Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma Trabajo y energía (el bucle) El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III)
Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Equilibrio | |
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Dos partículas idénticas cargadas de masa m con cargas q iguales y opuestas se cuelgan de dos hilos inextensibles de longitud d separados inicialmente x0, tal como se muestra en la figura.
Normalmente, la separación de las cargas x es una función continua de la carga de las partículas, q. Al aumentar la carga la separación disminuye. Sin embargo, para cierto valor de la carga qc de las partículas el sistema experimenta una transición discontinua a un nuevo estado de equilibrio en el que la separación x=0.
EquilibrioLas cargas de distinto signo se atraen, acercándose a una distancia x. Los hilos forman un ángulo θ con la vertical.
En el equilibrio
Dividiendo las dos ecuaciones eliminamos la tensión T del hilo
El ángulo θ está relacionado con la separación x entre las partículas, véase la primera figura
Calculamos la separación de equilibrio x, hallando la raíz de la ecuación
EstabilidadEnergía potencial del sistema formado por las dos cargas es la suma de la energía potencial gravitatoria, las cargas se elevan d-d·cosθ, y la energía potencial electrostática, que es negativa por ser la fuerza atractiva.
La posición de equilibrio es estable si la energía potencial es mínima en dicha posición, y es inestable si la energía potencial es máxima. El signo de la derivada segunda de la energía potencial Ep(x) determina si la posición de equilibrio es estable (si es mayor que cero) o inestable (si es menor que cero).
AproximacionesCuando d>>x0, el ángulo θ es muy pequeño y podemos realizar las siguientes aproximaciones que simplifican notablemente los cálculos, tanθ≈senθ≈θ La ecuación que calcula la separación de equilibrio x se convierte en
Tenemos que calcular las raíces de una ecuación cúbica
La energía potencial se aproxima a
A medida que se aumenta la carga q de las partículas, el máximo y el mínimo se acercan, para un cierto valor de la carga qc coinciden en el punto de inflexión
Despejamos x y lo introducimos en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio
Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan x=0. Ejemplo:
Las raíces de la ecuación cúbica
x3-0.2x2+3.276·10-4 =0 cuyas raíces son x1=-0.0362, x2=0.195, x3=0.0447 m La primera no es físicamente posible, la segunda corresponde a un mínimo de la energía potencial (posición de equilibrio estable) y la tercera, corresponde a un máximo (posición de equilibrio inestable). La carga crítica qc y la separación de equilibrio de las cargas es
Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan, su separación x=0. En realidad, las partículas tienen un tamaño y no pueden ocupar la misma posición.
ActividadesSe ha fijado
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Calcular Se representa a las dos partículas en la posición de equilibrio estable. En la parte derecha del applet, se representa la energía potencial en Ep en función de la separación x entre las partículas. Se señala el máximo y el mínimo, si existen. |
HistéresisSe produce el fenómeno de la histéresis, cuando el sistema puede existir en varios estados estables para valores dados de las variables externas (o parámetros de control), y que éstos se pueden alcanzar por una variación lenta de los parámetros. Un ejemplo típico es la magnetización de un material ferromagnético por un campo magnético externo. El comportamiento del sistema físico que aquí se estudia está descrito por la separación x entre los centros de las cargas. El parámetro que cambia es la carga q de cada una de las esferas. En ciertos casos, cuando se alcanzan valores críticos de la carga q, el comportamiento del sistema experimenta un salto. Por otra parte, el comportamiento del sistema no es el mismo cuando se incrementa la carga que cuando se disminuye. En este apartado, se describe una situación más realista que se produce cuando las cargas no son puntuales sino que tienen un tamaño finito. Para evitar los problemas derivados de la polarización de la carga de una esfera metálica en el campo de la otra, o de la descarga de las esferas en el momento en que entran en contacto. Supondremos que las cargas puntuales están el centro de dos esferas aislantes rígidas de radio r. La diferencia por tanto, entre las cargas puntales y las esferas de radio r estriba en que la separación mínima entre cargas puntuales es cero, mientras que la separación mínima entre esferas rígidas de radio r es 2r. Como hemos visto en el apartado anterior,
En la figura, vemos una representación tridimensional de la superficie Ep(q, x) en función de la carga q y de su separación x.
En la figura inferior, se muestra:
Vamos a incrementar la carga de las esferas desde q=0 y a observar la separación x entre las mismas. El comportamiento del sistema sigue el camino ABCDEA, con dos cambios bruscos BC y DE. Como vemos, el camino de ida AB cuando la carga se incrementa de 0 a qc no coincide con el de vuelta BCDEA cuando la carga disminuye de qc a 0. A continuación, se explica las distintas etapas:
Cuando la carga q se incrementa de 0 a qc la separación va disminuyendo desde x0 a xc dados por las expresiones.
El comportamiento del sistema viene descrito por la curva de color azul AB de la figura, que corresponde a las posiciones de equilibrio estable.
Cuando la carga q supera el valor crítico qc se produce un cambio brusco BC, la separación entre las cargas puntuales sería cero, pero si son esferas rígidas de radio r la separación será x=2r.
Si se disminuye la carga q, la separación de las esferas seguirá siendo x=2r ya que la energía potencial de esta configuración es la mínima posible, tal como se muestra en la figura
o es inferior al máximo adyacente, tal como se muestra más abajo. Como vemos, hay un máximo interpuesto que impide que la esfera alcance una posición de menor energía, en el mínimo de la parte derecha de la curva.
El comportamiento del sistema está descrito por la recta DE El punto D corresponde a la carga ql para la cual la energía potencial alcanza un valor máximo cuando la separación entre cargas es x=2r. Ponemos x=2r en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio y despejamos q
Si q<ql se produce otro cambio brusco DE, la separación aumenta al valor correspondiente a la posición de equilibrio estable de ql. Como una de las raíces de la ecuación cúbica es 2r buscamos las otras dos raíces a y b
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b b2-(x0-2r)b-2r(x0-2r)=0 La raíz positiva la llamamos xl
Una vez que el sistema alcanza el punto E, retorna al punto de partida A a través de la porción de curva azul EA que corresponde a posiciones de equilibrio estable. Ejemplo:
El primer cambio brusco ocurre en el punto B, que corresponde a la carga crítica qc y a la separación crítica xc calculada en el apartado anterior qc=25.4·10-9 C, xc=13.3 cm El segundo cambio brusco ocurre desde el punto D al punto E El punto D corresponde a una separación 2r=0.04 m, y la carga ql de las esferas es
El punto E corresponde a la posición de equilibrio estable de las esferas cargadas con una carga ql
ActividadesSe ha fijado
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, cuando la carga de aumenta y cuando disminuye. Los dos cambios bruscos de comportamiento que ocurren cuando q=qc en el camino de ida y cuando x=2r en el camino de vuelta.
Activamos la casilla titulada Potencial Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, en relación a la curva de energía potencial para cada carga q. El sistema adopta la configuración de energía potencial mínima, compatible con que la separación mínima posible es 2r.
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Partensky P. D., Partensky M. B..Hanging by a thread. The Physics Teacher, 44 February 2006, pp. 88-91
Equilibrio y
estabilidad (IV)
