Una barra horizontal apoyada sobre dos puntos móviles.

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Dinámica

Fuerza de rozamiento
El rozamiento por
deslizamiento
Medida del coeficiente
cinético (I)
Medida del coeficiente
cinético (II)
Medida del coeficiente
cinético (III)
Fuerza de rozamiento 
en un plano inclinado
El mejor ángulo para
arrastrar un bloque
Medida del coeficiente 
estático
marca.gif (847 bytes)Barra apoyada en dos
puntos móviles.
Placa apoyada en dos
rodillos que giran.
Dos bloques
superpuestos

Descripción

Ejemplo

Actividades

Referencias

 

En esta página, se va a estudiar el movimiento de una barra horizontal apoyada en dos puntos que se mueven uno hacia el otro con velocidad constante.

A medida que se mueven los apoyos, la barra desliza sobre un apoyo y luego sobre el otro, pero no sobre ambos simultáneamente. Si el apoyo 1 (a la izquierda) está deslizando, el apoyo 2 estará en reposo relativo a la barra, y viceversa. Este comportamiento como vamos a ver, se debe a la naturaleza de la fuerza de rozamiento:

  • La fuerza de rozamiento se produce en la superficie de contacto entre dos cuerpos.

  • La fuerza de rozamiento viene determinada por las condiciones de equilibrio del cuerpo que se estudia.

  • Cuando un cuerpo va a empezar a deslizar sobre una superficie, la fuerza de rozamiento vale frs·N

  • Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de rozamiento que se opone a su movimiento vale frk·N, siendo N la fuerza normal, o la fuerza que ejerce la superficie sobre el cuerpo que desliza.

  • Los coeficientes empíricos estático μs y cinético μk describen la complejidad de las interacciones entre los átomos y moléculas de las dos superficies en contacto.

 

Descripción

Sea D0 la separación inicial entre los dos apoyos, si cada apoyo se mueve con velocidad constante v/2 uno hacia el otro, al cabo de un cierto tiempo t, la separación entre los mismos será D=D0-v·t.

Consideremos la situación en la que el apoyo de la izquierda dista d1 del centro de masas (c.m.) y el apoyo de la derecha dista d2=D-d1 del c. m. Dibujamos las fuerzas sobre la barra y aplicamos las condiciones de equilibrio

  1. La resultante de las fuerzas ha de ser cero

N1+N2=mg

donde N1 es la fuerza que ejerce el apoyo izquierdo y N2 es la fuerza que ejerce el apoyo derecho sobre la barra.

  1. El momento total respecto del cualquier punto debe ser cero. Si elegimos el apoyo derecho, como origen.

-N1·(d1+d2)+mg·d2=0

Despejamos N1 y N2 en este sistema de dos ecuaciones

  • Al moverse el primer apoyo hacia la derecha, ejerce una fuerza de rozamiento f1 sobre la barra dirigida hacia la derecha.

  • Al moverse el segundo apoyo hacia la izquierda, ejerce una fuerza de rozamiento f2 sobre la barra dirigida hacia la izquierda.

Ambas fuerzas son iguales f1=f2

Para entender mejor el sentido de estas dos fuerzas, nos fijaremos que cuando un camión, que trasporta una caja de masa m sobre la plataforma, arranca, la fuerza de rozamiento fr=ma entre la caja y la plataforma hace que la caja permanezca en reposo sobre la plataforma, siempre que se cumpla que fr< μs·N.

Cuando la aceleración a del camión es tal que  fr alcanza el valor máximo μs·N, la caja empieza a deslizar sobre la plataforma. La fuerza de rozamiento vale ahora fr= μk·N.

Examinamos los distintos casos del movimiento de la barra con relación a los apoyos:

  1. El apoyo izquierdo desliza, el apoyo derecho permanece en reposo relativo a la barra.

La fuerza de rozamiento entre la barra y los apoyos vale.

f1k·N1
f1=f2< μs·N2

Como la distancia d1 del apoyo izquierdo al c.m. disminuye, permaneciendo invariable la distancia d2 del apoyo derecho al c.m., N1 va aumentando hasta que se alcanza el valor máximo de la fuerza de rozamiento f2s·N2. El apoyo derecho empezará en este instante, a deslizar

Calculamos la distancia D1=d1+d2 entre los dos apoyos en el momento en el que se cumple que

μk·N1= μs·N2, o bien,
μk·d2= μs·d1
.

  1. El apoyo derecho desliza, el apoyo izquierdo permanece en reposo relativo a la barra.

f2k·N2
f2=f1< μs·N1

Como la distancia d2 del apoyo derecho al c.m. disminuye, permaneciendo invariable la distancia d1 del apoyo izquierdo al c.m., N2 va aumentando hasta que se alcanza el valor máximo de la fuerza de rozamiento f1s·N1. El apoyo izquierdo empezará en este instante a deslizar

Calculamos la distancia D2=d1+d2 entre los dos apoyos en el momento en el que se cumple que

μs·N1= μk·N2, o bien,
μs·d2= μk·d1
.

El cociente entre ambas distancias es

El proceso se repite indefinidamente, la relación entre dos distancias consecutivas Dn+1 y Dn será por tanto,

Ejemplo

  • Distancia del apoyo izquierdo al c.m., d1=50 cm

  • Distancia del apoyo derecho al c.m., d2=45 cm

  • Coeficiente de rozamiento estático, μs=1.0

  • Coeficiente de rozamiento cinético, μk=0.8

  • Peso de la barra mg=1.0 N

  • La velocidad relativa de acercamiento de los apoyos, v=1.0 cm/s

  1. Desliza el apoyo izquierdo, el apoyo derecho permanece en reposo relativo a la barra.

La distancia d1 disminuye, d1=50-1·t cm

La distancia d2=45 cm permanece invariable

El valor de la fuerza de rozamiento es f2=f1k·N1

Como d1 disminuye, N1  aumenta, hasta que f2 alcanza su valor máximo f2s·N2, en ese instante el apoyo derecho comienza a deslizar.

μk·N1s·N2. o bien,  μk·d2s·d1

0.8·45=1.0·d1,   d1=36 cm

La distancia entre los dos apoyos es D1=d1+d2=45+36=81 cm

El instante en el que se alcanza esta posición es 36=50-t, t=14 s

  1. Desliza el apoyo derecho, el apoyo izquierdo permanece en reposo relativo a la barra.

La distancia d2 disminuye, d2=45-1·(t-14)  cm

La distancia d1=36 cm permanece invariable

El valor de la fuerza de rozamiento es f1=f2k·N2

Como d2 disminuye, N2 aumenta, hasta que f1 alcanza su valor máximo f1s·N1, en ese instante el apoyo izquierdo comienza a deslizar.

μs·N1k·N2. o bien,  μs·d2k·d1

1.0·d2=0.8·36,     d2=28.8 cm

La distancia entre los dos apoyos es D2=d1+d2=36+28.8=64.8 cm

El instante en el que se alcanza esta posición es 28.8=45-(t-14), t=30.2 s

El cociente entre las distancias D2/D1=64.8/81, es igual al cociente entre los coeficientes cinético μk=0.8 y estático μs=1.0.

  1. Desliza el apoyo izquierdo, el apoyo derecho permanece en reposo relativo a la barra.

Su descripción es análoga a la primera etapa

  1. Desliza el apoyo derecho, el apoyo izquierdo permanece en reposo relativo a la barra.

Su descripción es análoga a la segunda etapa

 

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

  • Se establece la distancia inicial entre los apoyos, actuando con el puntero del ratón sobre el apoyo derecho (de color rojo)

Se introduce

  • El coeficiente de rozamiento cinético μk, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coeficiente Cinético.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo ha fijado los valores de:

  • El coeficiente estático de rozamiento μs=1.0

  • La longitud de la barra en 100 cm

  • La velocidad relativa de acercamiento de los apoyos en v=1 cm/s. El apoyo se izquierdo se desplaza hacia la derecha con velocidad de 0.5 cm/s, y el apoyo derecho se desplaza hacia la izquierda con la misma velocidad.

  • El peso mg de la barra se ha tomado igual a una unidad

Observamos el acercamiento de los apoyos y el movimiento de la barra. En la parte derecha del applet, se muestran los valores de las distancias, D1, D2, … Dn en los instantes en los que los apoyos cambian, pasando de deslizar a estar en reposo relativo a la barra o viceversa. En la simulación, el movimiento se detiene cuando la distancia entre los apoyos es inferior a D=10 cm.

Debajo de cada apoyo, se indican los valores de la fuerza normal N1 y N2, respectivamente. En la parte superior del applet, se muestran los valores de la distancia d1 del apoyo izquierdo al c.m., y la distancia d2 del apoyo derecho al c.m. Finalmente, el valor de la fuerza de rozamiento f1=f2= μk·N1,2. entre la barra y cada uno de los apoyos.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastrar con el puntero del ratón el triángulo de color rojo

 

Referencias

Denny M. Stick-slip motion: an important example of self-excited oscillation. Eur. J. Phys. 25, (2004), pp. 311-322.