{L}{2}\text{sin}\theta +Mg{d}_m\text{sin}\theta -\mu (m+M)g{x}_c\cos \theta \end{array}}$

Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t₁, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ₁ y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)₁. y la velocidad horizontal del centro de masas es

${\displaystyle {\left(\frac{dx}{dt}\right)}_1=(L-x_c)\cos {\theta }_1{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_1}$

Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2

Actividades

Se introduce

• El ángulo θ que forma la escalera con la vertical, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

• El coeficiente estático de rozamiento μ_s, actuando en la barra de desplazamiento titulada C. estático.

• El coeficiente cinético de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada C. cinético

• La masa del hombre M en kg, en el control de edición titulado Masa

• Se han fijado la longitud de la escalera en L=10 m y la masa m=10 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza

La escalera permanece en equilibrio

En caso contrario, observamos el movimiento del sistema formado por la escalera y una masa puntual y las fuerzas sobre la misma.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García