Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Encuentros espaciales Trayectoria espiral Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía Trayectoria de un proyectil (I) Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
Fuerza de atracción entre los cuerpos Caída libre desde distancias grandes. |
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Fuerza de atracción entre los cuerposLa interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los cuerpos
Fuerza centralLa fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa. En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda, en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica. Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M=r´F=0. De la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre la partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido. El momento angular L de una partícula es el vector resultado del producto vectorial L=r´mv, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L.De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L Cuando los vectores r y v son paralelos, es decir, la dirección del movimiento pasa por el origen, el momento angular L=0. La partícula describe un movimiento rectilíneo, cuya aceleración no es constante. Fuerza conservativaSupongamos que una partícula de masa m se mueve desde la posición A hasta la posición B en las proximidades de un cuerpo fijo de masa M. Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de atracción F.
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria. dW=F·dl=F·dl·cos(180-θ)=-F·dl·cosθ=-F·dr. donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula en la dirección radial. Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas. El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce el cuerpo fijo de masa M sobre la partícula de masa m es conservativa. La fórmula de la energía potencial es
El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0 El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.
Caída libre desde distancias grandes.Examinamos la situación más simple, aquella en la que el momento angular L=0, (movimiento rectilíneo) y solamente es necesario aplicar el principio de conservación de la energía. En el capítulo de Cinemática, hemos estudiado el movimiento de caída de los cuerpos, suponiendo que partían desde una altura h<<R pequeña en comparación con el radio de la Tierra. El tiempo t y la velocidad v con la el cuerpo que llega a la superficie de la Tierra se calculan mediante las ecuaciones. h=gt2/2 Donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra que supondremos constante. Vamos a describir el movimiento de un cuerpo que se deja caer desde una distancia r>R del centro de la Tierra, hasta que llega a su superficie. Como la fuerza de atracción, depende de la distancia r entre el centro de la Tierra y el objeto, la aceleración no es constante. Sin embargo, el principio de conservación de la energía nos permite calcular la velocidad v con la que llegará a la superficie de la Tierra. Para calcular el tiempo que tarda en llegar a la superficie escribimos v=-dr/dt, ya que r disminuye cuando v aumenta. Se ha escrito la integral en términos de la variable adimensional r=x·r0. Se efectúa el cambio de variable Se integra por partes Se evalúa el integrando para los límites superior e inferior. El tiempo t que tarda en llegar el móvil a la superficie de la Tierra es Ejemplo 1:
r0=R+h=26.37·106 m, x=R/r0=0.24 el tiempo t=7120 s Aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos la velocidad con la que el objeto llega a la superficie de la Tierra es v=9746 m/s Un cuerpo se deja caer desde una altura de h=20 km. Comparamos las predicciones de la Cinemática y de la Dinámica. h=gt2/2 donde g=9.83 m/s2 es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra t=63.8 s, y la velocidad v=627 m/s r0=R+h=6.39·106 m, x=R/r0=0.997 el tiempo t=64.0 s El principio de conservación de la energía, nos proporciona el valor de la velocidad v=626 m/s Ejemplo 2:
Con x=R/r0=0.00465, t=5.59·106 s=64.7 días Aplicando el principio de conservación de la energía obtenemos la velocidad del centro de la Tierra cuando llega a la superficie del Sol, v=614601 m/s
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de caída del objeto. El programa interactivo proporciona en cada instante t
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Movimiento de los cuerpos celestesCuando el momento angular L no es nulo, la trayectoria es una cónica, tal como demostraremos en la siguiente página.
Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una energía total negativa (E<0). Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando q=0 y la posición más alejada r2 se obtiene cuando q=p. Es decir, Los semiejes a y b de la elipse valen El semieje mayor de la elipse a es independiente del momento angular L, y solamente depende de la energía total E. El semieje menor b depende del momento angular L y de la energía E PeriodoSe denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo de forma triangular.
Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas polares La primera integral es el área total de la elipse pab, que es igual a la suma de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo miembro es el periodo P del planeta, por tanto Poniendo el semieje b en función del semieje a, (final del apartado anterior) llegamos a la fórmula que relaciona el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse a, denominada tercera ley de Kepler.
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Para el apartado "Caída libre a grandes distancias"
Van Wyk S. Solution to the problem on p. 913. Am. J. Phys. 54 (10) October 1986, pp. 954