Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa
Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Encuentros espaciales Trayectoria espiral Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía Trayectoria de un proyectil (I) Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
Posición y velocidad en coordenadas polares | |||||
| En esta página, vamos a deducir paso a paso la ecuación de la trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Las fuerza de interacción gravitatoria y eléctrica son centrales y conservativas. Por tanto, la energía y el momento angular se mantienen constantes en todos los puntos de la trayectoria
Posición y velocidad en coordenadas polares
La posición del punto P es x=r·cosq Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares
vemos que
Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto
La energía y el momento angular en coordenadas polaresLa expresión de la energía en coordenadas polares es
Donde k/r es la energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F=k/r2. Con k=-GMm si la interacción es gravitatoria
Expresamos el momento angular L en coordenadas polares
Despejamos dq /dt en la expresión del momento angular y la introducimos en la expresión de la energía. Tenemos dos ecuaciones
Ecuación de la trayectoriaEliminamos dt entre estas dos ecuaciones para obtener la ecuación de la trayectoria
Para integrar se hace el cambio u=1/r
Tenemos una integral del tipo
con a=L2/(2m), b=k, c=E Hacemos el cambio
Ahora, vamos deshaciendo los cambios
Hay dos posibles soluciones según el signo de b o de k. Si k o b es positivo
Si k o b es negativo
Tercera ley de Kepler
En un pequeño intervalo de tiempo el planeta se desplaza v·dt. El área barrida por el radio vector r entre los instantes t y t+dt es el área de un triángulo
El momento angular del planeta es L=r´mv. Como la fuerza de atracción es central, el momento angular L permanece constante en módulo y dirección.
Mientras el radio vector barre el área de la elipse es A=p ab el planeta emplea un tiempo igual al periodo de revolución P. De modo que P=2mp ab/L A partir de esta relación vamos a obtener la tercera ley de Kepler.
Eliminado v1 y v2 en este par de ecuaciones tenemos
De la geometría de la elipse tenemos que r1=a+c siendo c la semidistancia focal. La relación entre los semiejes mayor a y menor b de la elipse es a2-b2=c2. Por lo que el producto r1·r2=b2 El módulo del momento angular L se expresa en términos de los semiejes a y b de la elipse
Introduciendo el valor de L en la fórmula del periodo P obtenemos la tercera ley de Kepler.
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Ecuación de la trayectoria
si la interacción es de tipo eléctrico
