Mecánica Cuántica |
Experiencias relevantes Parámetro de impacto y ángulo de dispersión
La estructura atómica Dispersión de partículas (II) El espectro electromagnético El cuerpo negro (I) El cuerpo negro (II) Ley de Stefan- Boltzmann El efecto fotoeléctrico El efecto Compton La cuantización de la energía El espín del electrón Difracción de micro- partículas |
 Trayectoria
de la partícula
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| La ley de la Gravitación Universal describe la interacción entre cuerpos debido a su masa. La fuerza de atracción entre dos cuerpos es central y conservativa, su módulo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de ambos cuerpos. Cuando se integra la ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo bajo la acción de dicha fuerza, se obtiene una trayectoria que es una cónica. El tipo de cónica depende signo de la energía total del cuerpo.
Los planetas describen elipses estando el Sol en uno de sus focos. El hecho de que la energía sea negativa se debe a que la energía potencial de una fuerza atractiva es negativa, y la energía cinética es menor que la energía potencial (el cuerpo está confinado). La interacción eléctrica puede ser repulsiva o atractiva según que las cargas sean del mismo o distinto signo. La fuerza que describe la interacción eléctrica es central y conservativa, su módulo, de acuerdo a ley de Coulomb, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa ambas cargas. En este programa, estudiaremos la dispersión de partículas alfa (núcleos de helio) por el núcleo de un átomo, experiencia que condujo a la determinación de la estructura del átomo por el físico Rutherford. En general, la dispersión es de especial interés en física atómica y nuclear. Por ejemplo, cuando un protón, acelerado por un ciclotrón pasa cerca de un núcleo de un átomo del material que constituye el blanco, es desviado o dispersado debido a su repulsión con el núcleo. En la página anterior, introdujimos el concepto de dispersión con ocasión del estudio del choque de un disco rígido contra un obstáculo puntual . En el modelo estudiado, el obstáculo ejerce una fuerza instantánea que cambia la dirección del disco de acuerdo con la ley de la reflexión. ángulo de dispersión, y la relación cualitativa entre ambas magnitudes. El objetivo de esta página, es el de profundizar en el estudio del fenómeno de la dispersión, considerando las fuerzas repulsivas de largo alcance que ejerce el núcleo del átomo sobre las partículas alfa incidentes.
Trayectoria de la partícula
La fuerza de repulsión entre dos cargas Q y q del mismo signo es de acuerdo a la ley de Coulomb
Esta fuerza es conservativa, y la energía potencial Ep correspondiente es
Supongamos que Q es una carga fija y que una partícula de masa m y carga q se mueve en el campo creado por la carga Q. Como la fuerza de repulsión es central y conservativa se cumple
Expresamos la energía y el momento angular en coordenadas polares
Las ecuaciones de constancia del momento angular y de la energía constituyen un par de ecuaciones diferenciales en las que se puede eliminar el tiempo t. Para obtener la ecuación de la trayectoria r=r(q ) se integra la ecuación diferencial
El resultado es una hipérbola
Los valores de d y la excentricidad e en la ecuación de la hipérbola expresados en términos de la energía E y del parámetro de impacto b son, respectivamente.
Las condiciones iniciales son las de una partícula de masa m y carga q que se mueve a gran distancia del centro de fuerzas con velocidad v0, tal como se muestra en la figura. El parámetro de impacto b es la distancia existente entre la dirección de la partícula incidente, cuando se encuentra muy alejada del centro de fuerzas, y el centro de fuerzas. En la figura, el parámetro de impacto b es la distancia entre la dirección de la velocidad v0, y la carga fija Q.
En la figura, se representa la ecuación de la trayectoria, una hipérbola, que tiene dos asíntotas, dos rectas simétricas con respecto al eje X, que forman un ángulo qL con éste, cuyo valor es e ·cosqL-1=0,
o bien
A continuación, giramos la hipérbola en sentido antihorario un ángulo a =180-qL, mediante la siguiente transformación de coordenadas x’=x·cosa -y·sena
El resultado es la trayectoria de la partícula cargada que se representa en la figura y en la que se ha señalado, el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión. Cuando la partícula se aleja mucho del centro de fuerzas, sigue una trayectoria que tiende asintóticamente a una línea recta. El ángulo que forma dicha recta con el eje horizontal se denomina ángulo de dispersión. El ángulo de dispersión vale F =180-2qL, es decir
Ejemplo: Hemos establecido un sistema de unidades en el que k=1. El ángulo de dispersión para E=0.5 y b=0.75 vale F =106.3º, como podemos comprobar en los programas interactivos.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se representa la hipérbola (en color azul) y la trayectoria de la partícula (hipérbola girada un ángulo 180-qL) Calcular algunos ángulos de dispersión F y compararlos con los proporcionados por el programa interactivo.
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EjercicioUsando el principio de conservación de la energía calcular la distancia mínima de aproximación de una partícula cargada, que choca de frente contra un núcleo atómico Para hacer más simple el problema supondremos que la masa del núcleo es mucho mayor que la masa del proyectil. Si la carga del núcleo es Q y la del proyectil es q. La energía total del proyectil es
Cuando el proyectil está a mucha distancia del núcleo, su velocidad es v0, y toda la energía es cinética. En el punto C de máximo acercamiento (véase la figura), la velocidad v es transversal (perpendicular a la dirección radial) de modo que el momento angular es L=mRv. La ecuación de la conservación de la energía en dicho punto de máximo acercamiento se escribe
Ecuación de segundo grado en 1/R que permite obtener R en función de la energía y del momento angular de la partícula.
En una colisión frontal, la velocidad de la partícula en el punto de máximo acercamiento es cero, v=0
Relación entre parámetro de impacto y ángulo de dispersiónEn el apartado anterior, hemos obtenido la relación cuantitativa entre el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión para una energía E de la partícula cargada. Mediante el programa interactivo que viene a continuación, se puede establecer una relación cualitativa, observando las trayectorias de un número de partículas de la misma energía que inciden sobre el centro fijo de fuerzas con parámetros de impacto espaciados regularmente. Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa las trayectorias de las partículas que inciden sobre el centro fijo de fuerzas Cuando se han trazado todas las trayectorias, se pulsa el botón titulado Gráfica Se representa en el eje vertical, el ángulo de dispersión Ф y en el eje horizontal, el parámetro de impacto b. |
Dispersión de partículas (I)
