Fuerza central y conservativa

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Dinámica celeste

Leyes de Kepler
El descubrimiento de
la ley de la gravitación
marca.gif (847 bytes)Fuerza central y
  conservativa
Ecuación de la trayectoria
Solución numérica de
las ecuaciones
Trayectorias hiperbólicas
Órbita de transferencia
Encuentros espaciales
Trayectoria espiral
Encuentro de una sonda
espacial con Júpiter
Orbitas de la misma
energía
Trayectoria de un 
proyectil (I)
Trayectoria de un 
proyectil (II)
Movimiento relativo
Caída de un satélite en
órbita hacia la Tierra.
Los anillos de un planeta
Movimiento bajo una
fuerza central y una
perturbación
El problema de Euler
Viaje a la Luna
Fuerza de atracción entre los cuerpos

Caída libre desde distancias grandes.

Movimiento de los cuerpos celestes

Referencias

 

Fuerza de atracción entre los cuerpos

gravitacion.gif (1604 bytes)

La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión

G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los cuerpos

gravedad.gif (1567 bytes) Aceleración de la gravedad

Se denomina intensidad del campo gravitatorio, o aceleración de la gravedad g en un punto P distante r del centro del planeta de masa M, a la fuerza sobre la unidad de masa situada en el punto P.

 

Fuerza central

La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa. En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda, en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica.

Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M=r´F=0. De la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre la partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que

El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.

El momento angular L de una partícula es el vector resultado del producto vectorial L=r´mv, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v.

Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L.De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L

Cuando los vectores r y v son paralelos, es decir, la dirección del movimiento pasa por el origen, el momento angular L=0. La partícula describe un movimiento rectilíneo, cuya aceleración no es constante.

 kepler1.gif (2380 bytes)

 Fuerza conservativa

Supongamos que una partícula de masa m se mueve desde la posición A hasta la posición B en las proximidades de un cuerpo fijo de masa M.

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de atracción F.

 

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.

 dW=F·dl=F·dl·cos(180-θ)=-F·dl·cosθ=-F·dr.

 donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula en la dirección radial.

Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.

El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce el cuerpo fijo de masa M sobre la partícula de masa m es conservativa.  La fórmula de la energía potencial es

 

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

 

Caída libre desde distancias grandes.

Examinamos la situación más simple, aquella en la que el momento angular L=0, (movimiento rectilíneo) y solamente es necesario aplicar el principio de conservación de la energía.

En el capítulo de Cinemática, hemos estudiado el movimiento de caída de los cuerpos, suponiendo que partían desde una altura h<<R pequeña en comparación con el radio de la Tierra. El tiempo t y la velocidad v con la el cuerpo que llega a la superficie de la Tierra se calculan mediante las ecuaciones.

h=gt2/2
v=gt

Donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra que supondremos constante.

Vamos a describir el movimiento de un cuerpo que se deja caer desde una distancia r>R del centro de la Tierra, hasta que llega a su superficie.

Como la fuerza de atracción, depende de la distancia r entre el centro de la Tierra y el objeto, la aceleración no es constante. Sin embargo, el principio de conservación de la energía nos permite calcular la velocidad v con la que llegará a la superficie de la Tierra.

Para calcular el tiempo que tarda en llegar a la superficie escribimos v=-dr/dt, ya que r disminuye cuando v aumenta.

Se ha escrito la integral en términos de la variable adimensional  r=x·r0. Se efectúa el cambio de variable

Se integra por partes

Se evalúa el integrando para los límites superior e inferior.

El tiempo t que tarda en llegar el móvil a la superficie de la Tierra es

Ejemplo 1:

Se deja caer un objeto situado a h=20000 km de altura. Calcular el tiempo que tarda en llegar a la superficie de la Tierra, y la velocidad con la que llega. Los datos son:
  • Radio de la Tierra R=6.37·106 m

  • Masa de la Tierra M=5.98·1024 kg

  • Constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2

 r0=R+h=26.37·106 m, x=R/r0=0.24  el tiempo t=7120 s

Aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos la velocidad con la que el objeto llega a la superficie de la Tierra es v=9746 m/s

Un cuerpo se deja caer desde una altura de h=20 km. Comparamos las predicciones de la Cinemática y de la Dinámica. 

h=gt2/2   

donde g=9.83 m/s2 es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra

t=63.8 s, y la velocidad v=627 m/s

r0=R+h=6.39·106 m, x=R/r0=0.997  el tiempo t=64.0 s

El principio de conservación de la energía, nos proporciona el valor de la velocidad v=626 m/s

Ejemplo 2:

La Tierra describe una órbita aproximadamente circular alrededor del Sol. Supongamos que en un momento dado la Tierra se detiene repentinamente, y cae libremente hacia el Sol a lo largo de la dirección radial. Calcular el tiempo que tarda el centro de la Tierra en llegar a la superficie del Sol. Datos:
  • Masa del Sol, M=1.98·1030 kg

  • Radio del Sol, R=6.96·108 m

  • Radio de la órbita de la Tierra r0=149.6·109 m

  • Constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2

Con  x=R/r0=0.00465, t=5.59·106 s=64.7 días

Aplicando el principio de conservación de la energía obtenemos la velocidad del centro de la Tierra cuando llega a la superficie del Sol, v=614601 m/s

 

Actividades

Se introduce

  • La altura en km del objeto por encima de la superficie de la Tierra, en el control de edición titulado Altura

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de caída del objeto. El programa interactivo proporciona en cada instante t

  • La altura en km del objeto sobre la superficie de la Tierra
  • Su velocidad en m/s
                                       

 

Movimiento de los cuerpos celestes

Cuando el momento angular L no es nulo, la trayectoria es una cónica, tal como demostraremos en la siguiente página.

elipse1.gif (1765 bytes) Para obtener ecuación de la trayectoria r=r(q) se expresa el momento angular y la energía en coordenadas polares y se integra la ecuación diferencial resultante.

El parámetro e, denominado excentricidad, define el tipo de trayectoria

Clase de cónica

Descripción geométrica

Descripción física

Elipse

e<1

E<0

Parábola

e=1

E=0

Hipérbola

e>1

E>0

Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una energía total negativa (E<0).

elipse.gif (2177 bytes)

Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando q=0 y la posición más alejada r2 se obtiene cuando q=p. Es decir,

Los semiejes a y b de la elipse valen

El semieje mayor de la elipse a es independiente del momento angular L, y solamente depende de la energía total E. El semieje menor b depende del momento angular L y de la energía E

Periodo

Se denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo de forma triangular.

area.gif (1425 bytes) El ángulo del vértice de dicho triángulo es dq y la base del triángulo es un arco de longitud rdq. El área del triángulo  es (base por altura dividido por dos)

Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas polares

La primera integral es el área total de la elipse pab, que es igual a la suma de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo miembro es el periodo P del planeta, por tanto

Poniendo el semieje b en función del semieje a, (final del apartado anterior) llegamos a la fórmula que relaciona el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse a, denominada tercera ley de Kepler.

 

Referencias

Para el apartado "Caída libre a grandes distancias"

Van Wyk S. Solution to the problem on p. 913. Am. J. Phys. 54 (10) October 1986, pp. 954