Oszilazioak

Jatorrian errebotatzen duen osziladore behartua

Erantzuna anplitudean

Erreferentziak

Gorputz baten higidura osoa determina daiteke ezagutzen badira jasaten dituen indarrak eta hasierako baldintzak. Horixe egin dugu malguki batean lotutako partikula baten kasuan eta hainbat baldintza ezberdinetan (marruskadurarik gabe, marruskadura konstantearekin, marruskadura likatsuarekin, indar oszilatzaile baten eraginpean). Portaera horri determinista deritzo, eta behin abiatuta, indarrak aldatzen ez badira, gorputzaren etorkizuna ezin da inola aldatu.

Aldiz, kaosa jasaten duen sistema baten portaera ez da sekula errepikatzen, edo bestela esanda, etengabe portaera ezberdina du. Ematen du, higidura kaotikoa erabat zorizkoa eta desordenatua dela, baina, ez, ez da erabat desordenatua, eta nolabaiteko egitura definitua dauka. Beste ezaugarri interesgarri bat da, hasierako baldintzekiko sentikortasun handia duela.

Esaterako, osziladore behartuaren portaera zehatz-mehatz determina daiteke, malgukiak egiten duen  indarra (-kx) lineala delako desplazamenduarekiko.

Malguki errealek, ordea, ez dute indar perfektuki linealik egiten eta, esaterako, desplazamendua handi samarra bada, indarra linealtasunetik nahikotxo urruntzen da. Hortaz, mundu errealean, portaera ez lineala erabat arrunta izaten da. Hala ere, Fisikan, sistema linealak aztertzen dira (ia linealak besterik ez) portaera sinpleagoak eta errazagoak izaten dituztelako.

Lortu nahi badugu, osziladore behartu eta ez lineal bat, koka dezagun hesi bat gorputzaren higidura mugatzen, esaterako, errebote-mutur bat. Demagun hesi horren masa infinitua dela (osziladorearenaren aldean) eta talka erabat elastikoak gauzatzen dituela, hau da, gorputzak talka egiten duen bakoitzean noranzkoa aldatzen diola soilik.

Jakina, osziladoreak jasaten duen indarra dagoeneko ez da desplazamenduarekiko proportzionala, errebote muturrak bat-bateko kolpeak ematen dizkiolako.

Osziladore behartua

Hona hemen oszilazio behartuek betetzen duten ekuazio diferentziala:

• hemen, ω₀ osziladorearen maiztasun propioa edo naturala da (indar behartzailerik gabekoa).
• ω_f  indar behartzaile eta oszilatzailearen maiztasun angeluarra da. Bere anplitudea F da.
• γ  indargetze-konstantea (γ<ω₀  gutxi indargetutako oszilazioak)
• δ  indar behartzailearen hasierako fasea.

Bere ikasgaian ikusi bezala, ekuazio diferentzial horren soluzioak bi terminoren batura du:

Batetik, ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa, egoera iragankorra deskribatzen duena eta, bestetik, ekuazio osoaren soluzio partikularra, egoera egonkorra deskribatzen duena:

Soluzio partikularra ordezkatzen bada ekuazio diferentzial osoan A eta B koefizienteak lortzen dira:

C eta D koefizienteak, berriz, hasierako baldintzetatik determinatzen dira.

Hona hemen abiaduraren adierazpena:

Esaterako hasierako baldintzak hauek badira: t=0, x=x₀, v=v₀.

Egoera egonkorrean

exp(-γt) esponentzialak zerora jotzen du eta beraz, soluzioa sinplifikatu egiten da:

x=Acos(ω_f·t)+ Bcos(ω_f·t)= A₀sin(ω_f·t+φ)

A₀  oszilazio behartuaren anplitude konstantea da, egoera egonkorrean.

Eta batura baten sinuaren formula erabiliz, honako ekuazio-sistema lortzen da:

A₀·cos φ=A
A₀·sin φ=B

Jatorrian errebotatzen duen osziladore behartua

Partikulak muturraren kontra talka egiten duenean bere abiaduraren noranzkoa bat-batean aldatzen da. Osziladorearen higidura-ekuazioa kalkulatzeko, osziladore behartuaren ekuazioa ebatzi behar dugu talka kontsekutibo biren artean, behin eta berriz.

Lehen errebotea

Osziladorea, t=0 aldiunean, pausagunetik abiatzen da, v0=0, eta x0 posiziotik. Demagun indar behartzailearen hasierako fasea nulua dela: δ=0. Hasierako baldintzak ezagututa, C eta D koefizienteak kalkula daitezke, egoera iragankorra deskribatzen dutenak: Partikula oszilatzaileak jatorria (x=0) atzematen du t1,aldiunean eta, une horretan, v1 abiadura dauka.

t₁ aldiune hori kalkulatzeko, honako ekuazio transzendentea ebatzi beharra dago:

Eta prozedura numeriko batez.

Une horretako abiadura kalkulatzeko (v₁) honako adierazpenean ordezkatu behar da:

Partikulak talka egiten du hesiaren kontra, elastikoki, eta bere abiaduraren zeinua soilik aldatzen da: v1<0 -tik  –v1>0-ra. Hesiarekin hurrengo talka gauzatu arte oszilazio behartua deskribatuko du. Har dezagun aldiune hori, errebotearen aldiunea, berriz ere nulutzat eta, beraz, hona hemen hasierako baldintza berriak: t=0, x0=0, v0= -v1, Eta indar behartzailearen hasierako fasea oraingoan ez da nulua, δ=ωf·t1, baizik.

Hasierako baldintza horiekin, berriz ere, A, B, C eta D konstanteak kalkulatzen dira eta, beraz, osziladorearen x posizioa zehazki ezagutuko dugu t denboraren menpe, lehen errebotearen eta bigarren errebotearen artean.

Goiko irudian, t ardatzaren gainean eta marra gorriz, partikularen posizioa irudikatzen da, askatzen den unetik lehen errebotea arte. Eta ardatz horren azpialdean, berriz, indar behartzailearen grafikoa: f=F·cos(ω_f·t+δ). Lehen errebotea gertatzen den aldiunean (t=t₁) indar behartzailearen fasea marra gorriz erakusten da.

Bigarren errebotea

Partikularen higidura zehazki ezagutzen dugu lehen errebotetik eta bigarren errebotea arte. Kalkula dezagun zein aldiunetan gertatzen den bigarren errebotea. Berriz ere x=0 posiziora iristen denean,  t2 aldiunea izango da eta v2 abiadura izango du. Bigarren errebotearen aldiunea kalkulatzeko (t2 ) honako ekuazio transzendentea ebatzi behar da: Ekuazio transzendentea prozedura numerikoren batez ebazten da. Eta ondoren, partikularen v2 abiadura kalkula daiteke t2 une horretan.

Partikulak talka egiten du hesiaren kontra, elastikoki, eta bere abiaduraren zeinua soilik aldatzen da: v2<0-tik  –v2>0-ra. Hesiarekin hurrengo talka gauzatu arte oszilazio behartua deskribatuko du. Har dezagun bigarren errebotearen aldiunea (t=t1+t2 ), berriz ere nulutzat eta, beraz, hona hemen hasierako baldintza berriak: t=0, x0=0, v0= -v2, Eta indar behartzailearen hasierako fasea oraingoan hau da: δ=ωf·(t1+t2). Alboko grafikoan gorriz erakusten da.

Hasierako baldintza horiekin, berriz ere, A, B, C eta D konstanteak kalkulatzen dira eta, osziladorearen x posizioa zehazki ezagutuko dugu t denboraren menpe, bigarren errebotearen eta hirugarren errebotearen artean.

Goiko irudian, t ardatzaren gainean eta marra gorriz, partikularen posizioa irudikatzen da, askatzen den unetik bigarren errebotea arte. Eta ardatz horren azpialdean, berriz, indar behartzailearen grafikoa: f=F·cos(ω_f·t+δ). Bigarren errebotea gertatzen den aldiunean(t=t₁+t₂) indar behartzailearen fasea marra gorriz erakusten da.

Hirugarren errebotea

Partikula hirugarren aldiz x=0 posiziora iristen denean, t3 aldiunea izango da eta v3 abiadura izango du. Hirugarren errebotearen aldiunea kalkulatzeko (t3 ) berriz ere ekuazio transzendente bera ebatzi beharra dago: prozedura numerikoren batez. Ondoren, partikularen abiadura kalkula daiteke: v3 Eta horrela behin eta berriz, errebotez-errebote.

Adibideak:

Har ditzagun osziladore behartuaren parametro guztiak:

• Berezko oszilazioen maiztasun naturala: ω₀=0.5 rad/s

• Indar behartzailearen anplitudea: F/m=0.25 N/kg

• Indargetze-konstantea: γ=0.125 s^-1

• Indar behartzailearen hasierako fasea: δ=0

Aska dezagun partikula, t=0 aldiunean, pausagunetik (v₀=0) eta x₀=2.0 m posiziotik.

1. adibidea:

Ondoko irudiak erakusten du osziladore horren portaera, indar behartzaileak honako maiztasuna badu: ω_f=1.28 rad/s

Irudiaren azpiko aldean eta marra urdinez, indar behartzailea erakusten da:  f=F·cos(ω_f·t)

Irudiaren goiko aldean, marra zuzen urdinak erakusten du osziladore behartuaren A₀ anplitudea egoera egonkorrean eta indar behartzaileak maiztasun hori  bera duenean: ω_f=1.28 rad/s.

Kurba gorriak, ordea, errebotatzen ari den osziladore behartuaren posizioa erakusten du. Hasieran, zenbait oszilazio aldakorren ondoren, alegia, egoera iragankor baten ondoren, partikulak errebotatu egiten du, behin eta berriz, altuera maximo bateraino iritsi arte. Altuera maximo hori oszilazio behartuaren A₀ anplitude egonkorra baino handiagoa da eta partikularen higidura behin eta berriz errepikatzen da errebote bakoitzean.

2. adibidea:

Ondoko irudiak erakusten du osziladore beraren portaera, baina indar behartzaileak honako maiztasuna badu: ω_f=1.33 rad/s

Kurba gorriak erakusten du errebotatzen ari den osziladore behartuaren posizioa. Hasieran, zenbait oszilazio aldakorren ondoren, alegia, egoera iragankor baten ondoren, partikulak errebotatu egiten du, behin eta berriz, baina altuera maximo ezberdin bi atzematen ditu, txandaren arabera. Bi erreboteko zikloa behin eta berriz errepikatzen da.

Indar behartzailearen ω_f maiztasuna pixka bat gehiago igotzen badugu, lau altuera maximo lortzen dira, eta lau erreboteko zikloa behin eta berriz errepikatzen da. Eta horrela behin eta berriz.

3. adibidea:

Ondoko irudiak erakusten du osziladorearen portaera, baina indar behartzaileak honako maiztasuna badu: ω_f=1.41 rad/s

Kurba gorriak erakusten du errebotatzen ari den osziladore behartuaren posizioa. Hainbat oszilazio pasatu arren, osziladorearen portaera ez da errepikatzen, alegia, egoera iragankorra ez da sekula amaitzen, edo bestela esanda, partikulak atzematen duen altuera maximoa ez da inoiz errepikatzen, higidura kaotiko bilakatu da eta periodoa infinitua.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Indargetze-konstantea, γ, dagokion kontrolean idatziz.

• Indarraren anplitudea, F, dagokion kontrolean idatziz.

• Indarraren maiztasuna, ω_f (rad/s), desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Partikularen hasierako posizioa, x₀, dagokion kontrolean idatziz. Partikula bertara desplazatu eta pausagunetik askatzen da (v₀=0).

• Osziladorearen berezko oszilazioen maiztasun naturala finkotzat hartzen da: ω₀=0.5 rad/s

Hasi botoia sakatu:

Leihatilaren ezkerraldean malguki bat ikusten da eta bere muturrean eskegita pisu bat. Osziladore hori behartua da (f=F·cos(ω_f·t) indar oszilatzaileak eraginda) eta oreka-posizioan bertan errebotatzen du.

Grafikoak partikularen posizioa erakusten du denboraren menpe (marra gorria).

Partikularen gainean, bektore gorriak uneoro adierazten du indar behartzailea (modulu, norabide eta noranzkoa). Bektore urdinak, berriz, abiadura adierazten du. Indarrak eta abiadurak noranzko bera dutenean osziladoreak energia irabazten du baina aurkako noranzkoak dituztenean energia galtzen du. Demagun haur bat zabu batean kulunkatzen: bere abiaduraren alde bultzatzen diogunean zabuak energia irabazten du, eta anplitudea handitu, aldiz, bere abiaduraren aurka bultzatzen diogunean zabuak energia galtzen du, eta energia gutxitu.

Leihatilaren azpiko aldean, indar behartzailearen grafikoa adierazten da. Froga bitez zenbait ω_f· maiztasun behartzaile ezberdin eta beha bitez osziladorearen portaera mota ezberdinak.

Ondoren, indar behartzailearen ω_f· maiztasuna mantenduz, partikularen hasierako x₀ posizioa alda daiteke, eta ikus bedi baduela  eraginik osziladorearen higidura motan.

Erantzuna anplitudean

Azpiko applet-ean grafiko bat erakusten da: ardatz bertikalean oszilazioen anplitudea eta ardatz horizontalean indar behartzailearen ω_f  maiztasuna. Marra urdinaz osziladore behartu linealarena. Kurba horrek maximo bat dauka, erresonantzia-fenomenoa erakusten duena. Marra gorriaz, berriz, (puntu gorrien segida) errebotatzen duen osziladore behartuarena.

Lehen  kasuan, anplitudearen erresonantzia lortzen da gutxi gora behera honako maiztasun behartzailearekin: ω₀=0.5 rad/s.

Bigarren kasuan, berriz, anplitudea birdefinitu behar da: errebote kontsekutibo biren arteko desplazamendu maximoa. Kurba horrek maximo bat dauka maiztasun honetan: ω_f=1.0 rad/s, eta beste maximo sekundario batzuk ere, baina ezaugarri interesgarriena da, maiztasunen tarte batzuetan, anplitude bat baino gehiago dagoela.

Kurba hori irudikatzeko, honako prozesua burutu da: lehenik, partikula 100 aldiz errebotatzen uzten da, egoera egonkorra atzeman duela ziurtatzeko. Ondoren, 200 errebote gehiago, eta guzti horietatik anplitude maximoa aukeratzen da. Eta hori errepikatzen da indar behartzailearen ω_f  ezberdin bakoitzerako.

0<ω_f <5 tartea aukeratzen bada, ondorengo irudian bezala, ikusten dira, batetik, altuera maximo bakarra atzematen duen tarte batzuk, eta bestetik, altuera anitzak atzematen dituen tarteak (bertikal berean puntu bat baino gehiago). Horrek frogatzen du, sistema fisiko sinple batek (errebotatzen duen osziladore behartuak) portaera konplexua edo kaotikoa daukala.

Ondorengo irudian 1.3< ω_f <1.6 tartea irudikatu da eta ikusten da ω_f=1.32-raino osziladoreak altuera bakarra atzematen duela beti. Ondoren, irudia banandu egiten da eta bi altuera maximo lortzen dira, baina gero, ω_f =1.36 rad/s-tik aurrera, lau altuera maximo. Azkenean hainbat eta hainbat altuera maximo. Badago baita ere, ω_f =1.6 rad/s inguruan, berriro altuera bakarreko tarte bat, alegia, berriz ere partikula oszilatzaileak portaera erregularra eta iragargarria berreskuratzen du.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Indar behartzailearen maiztasunen tartea: ω_f… nondik…noraino
• Irudiaren eskala, ardatz bertikala adierazteko, eta zehaztasunez ikusteko.

Gainontzeko parametroak finkotzat hartu dira:

• Osziladorearen berezko maiztasuna, ω₀=0.5 rad/s
• Indargetze konstantea, γ=0.125 s^-1
• Indar behartzailearen anplitudea, F/m=0.25 N/kg

Hasi botoia sakatu.

Lehenik, osziladore behartu linealaren anplitudea adierazten da, marra urdinaz, eta ondoren, errebotatzen duen osziladore behartuarena. Hasteko, ikus bedi (0, 5) tartea, goiko irudiak erakusten duena, ikuspegi zabala izateko. Ondoren, tarte murritzagoak har daitezke, esaterako: (1.3, 1.6), (4.2, 4.5), etab. Maiztasun handietan, grafikoa oso konplikatua suertatzen da, partikulak atzematen dituen altuerak oso anitzak direlako, eta hobe da eskala bertikala handitzea.