Movimiento ondulatorio |
Propagación de un movimiento ondulatorio Descripción de la propagación Movimiento ondulatorio armónico Medida de la velocidad del sonido Ondas transversales en una cuerda Ondas estacionarias (I)
Ondas estacionarias (II) Ondas longitudinales en una barra elástica Reflexión y transmisión de ondas Ley de Snell de la refracción Espejismos |
Ondas estacionarias en una cuerda
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Vamos a comprobar que los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos son similares a los de una cuerda aunque su descripción analítica es mucho más complicada. En primer lugar, volvemos a obtener la fórmula de las frecuencias de los modos normales de vibración de una cuerda cuyos extremos están fijos por otro procedimiento más general que nos va a servir de modelo para describir los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos.
Ondas estacionarias en una cuerda
La amplitud de las oscilaciones de los puntos x de la cuerda en el modo normal n es
Estas funciones cumplen que
La integral es el área bajo la curva de la figura inferior.
Modos normales de vibración de una barra elástica con extremos fijosPara encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos seguimos un procedimiento similar
AproximacionesCuando qL es grande exp(-qL)≈0 y el seno y el coseno hiperbólico se pueden aproximar a exp(-qL)/2. Con esta aproximación la ecuación trascendente (senh(qL)-sen(qL))·(senh(qL)+sen(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0 se reduce a cos(qL)=1/exp(qL). Si qL es grande cos(qL)=0, Las raíces de esta ecuación son qnL=π/2+nπ Los cinco primeros valores de rn=qnL son rn=4.71, 7.85, 11.00, 14.14, 17.28. Son prácticamente los mismos, que los calculados resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos La amplitud y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n se puede aproximar a
Se puede calcular el valor aproximado de la integral
Para obtener el integrando, hay que integrar dos veces por partes exp(-qnx)·sen(qnx), y lo mismo, exp(-qnx)·cos (qnx). Para calcular el valor aproximado de la integral, se ha despreciado los términos exp(-qnL) y exp(-2qnL) y por otra parte, cos(2qnL)=0. Ejemplo:Sea una barra de acero densidad ρ=7.8 g/cm3, módulo de Young Y=20.6·1010 N/m2 de dimensiones a=2.54 cm de ancho, b=0.76 mm de espesor y longitud L=20.3 cm. El momento de inercia de la sección trasversal es I=ab3/12=9.29·10-13 m4 La frecuencia del modo fundamental de vibración vale
La frecuencia del segundo modo normal de vibración será f2=9.82·27.36=269 Hz y así, sucesivamente. Como se describe en el artículo citado en las referencias, se puede diseñar una experiencia que permita excitar un modo normal de vibración de la barra, medir la frecuencia con un osciloscopio, y calcular el módulo de Young de la barra. Previamente, se miden las dimensiones de la barra (longitud, anchura y espesor) con los instrumentos adecuados y se pesa en una balanza para determinar su densidad (masa/volumen).
ActividadesEl programa interactivo, resuelve la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio, calculando las cinco primeras raíces. Representa la amplitud y(x) de los puntos x de la barra para los cinco primeros modos de vibración y proporciona el valor de los coeficientes Cn Se pulsan los botones titulados Siguiente>> y <<Anterior |
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Modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo librePara encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre seguimos un procedimiento similar
Ejemplo:Sea una barra de acero del ejemplo del apartado anterior
y así, sucesivamente.
ActividadesEl programa interactivo, resuelve la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio, calculando las cinco primeras raíces. Representa la amplitud y(x) de los puntos x de la barra para los cinco primeros modos de vibración y proporciona el valor de los coeficientes Cn Se pulsan los botones titulados Siguiente>> y <<Anterior
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Medida del módulo de Young de una barra elásticaEn la figura, se muestra el esquema del dispositivo experimental: Una varilla de acero de densidad ρ=7800 kg/m3, de sección rectangular anchura a= 2.54 mm, altura b=0.76 mm sujeta firmemente por su extremo izquierdo. La varilla de longitud L se pone a oscilar mediante una bobina conectada a un generador de frecuencia variable.
Se va modificando la frecuencia del generador hasta que la varilla entra en resonancia en su modo fundamental cuya frecuencia es
Midiendo f1, para una longitud L de la varilla, calculamos el módulo de Young en unidades 109 o GPa. ActividadesSe pulsa el botón titulado Nuevo
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se cambia la longitud de la varilla y se vuelve a buscar la frecuencia de resonancia del primer modo de vibración. Cuando tengamos varios pares de datos se pulsa el botón titulado Gráfica. Se representa en el eje vertical la frecuencia de resonancia f1 en Hz y en el eje horizontal la longitud L de la varilla en cm. Conocida la longitud L de la varilla y la frecuencia f1 de su modo fundamental de vibración, se despeja el módulo de Young Y en GPa (109 N/m2) de la fórmula
Se completa una tabla como la siguiente
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Wilson F., Lord A. E., Young's modulus determination via simple, inexpensive static and dynamic measurements. Am. J. Phys. 41, May 1973, pp. 653-656.
Turvey K. An undergraduate experiment on the vibration of a cantilever and its application to the determination of Young's modulus. Am. J. Phys. 58 (5) May 1990, pp. 483-487
Vibraciones barra
