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En esta página, se va a estudiar el movimiento de una
barra horizontal apoyada en dos puntos que se mueven uno hacia el otro
con velocidad constante.
A medida que se mueven los apoyos, la barra desliza
sobre un apoyo y luego sobre el otro, pero no sobre ambos simultáneamente.
Si el apoyo 1 (a la izquierda) está deslizando, el apoyo 2 estará en reposo
relativo a la barra, y viceversa. Este comportamiento como vamos a ver, se
debe a la naturaleza de la
fuerza de rozamiento:
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La fuerza de rozamiento se produce en la superficie
de contacto entre dos cuerpos.
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La fuerza de rozamiento viene determinada por las
condiciones de equilibrio del cuerpo que se estudia.
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Cuando un cuerpo va a empezar a deslizar sobre una
superficie, la fuerza de rozamiento vale fr=μs·N
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Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de
rozamiento que se opone a su movimiento vale fr=μk·N,
siendo N la fuerza normal, o la fuerza que ejerce la superficie
sobre el cuerpo que desliza.
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Los coeficientes empíricos estático μs
y cinético μk describen la complejidad de las
interacciones entre los átomos y moléculas de las dos superficies en
contacto.
Sea D0 la separación inicial entre
los dos apoyos, si cada apoyo se mueve con velocidad constante v/2
uno hacia el otro, al cabo de un cierto tiempo t, la separación entre
los mismos será D=D0-v·t.
Consideremos la situación en la que el apoyo de la
izquierda dista d1 del centro de masas (c.m.) y el apoyo
de la derecha dista d2=D-d1 del c. m. Dibujamos
las fuerzas sobre la barra y aplicamos las condiciones de equilibrio
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La resultante de las fuerzas ha de ser cero
N1+N2=mg
donde N1 es la fuerza que ejerce el
apoyo izquierdo y N2 es la fuerza que ejerce el apoyo
derecho sobre la barra.
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El momento total respecto del cualquier punto debe
ser cero. Si elegimos el apoyo derecho, como origen.
-N1·(d1+d2)+mg·d2=0
Despejamos N1 y N2
en este sistema de dos ecuaciones
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Al moverse el primer apoyo hacia la derecha, ejerce
una fuerza de rozamiento f1 sobre la barra dirigida
hacia la derecha.
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Al moverse el segundo apoyo hacia la izquierda,
ejerce una fuerza de rozamiento f2 sobre la barra
dirigida hacia la izquierda.
Ambas fuerzas son iguales f1=f2
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Para entender
mejor el sentido de estas dos fuerzas, nos fijaremos que cuando un camión,
que trasporta una caja de masa m sobre la plataforma, arranca, la
fuerza de rozamiento fr=ma entre la caja y la
plataforma hace que la caja permanezca en reposo sobre la plataforma,
siempre que se cumpla que fr< μs·N.
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Cuando la aceleración a del camión es tal que fr
alcanza el valor máximo μs·N, la caja empieza a
deslizar sobre la plataforma. La fuerza de rozamiento vale ahora fr= μk·N.
Examinamos los distintos casos del movimiento de la
barra con relación a los apoyos:
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El apoyo izquierdo desliza, el apoyo derecho
permanece en reposo relativo a la barra.
La fuerza de rozamiento entre la barra y los apoyos
vale.
f1=μk·N1
f1=f2< μs·N2
Como la distancia d1 del apoyo
izquierdo al c.m. disminuye, permaneciendo invariable la distancia d2
del apoyo derecho al c.m., N1 va aumentando hasta que se
alcanza el valor máximo de la fuerza de rozamiento f2=μs·N2.
El apoyo derecho empezará en este instante, a deslizar
Calculamos la distancia D1=d1+d2
entre los dos apoyos en el momento en el que se cumple que
μk·N1= μs·N2,
o bien,
μk·d2= μs·d1.
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El apoyo derecho desliza, el apoyo izquierdo
permanece en reposo relativo a la barra.
f2=μk·N2
f2=f1< μs·N1
Como la distancia d2 del apoyo
derecho al c.m. disminuye, permaneciendo invariable la distancia d1
del apoyo izquierdo al c.m., N2 va aumentando hasta que se
alcanza el valor máximo de la fuerza de rozamiento f1=μs·N1.
El apoyo izquierdo empezará en este instante a deslizar
Calculamos la distancia D2=d1+d2
entre los dos apoyos en el momento en el que se cumple que
μs·N1= μk·N2,
o bien,
μs·d2= μk·d1.
El cociente entre ambas distancias es
El proceso se repite indefinidamente, la relación entre
dos distancias consecutivas Dn+1 y Dn
será por tanto,
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Distancia del apoyo izquierdo al c.m., d1=50
cm
-
Distancia del apoyo derecho al c.m., d2=45
cm
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Coeficiente de rozamiento estático, μs=1.0
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Coeficiente de rozamiento cinético, μk=0.8
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Peso de la barra mg=1.0 N
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La velocidad relativa de acercamiento de los apoyos, v=1.0 cm/s
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Desliza el apoyo izquierdo, el apoyo derecho permanece en reposo relativo a la barra.
La distancia d1 disminuye, d1=50-1·t
cm
La distancia d2=45 cm permanece
invariable
El valor de la fuerza de rozamiento es f2=f1=μk·N1
Como d1 disminuye, N1
aumenta, hasta que f2 alcanza su valor
máximo f2=μs·N2, en ese instante el
apoyo derecho comienza a deslizar.
μk·N1=μs·N2.
o bien, μk·d2=μs·d1
0.8·45=1.0·d1, d1=36
cm
La distancia entre los dos apoyos es D1=d1+d2=45+36=81
cm
El instante en el que se alcanza esta posición es
36=50-t, t=14 s
-
Desliza el apoyo derecho, el apoyo izquierdo permanece en reposo relativo a la barra.
La distancia d2 disminuye, d2=45-1·(t-14)
cm
La distancia d1=36 cm permanece
invariable
El valor de la fuerza de rozamiento es f1=f2=μk·N2
Como d2 disminuye, N2
aumenta, hasta que f1 alcanza su valor máximo f1=μs·N1,
en ese instante el apoyo izquierdo comienza a deslizar.
μs·N1=μk·N2.
o bien, μs·d2=μk·d1
1.0·d2=0.8·36,
d2=28.8 cm
La distancia entre los dos apoyos es D2=d1+d2=36+28.8=64.8
cm
El instante en el que se alcanza esta posición es
28.8=45-(t-14), t=30.2 s
El cociente entre las distancias
D2/D1=64.8/81, es igual al cociente entre los
coeficientes cinético μk=0.8 y estático μs=1.0.
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Desliza el apoyo izquierdo, el apoyo derecho permanece en reposo relativo a la barra.
Su descripción es análoga a la primera etapa
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Desliza el apoyo derecho, el apoyo izquierdo permanece en reposo relativo a la barra.
Su descripción es análoga a la segunda etapa
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza
El programa interactivo ha fijado los valores de:
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El coeficiente estático de rozamiento μs=1.0
-
La longitud de la barra en 100 cm
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La velocidad relativa de acercamiento de los apoyos
en v=1 cm/s. El apoyo se izquierdo se desplaza hacia la derecha con
velocidad de 0.5 cm/s, y el apoyo derecho se desplaza hacia la izquierda
con la misma velocidad.
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El peso mg de la barra se ha tomado igual a
una unidad
Observamos el acercamiento de los apoyos y el
movimiento de la barra. En la parte derecha del applet, se muestran los
valores de las distancias, D1, D2, …
Dn en los instantes en los que los apoyos cambian,
pasando de deslizar a estar en reposo relativo a la barra o viceversa. En la
simulación, el movimiento se detiene cuando la distancia entre los apoyos es
inferior a D=10 cm.
Debajo de cada apoyo, se indican los valores de la
fuerza normal N1 y N2, respectivamente.
En la parte superior del applet, se muestran los valores de la distancia
d1 del apoyo izquierdo al c.m., y la distancia d2
del apoyo derecho al c.m. Finalmente, el valor de la fuerza de rozamiento
f1=f2= μk·N1,2.
entre la barra y cada uno de los apoyos.
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Barra apoyada en dos
puntos móviles.