Inducción electromagnética

1.-Una bobina compuesta de N espiras apretadas del mismo radio r, está apoyada en un plano que hace 30º con la horizontal. Se establece un campo magnético B en la dirección vertical. Suponiendo que el radio de las espiras decrece con el tiempo de la forma r=r₀-vt. Calcular la fem y dibujar el sentido de la corriente inducida, razonando la respuesta.

Solución

Flujo y fem

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B N π r^{2} \cos 30 = B N π {(r_{0} - v t)}^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = \sqrt{3} π B N (r_{0} - v t) v \end{array}$

El radio de las espiras disminuye, su área disminuye, el flujo disminuye. La corriente inducida se opone a la disminución del flujo, tiene el sentido indicado en la figura

2.-Se coloca un circuito de N vueltas, cada una de área S, en un campo magnético uniforme, paralelo al eje Z, que varía con el tiempo de la forma B_z=B₀ cos(ωt).

Cacular la f.e.m. inducida.
Representar el campo magnético y la fem en función del tiempo.
Representar en el circuito el sentido del campo y de la corriente inducida en cada cuarto de periodo, explicando el resultado

Solución

3.-Una bobina formada por 120 espiras rectangulares apretadas, de dimensiones 4 cm y 12 cm, está situada en un plano que forma 30º con el plano XY. La bobina está en una región en la que existe un campo magnético paralelo al eje Z que varía entre -0.003 y 0.003 T de la forma indicada en la parte derecha de la figura.

Para cada uno de los intervalos de tiempo: 0-1, 1-2, 2-4, 4-5 ms (milisegundos). Dibujar en la bobina el sentido de la corriente inducida (razonando la respuesta)
Calcular la fem.
Hacer un gráfico de la intensidad en función del tiempo, sabiendo que la resistencia de la bobina es 50 Ω.

Solución

Flujo y fem

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B (N S) \cos 30 = B \cdot 0.04 \cdot 0.12 \cdot 120 \cdot \cos 30 \\ \begin{array}{l} V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - \sqrt{3} \cdot 0.288 \cdot \frac{d B}{d t} \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = - 0.00576 \sqrt{3} \frac{d B}{d t} \end{array} \end{array}$

Intensidad de la corriente inducida

0-1 ms, B=cte, V_ε=0, i=0

1-2 ms

$\begin{array}{l} \frac{d B}{d t} = \frac{- 3 \cdot 10^{- 3} - 3 \cdot 10^{- 3}}{2 \cdot 10^{- 3} - 10^{- 3}} = - 6 \\ i = 0.06 A \end{array}$

2-4 ms, B=cte, V_ε=0, i=0

4-5 ms

$\begin{array}{l} \frac{d B}{d t} = \frac{3 \cdot 10^{- 3} - (- 3 \cdot 10^{- 3})}{5 \cdot 10^{- 3} - 4 \cdot 10^{- 3}} = 6 \\ i = - 0.06 A \end{array}$

Sentido de la corriente inducida

4.-Una espira cuadrada de lado 2a y resistencia R se mueve con velocidad constante v hacia la derecha como se muestra en la figura, penetra en una región de anchura 2b donde hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano del papel y hacia fuera de módulo B. Calcular en los tres casos siguientes: cuando la espira se está introduciendo, está introducida, y está saliendo de la región que contiene el campo magnético

El flujo en función de la posición x del centro de la espira.
La fem y el sentido de la corriente inducida, justificando la respuesta en términos de la ley de Lenz
Dibuja y calcula la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente inducida en los tres casos. ¿Qué fuerza tenemos que ejercer para que la espira se mueva con velocidad constante?. Calcula la energía por unidad de tiempo (potencia) mecánica y la disipada en la resistencia. ¿Coinciden?

Solución

-b+a>x>-b-a

Flujo aumenta,

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B S \cos 0 = B \cdot 2 a (a + x + b) \\ \begin{array}{l} V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - B \cdot 2 a \frac{d x}{d t} = - 2 B a v \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = - \frac{2 B a v}{R} \end{array} \end{array}$

b-a>x>-b+a

Flujo constante,

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B S \cos 0 = B \cdot 2 a \cdot 2 a = 4 B a^{2} \\ \begin{array}{l} V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = 0 \\ i = 0 \end{array} \end{array}$

x>b-a

Flujo disminuye,

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B S \cos 0 = B \cdot 2 a (a - x + b) \\ \begin{array}{l} V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = B \cdot 2 a \frac{d x}{d t} = 2 B a v \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = \frac{2 B a v}{R} \end{array} \end{array}$

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

$\begin{array}{l} \vec{F_{m}} = i ({\hat{u}}_{t} \times \vec{B}) L \\ F_{m} = i (1 \cdot B \cdot \sin 90) \cdot 2 a = \frac{4 a^{2} B^{2}}{R} v \end{array}$

La fuerza magnética se opone al movimiento de la espira, cuando entra y cuando sale de la región rectangular que contiene el campo magnético. Tenemos que aplicar una fuerza F_a igual y de sentido contrario para mover la espira con velocidad constante v. La potencia mecánica o energía por unidad de tiempo que tenemos que suministrar es

$F_{a} v = \frac{4 a^{2} B^{2}}{R} v^{2}$

La potencia disipada en la resistencia es

$i^{2} R = \frac{4 a^{2} B^{2}}{R} v^{2}$

5.-Una varilla conductora de masa 10 g desliza sobre carriles paralelos verticales distantes 20 cm. Los carriles muy largos se cierran por la parte inferior, tal como se indica en la figura. En la región existe un campo magnético uniforme y perpendicular al plano del papel de intensidad 1.5 T.

Determinar el sentido de la corriente inducida aplicando la ley de Lenz.
Dibuja las fuerzas sobre la varilla AB. La varilla parte del reposo, su velocidad se incrementa indefinidamente o alcanza un valor límite constante. Razona la respuesta
En el segundo caso, ¿cuánto vale esta velocidad?. La resistencia de la varilla es de 10 Ω (los carriles se suponen superconductores).

Solución

Flujo y fem

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B (L x) \cos 0 = B L x \\ \begin{array}{l} V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - B \cdot L \frac{d x}{d t} = B L v \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = \frac{B L v}{R} \end{array} \end{array}$

Como x disminuye dx/dt<0

El flujo disminuye, el sentido de la corriente inducida es contrario a las agujas del reloj

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

$\begin{array}{l} \vec{F_{m}} = i ({\hat{u}}_{t} \times \vec{B}) L \\ F_{m} = i (1 \cdot B \cdot \sin 90) \cdot L = \frac{B^{2} L^{2}}{R} v \end{array}$

Sobre la varilla actúan dos fuerzas, el peso mg y la fuerza magnética F_m.

Al principio, cuando la varilla parte del reposo, v=0, y F_m=0. Al caer la varilla incrementa su velocidad y también, se incrementa la fuerza magnética. La fuerza magnética se va tomando un valor cada vez más próximo, pero siempre inferior al peso. Cuando t→∞, se igualan.

$\frac{B^{2} L^{2}}{R} v = m g v = \frac{m g R}{B^{2} L^{2}} v = \frac{0.01 \cdot 9.8 \cdot 10}{{1.5}^{2} {0.2}^{2}} = 10.89 m/s$

es la velocidad límite constante.

6.-Una varilla conductora de masa 10 g desliza sobre carriles paralelos verticales distantes 20 cm. Los carriles muy largos se cierran por la parte superior, tal como se indica en la figura. En la región existe un campo magnético uniforme y perpendicular al plano del papel (hacia dentro) de 1.5 T. La resistencia de la varilla es de 10 Ω (los carriles se suponen superconductores).

Determinar la fem en función de la velocidad v de la varilla. El sentido de la corriente inducida.
Dibuja las fuerzas sobre la varilla AB y escribe la ecuación de su movimiento
La varilla parte del reposo, su velocidad se va incrementando alcanzando un valor límite constante (cuando t→∞). Calcula el valor de esta velocidad

Solución

Flujo y fem

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B (L x) \cos 180 = - B L x \\ \begin{array}{l} V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = B \cdot L \frac{d x}{d t} = B L v \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = \frac{B L v}{R} \end{array} \end{array}$

El flujo disminuye, la corriente inducida tiene sentido contrario a las agujas del reloj.

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

$\begin{array}{l} \vec{F_{m}} = i ({\hat{u}}_{t} \times \vec{B}) L \\ F_{m} = i (1 \cdot B \cdot \sin 90) \cdot L = \frac{B^{2} L^{2}}{R} v \end{array}$

Sobre la varilla actúan dos fuerzas, el peso mg y la fuerza magnética F_m. La ecuación del movimiento es

$m \frac{d v}{d t} = m g - \frac{B^{2} L^{2}}{R} v$

Al principio, cuando la varilla parte del reposo, v=0, y F_m=0. Al caer la varilla incrementa su velocidad y también, se incrementa la fuerza magnética. La fuerza magnética va tomando un valor cada vez más próximo, pero siempre inferior al peso. Cuando t→∞, se igualan.

$\frac{B^{2} L^{2}}{R} v = m g v = \frac{m g R}{B^{2} L^{2}} v = \frac{0.01 \cdot 9.8 \cdot 10}{{1.5}^{2} {0.2}^{2}} = 10.89 m/s$

es la velocidad límite constante.

7.-Una varilla conductora de masa 10 g desliza sobre carriles paralelos distantes 20 cm y que forman un ángulo de 30º con el plano horizontal. Los carriles se cierran por la parte inferior, tal como se indica en la figura. En la región existe un campo magnético uniforme y perpendicular al plano horizontal de intensidad 1 T.

Calcular la fem en función de la velocidad constante de la varilla. La intensidad de la corriente inducida si la resistencia del circuito es de 10 ω.
La(s) fuerza(s) sobre la varilla.
¿Cuánto valdrá la velocidad de la varilla cuando desliza con movimiento uniforme? (se desprecia el rozamiento).

Solución

Flujo, fem e intensidad de la corriente inducida

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B (L x) \cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2} B L x = 0.1 \sqrt{3} x \\ V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - 0.1 \sqrt{3} \frac{d x}{d t} = 0.1 \sqrt{3} v \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = 0.01 \sqrt{3} v \end{array}$

Como x disminuye dx/dt<0

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

$\begin{array}{l} \vec{F_{m}} = i ({\hat{u}}_{t} \times \vec{B}) L \\ F_{m} = i (1 \cdot B \cdot \sin 90) \cdot L = 0.01 \sqrt{3} v \cdot 1 \cdot 0.2 = 0.002 \sqrt{3} v \end{array}$

Sobre la varilla actúan tres fuerzas, el peso mg y la fuerza magnética F_m y la reacción N del plano inclinado.

Al principio, cuando la varilla parte del reposo, v=0, y F_m=0. Al caer la varilla incrementa su velocidad y también, se incrementa la fuerza magnética. La componente a lo largo del plano de fuerza magnética va tomando un valor cada vez más próximo, pero siempre inferior a la componente del peso a lo largo del plano inclinado. Cuando t→∞, se alcanza el equilibrio.

$F_{m} \cos 30 = m g \sin 30 v = \frac{50}{3} m/s$

es la velocidad límite constante.

8.-Una varilla de longitud r gira con velocidad angular ω apoyado su extremo P en un raíl semicircular del mismo radio. El dispositivo está situado en un campo magnético B uniforme, perpendicular al plano del papel y dirigido hacia adentro.

Determinar razonadamente, la fem y el sentido de la corriente inducida
Si la resistencia de la varilla R. Hallar la fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción infinitesimal de la varilla OP, y el momento de las fuerzas sobre la varilla respecto del centro O. Hállese la potencia necesaria que tendremos que suministrar para mantener la varilla girando con velocidad constante.

Solución

Área de la espira en el instante t=área del círculo de radio r- área del sector circular de ángulo ωt.

$\begin{array}{l} S = π r^{2} - \frac{ω t}{2 π} π r^{2} \\ Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B π r^{2} (1 - \frac{ω t}{2 π}) \cos 180 º = - B π r^{2} (1 - \frac{ω t}{2 π}) \\ V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - \frac{ω B r^{2}}{2} \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = - \frac{ω B r^{2}}{2 R} \end{array}$

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

$\vec{F_{m}} = i ({\hat{u}}_{t} \times \vec{B}) L$

La fuerza sobre un elemento diferencial dx de varilla es

dF=i(1·B·sin90)dx=iB·dx

Como vemos es una fuerza de frenado, que se opone al movimiento de la varilla

El momento de dicha fuerza respecto del centro O es x·dF=iBx·dx

El momento total es

$M = \int_{0}^{r} i B x \cdot d x = i B \frac{r^{2}}{2} = \frac{ω B^{2} r^{4}}{4 R}$

Para que la varilla se mueva con velocidad angular constante, es necesario ejercer un momento igual y de sentido contrario. La potencia mecánica es

$P = M \cdot ω = \frac{ω^{2} B^{2} r^{4}}{4 R}$

La potencia disipada en la resistencia es

$P = i^{2} R = \frac{ω^{2} B^{2} r^{4}}{4 R}$

9.-Por un hilo rectilíneo indefinido circula una corriente de intensidad i₁. Una espira cuadrada de lado a está apoyada en el suelo, tal como se muestra en la figura.

En un intervalo de tiempo Δt la corriente del hilo i₁ cambia linealmente con el tiempo, calcular las fuerza magnética resultante sobre la espira.

Solución

El campo magnético producido por la corriente rectilínea en un punto situado a una distancia x es

$B = \frac{μ_{0} i_{1}}{2 π x}$

Su dirección es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto y su sentido es hacia dentro.

El flujo de dicho campo a través de la espira cuadrada de lado a es

$Φ = \int^{} \vec{B} \cdot \vec{d S} = \int_{z}^{z + a} \frac{μ_{0} i_{1}}{2 π x} (a \cdot d x) \cos 180 º = - \frac{μ_{0} i_{1}}{2 π} a \ln (\frac{z + a}{z})$

Si la intensidad i₁ que circula por la corriente rectilínea varía con el tiempo, se produce en la espira una fem inducida

$V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = \frac{μ_{0}}{2 π} a \ln (\frac{z + a}{z}) (\frac{d i_{1}}{d t})$

El sentido de la corriente inducida es contrario a las agujas del reloj si la corriente aumenta (di₁/dt>0) y del sentido de las agujas del reloj si la corriente disminuye (di₁/dt<0).

Si la espira tiene resistencia R, la intensidad en la espira vale

$i_{2} = \frac{V_{ε}}{R} = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{a}{R} \ln (\frac{z + a}{z}) (\frac{d i_{1}}{d t})$

Analicemos ahora las fuerzas sobre los lados de la espira.

La fórmula de la fuerza que un campo magnético produce sobre una porción L de corriente rectilínea de intensidad i es.

$\vec{F_{m}} = i ({\hat{u}}_{t} \times \vec{B}) L$

Las fuerzas sobre los lados verticales son iguales y opuestas por lo que no contribuyen al movimiento de la espira.

La fuerza F₁ sobre el lado horizontal más cercano a la corriente rectilínea es mayor que la fuerza F₂ sobre el lado horizontal más alejado. La fuerza magnética neta sobre la espira es F₁-F₂.

$\begin{array}{l} F_{1} - F_{2} = - i_{2} \frac{μ_{0} i_{1}}{2 π z} a + i_{2} \frac{μ_{0} i_{1}}{2 π (z + a)} a = - i_{2} i_{1} \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{a^{2}}{z (z + a)} = \\ - i_{1} {(\frac{μ_{0}}{2 π})}^{2} \frac{1}{R} \frac{a^{3}}{z (z + a)} \ln (\frac{z + a}{z}) (\frac{d i_{1}}{d t}) \end{array}$

El sentido de la fuerza neta F₁-F₂ depende del producto i₁(di₁/dt),

Si el producto es positivo F₁-F₂<0, si el producto es negativo F₁-F₂>0

Si la fuerza magnética neta fuese superior al peso la espira se movería verticalmente hacia arriba.

Ejemplo.

Sea una espira cuadrada, de lado a=1 cm, hecha de cable de aluminio de 1 mm de diámetro. La densidad del aluminio es 2700 kg/m³ y su resistividad 2.8·10^-8 Ω·m

La masa y resistencia de la espira son:

$\begin{array}{l} m = ρ L S m = 2700 \cdot 0.04 \cdot π {(0.0005)}^{2} = 8.48 \cdot 10^{- 5} kg \\ R = ρ \frac{L}{S} R = 2.8 \cdot 10^{- 8} \frac{0.04}{π {(0.0005)}^{2}} = 1.43 \cdot 10^{- 3} Ω \end{array}$

Supongamos que la corriente i₁ varía con el tiempo de la forma i₁=100-100·t, y que la espira (su lado más cercano) se encuentra a una distancia z=4 cm.

$\begin{array}{l} F_{1} - F_{2} = - i_{1} {(\frac{μ_{0}}{2 π})}^{2} \frac{1}{R} \frac{a^{3}}{z (z + a)} \ln (\frac{z + a}{z}) (\frac{d i_{1}}{d t}) = \\ - (100 - 100 \cdot t) {(2 \cdot 10^{- 7})}^{2} \frac{1}{1.43 \cdot 10^{- 3}} \frac{{0.01}^{3}}{0.04 \cdot 0.05} \ln (\frac{0.05}{0.04}) (- 100) = 3.13 \cdot 10^{- 11} (1 - t) N \end{array}$

Esta fuerza es muy pequeña comparada con el peso mg de la espira.

10.-Por un hilo rectilíneo indefinido circula una corriente de intensidad i. Una espira rectangular de lados a y b se aleja con velocidad v de la espira

Calcular la fem inducida en la espira.
El sentido de la corriente inducida

Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Electromagnetism. World Scientific (1993). Problem 2043, pp. 197

Solución

El flujo es

$Φ = \int \vec{B} \cdot \vec{d S} = \int_{r}^{r + a} \frac{μ_{0} i}{2 π x} (b \cdot d x) \cdot \cos 0 = \frac{μ_{0} i}{2 π} b \ln \frac{r + a}{r}$

La fem

$V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = \frac{μ_{0}}{2 π} b \frac{a}{r (r + a)} \frac{d r}{d t} = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{a b}{r (r + a)} v$

El flujo disminuye, el sentido de la corriente inducida es antihorario

11.-Por dos hilos rectilíneos paralelos circula la misma corriente i pero en sentidos opuestos. La intensidad se incrementa con el tiempo a razón de di/dt A/s. Una espira cuadrada de lado d está en el mismo plano a una distancia d de una de las dos corrientes, tal como se muestra en la figura.

Calcular la fem inducida en la espira.
El sentido de la corriente inducida

Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Electromagnetism. World Scientific (1993). Problem 2041, pp. 194-196

Solución

Primero, calculamos el flujo del campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida a través de un espira rectangular de lados a y b, distante r de la corriente.

$Φ = \int \vec{B} \cdot \vec{d S} = \int_{r}^{r + a} \frac{μ_{0} i}{2 π x} (b \cdot d x) \cdot \cos 0 = \frac{μ_{0} i}{2 π} b \ln \frac{r + a}{r}$

El campo $\vec{B_{1}}$ producido por la primera corriente es perpendicular al plano de la pantalla y hacia dentro. El flujo es, r=2d, a=d, b=d

$Φ_{1} = - \frac{μ_{0} i}{2 π} d \ln \frac{3 d}{2 d} = - \frac{μ_{0} i}{2 π} d \ln \frac{3}{2}$

El campo $\vec{B_{2}}$ producido por la segunda corriente es perpendicular al plano de la pantalla y hacia fuera. El flujo es, r=d

$Φ_{2} = \frac{μ_{0} i}{2 π} d \ln \frac{2 d}{d} = \frac{μ_{0} i}{2 π} d \ln 2$

El flujo total,

$Φ = Φ_{2} + Φ_{1} = \frac{μ_{0} i}{2 π} d \ln \frac{4}{3}$

La fem inducida en la espira es

$V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - \frac{μ_{0}}{2 π} d \ln \frac{4}{3} \frac{d i}{d t}$

El sentido es horario

12.-Una varilla AC se mueve con velocidad constante v, a lo largo del eje X, partiendo del origen en el instante t=0.

La varilla se mueve sobre dos raíles rectilíneos que parten del origen y forman un ángulo, θ.

En el intervalo x≤a la varilla atraviesa un campo magnético uniforme perpendicular al plano XY, sentido a lo largo del eje Z.
En el intervalo a<x≤2a, no hay campo magnético
En el intervalo 2a<x≤3a, la varilla atraviesa un campo magnético uniforme perpendicular al plano XY, de sentido contrario

Los raíles y la varilla presentan una resistencia r por unidad de longitud, al paso de la corriente inducida en el circuito.

Calcular la f.e.m. y la corriente inducida

Félix Salazar Bloise, Rafael Medina Ferro, Ana Bayón Rojo, Francisco Gascón Latasa. Solved Problems in Electromagnetics. Springer (2017). Problem 8.7, pp. 533-534

Solución

Aplicamos la ley de Faraday a los tres casos

$V_{ε} = - \frac{d}{d t} \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{d S}$

Intervalo x≤a

El campo magnético y el vector superficie tiene la misma dirección y sentido

$\begin{array}{l} \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{d S} = B (\frac{x^{2} \tan θ}{2}) \cos 0 = \frac{1}{2} B v^{2} t^{2} \tan θ \\ V_{ε} = - (B v^{2} \tan θ) t \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = - \frac{B v^{2} \tan θ}{r (x + x \tan θ + \frac{x}{\cos θ})} t = - \frac{B v \tan θ}{r (1 + \tan θ + \frac{1}{\cos θ})} \end{array}$

El flujo aumenta, el sentido de la corriente inducida es el de las agujas del reloj

Intervalo a<x≤2a

El flujo es constante, no hay corriente inducida

$\begin{array}{l} \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{d S} = B (\frac{a^{2} \tan θ}{2}) \cos 0 = \frac{1}{2} B a^{2} \tan θ \\ V_{ε} = 0 \end{array}$

Intervalo 2a<x≤3a

El flujo total es la suma de uno constante y otro variable

$\begin{array}{l} \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{d S} = B (\frac{a^{2} \tan θ}{2}) \cos 0 + B (\frac{x^{2} \tan θ}{2} - \frac{4 a^{2} \tan θ}{2}) \cos 180 = \\ \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{d S} = B (\frac{5 a^{2} \tan θ}{2}) - B (\frac{x^{2} \tan θ}{2}) \\ V_{ε} = (B v^{2} \tan θ) t \\ i = \frac{V_{ε}}{R} = \frac{B v^{2} \tan θ}{r (x + x \tan θ + \frac{x}{\cos θ})} t = \frac{B v \tan θ}{r (1 + \tan θ + \frac{1}{\cos θ})} \end{array}$

El flujo disminuye, el sentido de la corriente inducida es contrario a las agujas del reloj

13.-El circuito de la figura está formado por un alambre de forma semicircular de radio l que contiene una resistencia R=200 Ω. El circuito se completa con una varilla de longitud l=0.1m y masa m=0.05 kg. Un extremo de la varilla está en el centro O y el otro extremo puede deslizar por el alambre semicircular sin rozamiento.

El circuito está en el plano vertical en una región donde hay un campo magnético uniforme B=2 T perpendicular al plano del circuito y apuntando hacia el lector.

Escribir la ecuación del movimiento de la varilla.
Cuando el ángulo θ es pequeño, sinθ≈θ, ¿de qué movimiento se trata?

2022 Online Physics Olympiad:Open Contest. pp. 20

Solución

El área encerrada por el circuito es la suma del área de un sector circular de radio l y ángulo θ y del área de un cuarto de circulo de radio l

$S = \frac{1}{2} l^{2} θ + \frac{1}{4} π l^{2}$

El flujo y la fem son

$\begin{array}{l} Φ = \vec{B} \cdot \vec{S} = B (\frac{1}{2} l^{2} θ + \frac{1}{4} π l^{2}) \\ V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t} = - \frac{1}{2} B l^{2} \frac{d θ}{d t} \end{array}$

La intensidad de la corriente que circula por el circuito

$i = \frac{V_{ε}}{R} = - \frac{1}{2} \frac{B l^{2}}{R} \frac{d θ}{d t}$

Si θ aumenta el área aumenta, el flujo aumenta y el sentido de la corriente inducida es el de las agujas del reloj

El campo magnético ejerce una fuerza sobre una porción l de corriente rectilínea cuya fórmula es

$\vec{F_{m}} = i ({\hat{u}}_{t} \times \vec{B}) l$

La fuerza sobre una porción de corriente de longitud dx situada entre x y x+dx es dF=iB·dx, perpendicular a la varilla y en el sentido indicado en la figura.

El momento de esta fuerza respecto del centro O es x·dF, el momento total es

$M_{ε} = \int_{0}^{l} i B x \cdot d x = \frac{1}{2} i B l^{2} = - \frac{1}{4} \frac{B^{2} l^{4}}{R} \frac{d θ}{d t}$

El peso mg de la varilla actúa en su centro de masa, el momento de esta fuerza respecto de O es

$M_{p} = - m g \frac{l}{2} \sin θ$

Ambos momentos se oponen al movimiento de la varilla.

El momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular que pasa por su extremo O es

$I_{O} = \frac{1}{12} m l^{2} + m {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{3} m l^{2}$

La ecuación de la dinámica de rotación de la varilla es

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} m l^{2} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - m g \frac{l}{2} \sin θ - \frac{1}{4} \frac{B^{2} l^{4}}{R} \frac{d θ}{d t} \\ \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{3}{4} \frac{B^{2} l^{2}}{m R} \frac{d θ}{d t} + \frac{3}{2} \frac{g}{l} \sin θ = 0 \end{array}$

Cuando el ángulo θ es pequeño, sinθ≈θ

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d θ}{d t} + ω_{0}^{2} θ = 0, {\begin{cases} 2 γ = \frac{3}{4} \frac{B^{2} l^{2}}{m R} \\ ω_{0}^{2} = \frac{3}{2} \frac{g}{l} \end{cases}$

Es la ecuación de las oscilaciones amortiguadas.

$\begin{array}{l} θ = \exp (- γ t) (\frac{{(\frac{d θ}{d t})}_{0} + γ θ_{0}}{ω} \sin (ω t) + θ_{0} \cos (ω t)) \\ ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - γ^{2}} \end{array}$

Donde θ₀ y (dθ/dt)₀ es la posición angular y la velocidad angular inicial, respectivamente.

Representamos la solución analítica aproximada y la solución numérica de la ecuación diferencial del movimiento

l=0.1; %longitud varilla
R=200; %resistencia
m=0.05; %masa de la varilla
B=2; %campo magnético (T)
g=3*B^2*l^2/(8*m*R); %gamma
w0_2=3*9.8/(2*l); %cuadrado de la frecuencia angular propia

w=sqrt(w0_2-g^2); %frecuencia angular de la oscilación amortiguada
th_0=pi/6; %desviación inicial, parte del reposo
tf=2; %tiempo final
th=@(t) th_0*exp(-g*t).*(g*sin(w*t)/w+cos(w*t));
hold on
fplot(th,[0,tf])
f=@(t,x) [x(2);-2*g*x(2)-w0_2*sin(x(1))]; 
[t,x]=ode45(f,[0,tf],[th_0,0]);
plot(t,x(:,1)) %tiempo, posición
hold off
grid on
legend('analítica','numérica','location','best')
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Oscilador amortiguado')

La amplitud permanece casi constante, el amortiguamiento debido a la fuerza sobre la corriente inducida, se empieza a apreciar cuando el tiempo es grande