Oszilazioak

Adierazpen grafikoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Osziladore ez linealen portaera kaotikoa erakusten duen kasu interesgarrienetako bat "txurrua tantaka" da. Eredu gisa hartuko dugu malguki elastiko bat, eta bertan eskegita, masa aldakor bat. Eredu horrek ondo erakusten ditu sistema konplexu honen oinarrizko ezaugarriak.

Ereduaren deskribapena

Eredu hori deskribatzen duen ekuazio diferentziala hau da:

Ekuazio hori eta osziladore indargetuarena, ur-tantaren mg pisua ere kontuan hartuta, berdinak dira.

• x , ur-tantaren desplazamendua da.

• m, ur-tantaren masa da, eta denboran zehar handituz doa.

• k , malgukiaren konstantea da.

• β indargetze konstantea.

Baina, ur-tantaren m masa ez da konstantea, aldakorra baizik, txurrutik irteten ari den Φ ur-fluxu txikiaren eraginez. Honela:

Indargetze konstantea, β, urak tantaren barruan daukan higidurari dagokio, eta Φ ur fluxuari:

β= β₁+ β₂Φ

Eta hemen  β₁ eta β₂ konstanteak dira.

Tantaren tamaina handituz doa apurka-apurka eta, bere pisuaren eraginez, behera desplazatzen da (x handituz). Desplazamendu maximo bat atzematen duenean (x0) eusten ari zaion ur-hariak etsi egiten du eta hautsi egiten da. Une horretan, ur-tanta askatu egiten da. Tantaren Δm masa honela adierazten da:

Ur-tanta bat askatzen den bakoitzean, hurrengo tantaren hasierako baldintzak honela erabakitzen dira:

• Hasierako posizioa, x₀.
• Hasierako abiadura, dx/dt=0
• Hasierako masa, m₀=m -Δm

Ekuazio diferentzial hori prozedura numerikoez ebatzi behar da, esaterako Runge-Kutta-rena. Parametro guztien balio zehatzak erreferentzietan aipatutako artikulutik hartu dira:

Ondorengo simulazioan, parametro horien guztien balioak finko mantentzen dira, eta Φ fluxua aukeran alda daiteke 10·10^-6 eta 100·10^-6 -tartearen barruan (unitate arbitrarioak). Fluxu hori konstantetzat hartzen da.

Lehen tantak

Ekuazio diferentziala prozedura numerikoez ebazteko, hasierako baldintzak ezarri behar dira: t=0 aldiunean, tantaren posizioa, abiadura eta masa ezarri behar dira, eta horrek determinatuko du, denbora tarte bat beranduago, lehen tantaren erorketa nolakoa izango den.

• Hasierako posizioa: x=0.02
• Hasierako abiadura: dx/dt=0
• Hasierako masa: m₀=1.0·10^-6

Lehen tanten eboluzioa ez da kontutan izan behar, hasierako baldintza inposatuak izan dituelako, baina aurrerantzekoak bai. Ikus bedi "Bidebanatzeak eta erregimen kaotikoa"-ren kapituluko hasierako egoerarekiko menpekotasuna.

Adierazpen grafikoa

Faseen espazioa

Faseen espazioan honako aldagaiak erakusten dira:

• Ardatz bertikalean, tantaren x posizioa.

• Ardatz horizontalean, tantaren abiadura, dx/dt.

Adierazpen hori oso adierazgarria izaten da higidura periodikoetan.

Osziladore bat hasierako x₀ posiziora itzultzen bada P denbora-tarte baten ondoren (oszilazioaren periodoa) eta hasierako abiadura bera badu, faseen espazioan ibilbide itxi bat deskribatzen du, oszilazio askeen ikasgaian erakutsi dugun bezalaxe. Aldiz, oszilazio indargetuetan, osziladorearen ibilbidea irekia da, espiral bat, koordenatuen jatorrirantz jotzen duena, zeren osziladorea ez da sekula hasierako egoera berera itzultzen.

Lorentz-en mapa,

Lorentz-en mapan adierazten da:

• Ardatz horizontalean, n-1 tanta eta n tanta askatzen diren uneen arteko denbora-tartea: T_n .

• Ardatz bertikalean, n tanta eta n+1 tanta askatzen diren uneen arteko denbora-tartea: T_n+1.

Denbora-tarte guztiak berdinak balira, T_i , orduan Lorentz-en mapak puntu bakar bat erakutsiko du. Aldiz, bi periodo baldin badaude, Lorentz-en mapan bi puntu ageriko dira, hiru periodo hiru puntu eta horrela...

Erregimen kaotikoan T_i periodoak aleatorioki aldatzen badoaz, puntu-multzo bat osatuko da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Fluxua, Φ, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Grafiko mota aukera daiteke, dagokion botoia aktibatuz: faseen espazioa edo Lorentz-en mapa.

Hasi botoia sakatu.

Adibideak:

Aukera dezagun honako fluxua: Φ=35·10^-6  desplazamendu barran 35 aukeratuz.

Bazter ditzagun hasierako tanten portaerak, lehen esan dugunez, ez baitira kontutan hartu behar, hasierako baldintzak inposatuak izan direlako. Zenbait tanta askatu ondoren:

• Faseen espazioko ibilbidea kurba itxia dela ikusten da.

• Lorentz-en mapan puntu bakar bat agertzen da.

Aukera dezagun honako fluxua: Φ=20·10^-6  desplazamendu barran 20 aukeratuz.

• Faseen espazioan, kurba ezberdin bi agertzen dira, alternatuz, eta bakoitzak periodo ezberdina dauka. Periodoak leihatilaren eskumako eta goiko ertzean idatzita agertzen dira.

• Lorentz-en mapan bi puntu agertzen dira (hasierako hiru tantak kenduta).

Aukera dezagun honako fluxua: Φ=46·10^-6  desplazamendu barran 46 aukeratuz.

• Faseen espazioan, zenbait kurba ezberdin agertzen dira; bakoitzak periodo ezberdina dauka.

• Lorentz-en mapan puntu-multzo bat agertzen da, kurba baten antzera.