Movimiento ondulatorio |
Propagación de un movimiento ondulatorio Descripción de la propagación Movimiento ondulatorio armónico Medida de la velocidad del sonido Ondas transversales en una cuerda Ondas estacionarias (I) Vibraciones barra
Ondas longitudinales en una barra elástica Reflexión y transmisión de ondas Ley de Snell de la refracción Espejismos |
Solución de la ecuación diferencial del
movimiento ondulatorio Frecuencias de los modos de vibración de la cuerda |
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En esta página, estudiamos las ondas estacionarias producidas en una cuerda no homogénea sujeta por ambos extremos. La cuerda de longitud 2L está formada por dos mitades de la misma longitud L pero de distinta densidad lineal m1 y m2 respectivamente. La tensión T de la cuerda es igual al peso que cuelga de su extremo derecho.
Solución de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorioLas ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio, son respectivamente
Ψ es el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t. v1 y v2 son las velocidades de propagación de las ondas trasversales en las partes izquierda y derecha de la cuerda
Siguiendo los mismos pasos que para una cuerda homogénea sujeta por ambos extremos, ensayamos la solución Ψ(x,t)=y(x)sen(ωt) que describe una onda estacionaria. Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω. Introduciendo esta expresión en cada una de las dos ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio obtenemos las ecuaciones diferenciales similares a las de un M.A.S.
Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son y1(x)=A1sen
(k1x)+B1cos(k1x)
k1=ω/v1 y k2=ω/v2 son los números de onda, respectivos Los coeficientes A1, B1, A2 y B2, vienen determinados por la continuidad de la función de onda en x=0, y por las condiciones de contorno en los extremos fijos x=-L y x=+L. Continuidad de la función que describe la onda estacionariaEn el punto x=0, las dos mitades de la cuerda se unen. La función que describe la onda estacionaria tiene que ser continua y también su derivada primera. y1(0)=y2(0) B1=B2
La función que describe la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda es y1(x)=A1sen
(k1x)+B1cos(k1x) Condiciones de contornoEl extremo izquierdo de la cuerda está sujeto en x=-L y el extremo derecho en x=+L. Se tiene que cumplir que y1(-L)=0 y y2(+L)=0 A1sen
(k1L)=B1cos(k1L) Dividiendo miembro a miembro eliminamos A1 y B1.
Frecuencias de los modos de vibración de la cuerdaPara calcular las frecuencias de los modos de vibración de la cuerda se resuelve la ecuación trascendente
Se dibujan las funciones z=v1tan(2πfL/v1)
en función de la frecuencia f . Las abscisas de los puntos de intersección son las frecuencias f1, f2, f3, … de los distintos modos de vibración tal como se muestra en la figura.
En la figura, se representa la primera función para v1=40 m/s (en azul), y la segunda para v2=80 m/s (en rojo), en ambos casos, la longitud de cada una de las dos mitades de la cuerda es L= 1m. Se ha empleado el procedimiento numérico del el punto medio para calcular las frecuencias. Para ello, hay que calcular las raíces de la ecuación trascendente
Una representación gráfica de esta función, nos sugiere que esta no es una forma conveniente, para aplicar dicho procedimiento numérico, ya que la función tangente crece rápidamente con el argumento. Expresamos la ecuación anterior de la forma equivalente
En la figura, se representa esta función en función de la frecuencia f, ω=2πf cuando v1=40 m/s v2=80 m/s y L=1 m. Los ceros de la función, los puntos de corte con el eje horizontal son las frecuencias f1, f2, f3, …de los distintos modos de vibración: 12.2, 27.8, 40.0, 52.2, 67.8, 80.0,.. Hz
Amplitud de las ondas estacionariasDespejamos A1, en las dos ecuaciones que resultan de aplicar las condiciones de contorno, y la sustituimos en las dos funciones que describen la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda Para el modo de vibración ω=2πf.
B1 es un factor de escala. Para que todos los modos de vibración se representen a la misma escala se calcula B1 de modo que el área bajo la curva
La integral definida de la izquierda es el área sombreada en color azul y la integral de la derecha es el área sombreada en color rojo.
Después de realizar algunas operaciones se llega al siguiente resultado
Para obtener este resultado, se ha empleado las integrales siguientes:
y de modo similar, para la parte derecha de la cuerda
Casos especialesPara ciertas frecuencias puede ocurrir que sen(ωL/v1) y sen(ωL/v2) sean ambos cero a la vez. Por ejemplo, cuando v1=40 m/s y v2=80 m/s con L=1 m tenemos que sen(ωL/v1)=0 para 2πf1L/v1=n1π donde n1 es un entero. Las frecuencias f1=20n1 son f1=20, 40, 60, 80, 100,…Hz sen(ωL/v2)=0 para 2πf2L/v2=n2π donde n2 es un entero. Las frecuencias f2=40n2 son f2=40, 80, … Hz Las frecuencias comunes son f1= f2=40, 80, 120… Hz Las frecuencias especiales son aquellas f1=n1v1/(2L) y f2=n2v2/(2L) para las cuales se cumple que n1v1=n2v2 donde n1 y n2 son enteros Corresponden a los modos de vibración de la cuerda para las cuales el área se hace infinita y B1 tiende a cero. Pero la amplitud y(x) del modo de vibración no es cero sino una expresión que vamos a calcular a continuación En la ecuación trascendente que calcula las frecuencias de los modos de vibración cuando sen(ωL/v1) =sen(ωL/v2) se cumple que v1·cos(ωL/v2) +v2·cos(ωL/v1)=0 Tenemos la igualdad
que introducimos en la larga expresión que calcula el factor de escala B1,
a continuación, sacamos factor común al cociente
Cuando sen(ωL/v1)→0 o el cociente c→∞, obtenemos
La amplitud de los modos de vibración para estas frecuencias especiales es
Cuando sen(ωL/v1)→0
que como podemos comprobar, cumple las condiciones de continuidad en x=0 y las de contorno en x=-L y en x=L.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio Se calculan las frecuencias de los distintos modos de vibración de la cuerda utilizando el procedimiento numérico del punto medio. Se representa el modo fundamental de vibración de la cuerda de frecuencia ω=2πf1 Ψ1(x,t)=y1(x)sen(ωt)
en el intervalo -L<x<0 Se representan los otros modos de vibración de frecuencias f2, f3, f4 ..., pulsando en el botón titulado Siguiente>> y Anterior<<. |
Clendenning L. M. A laboratory approach to eigenvalue problem. Am. J. Phys. 36 (10) October 1968, pp. 879-881
Ondas estacionarias (II)
