Oszilazioak

Hasierako egoerarekiko menpekotasuna

Bidebanatzeak

Azter dezagun sistema oszilatzaile baten portaera A parametro baten balio ezberdinetarako eta hasierako balio batetik abiatuta. Sistema hori ekuazio logistiko deiturikoaz adierazten da:

X_j+1=4·A·X_j(1-X_j)

eta hemen:

• X_j sistemaren egoera da, aldiune honetan.
• X_j+1 sistemaren egoera da ondorengo aldiune batean.
• A parametroak edozein balio har dezake (0, 1) tartean.

Sistemak aldiune jakin batean zein egoera izango duen ezagutzeko, prozesu iteratiboa jarraitu beharra dago, alegia, hasierako X₀ balio batekin abiatu eta ekuazio logistikoarekin hurrengo balioa lortu: X₁

X₁=4·A·X₀(1-X₀).

Orain, hauxe da hasierako egoera hurrengo iteraziorako:

X₂=4·A·X₁(1-X₁)

Eta horrela behin eta berriz errepikatu.

A parametroaren balioaren arabera, sistemak balio bakar baterantz jo dezake (eta egoera hori hasierako egoeraren independentea izan), edota sistemak bi balio finkoren artean oszila dezake, edo lauren artean, eta abar. Balio kritiko batetik aurrera (A_k= 0.892486) sistemak oszilatu egiten du baina infinitu egoeren artean eta bere portaera oso menpekoa da hasierako balioarekin.

Har dezagun esaterako masa-malgukia sistema, (errebotatzen duen osziladore behartua). X aldagaiak erreboteen segidaren desplazamendu maximoa adieraz lezake.

Programa interaktiboak, sistemaren amaierako egoerak adierazten ditu (ardatz bertikalean) A parametroaren menpe (ardatz horizontalean). Horrela, sistemaren ikuspegi globala izan dezakegu.

Ikusten da, nola A-ren balio mugatzaile bateraino, A₀, sistemak egoera bakar baterantz jotzen duela, beste bigarren balio mugatzaile bateraino, A₁, sistemak bi egoeren artean oszilatzen duela, hirugarren balio mugatzaile bateraino, A₂, lau egoeren artean oszilatzen duela, eta horrela behin eta berriz errepikatzen da. Defini dezagun honako erlazioa:

Ikus daitekeenez, portaera erregularrak behatzen dira (eta hasierako balioaren independenteak) portaera kaotikoaren barruan (A>A_k), esaterako A=0.935 inguruko eskualdean. Horrelako eskualdeei egonkortasun irla deritze.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• A parametroaren hasierako balioa, A nondik kontrolean idatziz.
• A parametroaren amaierako balioa, noraino kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Programak x-entzat 200 balio hartzen ditu hautatutako tartean. Oso interesgarria da 0.9 - 1.0 tartea behatzea.

Hasierako egoerarekiko menpekotasuna

Azter dezagun zehatzago ekuazio logistikoa eta beha dezagun X egoeren eboluzioa denboran zehar, A parametroaren balio bat aukeratuz eta hasierako X₀ balio ezberdin bi frogatuz. Gorriz adierazten dira lehen X₀₁ hasierako balioarekin lortutako X₁ egoerak eta urdinez adierazten dira bigarren X₀₂ hasierako balioarekin lortutako X₂ egoerak.

A-ren balio gehienetarako, ondorengo X egoerek ez dute hasierako balioaren menpekotasunik, eta bakarrik ikusten dira puntu urdinak (puntu urdinak gorrien ondoren irudikatzen direlako). Baina A-ren balio kritikoa gaindituz ( A_k=0.892486) ondorengo X egoerek hasierako balioaren menpekotasuna dute, eta beraz, puntu gorriak eta urdinak ezberdinak dira.

Ondorengo programarekin aurki daitezke A-ren balio mugatzaileak: A₀ sistemak egoera bakar batera jotzen duenekoa, A₁, sistemak egoera biren artean oszilatzen duenekoa, A₂, lau egoeren artean oszilatzen duenekoa, eta abar...

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• A parametroaren balioa, dagokion kontrolean idatziz.
• X-en hasierako balio bi (0 eta 1 bitartean), (X₀₁ eta X₀₂) dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Programak X₀₁ eta X₀₂ balioetatik abiatuta, X₁ eta X₂ kalkulatu eta irudikatzen ditu. Ikusten denez, A-ren arabera, posiblea da X₁ eta X₂ berdinak edo ezberdinak izatea.