Oszilazioak

Sistemaren sentsibilitatea, hasierako baldintzetan aldaketa txikiak eginez gero

Saiakuntza

Erreferentzia

Har dezagun orain M masadun plataforma bat, k konstantedun malguki baten gainean lotuta. Malgukiaren beste muturra zoruan lotuta dago eta bertikalki kokatuta. Plataforma dagoen tokia baino h altuera gorago, m masadun bloke bat erortzen uzten da. Ikus ezazu ondorengo irudia.

Blokea erori eta plataformaren kontra talka egiten du, elastikoki. Talkaren ondoren, blokeak gorantz errebotatzen du eta plataformak beherantz baina, handik gutxira, blokeak behera egingo du eta plataformak gora, eta berriz ere talka egingo dute. Horrela behin eta berriz, etengabe.

Sistema hau aztertzeko, ekuazio klasikoak erabiltzen dira: plataforma-malgukia multzoa Higidura Harmoniko Sinpleaz mugitzen da. Blokearen higidura, berriz, erorketa askea da, eta talkaren aldiunean, momentu linealaren eta energiaren kontserbazio-printzipioak aplikatzen dira.

Sistema kontserbakorra da eta multzoaren energia osoa konstante mantentzen da, Blokea-Plataforma-Malgukia.

Higiduraren ekuazioak

Higidurak zenbait atal ezberdin ditu. Lehenik, har dezagun malgukiaren oreka posizioa (deformaziorik gabekoa) altueren jatorritzat. Denbora neurtzeko, batetik, neurtuko dugu atal bakoitzaren t denbora partziala eta, bestetik, higidura osoaren tt denbora totala, blokea askatu den aldiunetik.

Hasierako aldiunea

Ondoko irudiak hasierako aldiunea erakusten du. Blokeak (gorriak) m masa dauka eta pausagunean dago jatorritik h altueran. Plataformak (urdinak) M masa dauka, eta k konstantedun malgukiaren gainean datza. Plataformaren pisuak, Mg, malgukia zapaldu egiten du ye distantzia, oreka-posizioraino. Orekan, pisua eta malgukiaren indarra berdinak dira: Mg= k·ye. Beraz, ye=Mg/k Multzoaren hasierako energia totala hau da:

Blokearen higidura

Blokea (gorria) askatu egiten da eta aske erortzen da:

Plataforma (urdina) pausagunean mantentzen da, oreka-posizioan:

y= -y_e
v_y=0

Blokeak plataforma jotzen duenean, x= -y_e.  Dei diezaiogun aldiune horri, t₁.

Eta blokearen abiadura aldiune horretan:

v_x= -g·t₁

Talka elastikoa

Blokearen eta plataformaren arteko talkan, bikotea multzo isolatutzat har dezakegu (oso iraupen laburrekoa bada). Beraz, momentu lineal totala kontserbatuko da. Gainera, talka elastikoa bada, energia zinetikoa ere berdina izango da justu talkaren aurretik eta justu ondoren.

Hemen v_x eta V_x blokearen abiadurak dira, talka baino lehen eta ondoren, eta v_y eta V_y plataformaren abiadurak, talka baino lehen eta ondoren. (v xeheak talka baino lehen, v larriak ondoren).

Ekuazioak bestela berridatz daitezke:

Bigarren ekuazioa berridatz daiteke, karratuak eliminatuz:

Ekuazio bien arteko zatidura eginez termino asko sinplifikatzen dira, eta lehen ekuazioa osorik hartuta, berriz ere ekuazio biko sistema lortzen da, baina oraingoan lehen gradukoak dira ekuazio guztiak.

Sistema horrek ematen ditu blokearen eta plataformaren abiadurak, talkaren ondoren, V_x eta V_y.

Blokearen higidura talkaren ondoren

Lehen talkaren ondoren, t=0, (eta denbora totala tt=t₁) blokea gorantz abiatzen da, x₀= -y_e posiziotik eta honako abiaduraz: v_0x=V_x Aurrerantzean, honela mugituko da:

Plataformaren higidura, talkaren ondoren

Lehen talkaren ondoren, t=0, (eta denbora totala tt=t₁) plataforma beherantz abiatzen da, y₀= -y_e posiziotik eta honako abiaduraz: v_0y=V_y

Plataformak bi indar jasaten ditu: pisua eta malgukiaren indarra. Newtonen bigarren legea honela idazten da:

Ma= -ky -Mg

Ekuazio diferentzial  gisa:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa bi soluzioren batura da: batetik, ekuazio homogeneoaren soluzioa:

y₁=A·sin(ωt)+B·cos(ωt)

hemen A eta B konstanteak dira, baina hasierako baldintzen menpekoak.

Eta, bestetik, ekuazio osoaren soluzio partikularra (konstante bat):

y₂=C

Soluzio partikular hori berriz ere ekuazio diferentzial osoan ordezkatzen bada, C konstantearen balioa lortzen da:

ω²C = -g

Eta azkenik, ekuazio diferentzial osoaren soluzio osoa bi soluzioen batura da: y=y₁+y₂

Orokorrean, hasierako baldintzak honakoak dira: t=0 aldiunean, plataforma y₀ posiziotik abiatzen da eta v_0y abiadurarekin. Hasierako baldintzak ezarrita, A eta B konstanteak kalkulatzen dira eta higidura ekuazioak zehazki ezagutzen dira:

Bigarren talka

Hurrengo talka gertatzen den aldiuneari dei diezaiogun t₂, (denbora totala tt=t₁+t₂). Une horretan, blokearen x posizioa eta plataformaren y posizioa berdinak dira; x = y . Ekuazio hori transzendentea da:

Ekuazio transzendente horren soluzioa t2 da. Ondoren kalkulatzen da, non gertatzen den bigarren talka: xc=yc.

Blokearen abiadura justu talka baino lehen:

Plataformaren abiadura justu talka baino lehen:

Berriz ere talka elastikoa gertatuko da, lehen bezala: V_x eta V_y abiadurak kalkulatu behar dira, alegia, blokearen eta plataformaren abiadurak talkaren ondoren. Talkaren ondorengo abiadura horiek, hurrengo atalerako hasierako abiadurak izango dira: v_0x=V_x eta v_0y=V_y . t=0 aldiunean (denbora totala, tt=t₁+t₂) eta hasierako posizioak: x₀= x_c, y₀= y_c  t₂ aldiunean kalkulatutakoak.

Blokeak gorantz errebotatzen du, plataformak beherantz eta, ondoren, berriz ere elkartuko dira, behin eta berriz.

Multzo osoaren energia totala (blokea-malgukia-plataforma) honela adieraz daiteke, edozein aldiunetan:

Energia total hori konstantea da.

Sistemaren sentsibilitatea, hasierako baldintzetan aldaketa txikiak eginez gero

Oso interesgarria izaten da "kaos-erregimenean", zer nolako sentsibilitatea duen sistemaren portaerak, hasierako baldintzetan aldaketa txikiak eragiten baditugu.

Esaterako, ikus ditzagun adibide batzuk, blokearen hasierako h altuera aldatzen bada,

1. adibidea:

• Blokearen masa, m=10 kg.

• Plataformaren masa, M=20 kg

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=2000 N/m

Ondoko irudiak erakusten du x-t adierazpena hasierako altuera ezberdin birekin:

• Hasierako altuera, h=1.0 marra gorriaz.

• Hasierako altuera, h=1.01 marra urdinaz.

Blokearen posizioak, esaterako tt=10 s aldiunean, oso antzekoak dira.

2. adibidea:

• Blokearen masa, m=15 kg.

• Plataformaren masa, M=20 kg

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=2000 N/m

Ondoko irudiak erakusten du x-t adierazpena hasierako altuera ezberdin birekin:

• Hasierako altuera, h=1.0 marra gorriaz.

• Hasierako altuera, h=1.01 marra urdinaz.

Blokearen posizioak, esaterako tt=10 s aldiunean, oso ezberdinak dira.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Blokearen masa, m, dagokion kontrolean idatziz.

• Plataformaren masa, M, dagokion kontrolean idatziz.

• Malgukiaren konstante elastikoa (N/m), k, dagokion kontrolean idatziz.

• Blokea askatzen den hasierako altuera, h , desplazamendu-barrari saguaz eragiten baina (0.95, 1.05) tartean soilik.

Berria botoia sakatu.

Hasi aurretik, programak malgukiaren deformazio maximoa kalkulatzen du lehen talkaren ondoren. Deformazioa 0.5 metro baino handiagoa bada, programak eskatzen du: "blokearen masa gutxitu edo konstante elastikoa handitu".

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerraldean, blokea ikusten da, erori eta plataformaren kontra talka egiten duela, behin eta berriz. Leihatilaren eskumako aldean adierazpen grafikoa erakusten da: blokearen x posizioa  tt denbora totalaren menpe.

Kalkuluetan erroreak pilatzen ote doazen jakiteko, programak uneoro energia totalaren errore erlatiboa kalkulatzen du:

E sistemaren energia totala da eta E₀ hasierako energia totala. Errore horrek nulua izan behar du, edo oso txikia behintzat: horrek esan nahi du sistemaren energia totala kontserbatzen ari dela eta, hortaz, programa kalkuluak zuzen egiten ari dela. Aldiz, talka kontsekutibo bi oso-oso hurbil gertatzen badira (prozedura numerikoaren denbora-urratsaren antzekoa), kalkuluak huts egiten du eta ikusten da, errore horren balioa asko handitzen dela. Beraz, kalkuluak okerrak dira eta programa geldiarazi behar da.

Blokearen x posizioa konpara daiteke hasierako bi altuera ezberdinekin eta grafiko berean (ikus itzazu goiko bi irudiak). Horretarako, x-t grafiko bat osatu behar da (marra gorriaz edo urdinaz) eta nahi den denbora tartean: 0-10seg, 10-20seg, 20-30 seg… Leihatilako irudia kopiatu (ctrl-C) eta itsats ezazu Windows sistemak dakarren "Paint" programan. Ondoren, alda ezazu blokearen hasierako h altuera eta osa ezazu x-t grafiko berri bat denbora-tarte berean (marra gorriaz edo urdinaz). Berriz ere leihatilako irudia kopiatu (ctrl-C) eta itsats ezazu "Paint" programan, bestearen gainean.

Bigarren irudia lehenengoaren gainean itsatsi baino lehen, Paint programaren "irudi opakuak egin" (Imagen/dibujar figuras opacas) aukera ezeztatu behar da, bestela, bigarren irudiak lehena ezabatuko du.