Cálculo de momentos de inercia

Momento de inercia de una distribución de masas puntuales

Tenemos que calcular la cantidad

I= x i 2 m i

donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.

Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es

IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es

IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es

IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2 

El teorema de Steiner nos facilta el cálculo de los momentos de inercia. Conocido IC calculamos IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.

La fórmula que tenemos que aplicar es

I=IC+Md2

 IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

Momento de inercia de una distribución continua de masa

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

I= x 2 dm

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación

Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

dm= M L dx

El momento de inercia de la varilla es

I C = L/2 L/2 M L x 2 dx = 1 12 M L 2

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

I= I C +M ( L 2 ) 2 = 1 3 M L 2

Momento de inercia de un disco

Calculamos el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento diferencial de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2πx y anchura dx, cuya masa es

dm= M π R 2 2πxdx= 2M R 2 xdx

El momento de inercia del disco es

I C = 0 R 2M R 2 x 3 dx= 1 2 M R 2

Momento de inercia de un cono

Sea un cono de masa m, altura h y radio de la base R.

Calculamos el volumen del cono, dividiéndolo en discos radio x y espesor dz, tal como se muestra en la figura. El volumen de cada disco es πx2dz

V= 0 h π x 2 dz

Relacionamos las variables x y z, figura de la derecha

tanθ= R h = x hz

El volumen de un cono de altura h y radio de la base R es

V=π R 2 h 2 0 h ( hz ) 2 dz= 1 3 π R 2 h

Sabiendo que la masa dm de cada uno de los discos es

dm= M 1 3 πh R 2 π x 2 dz

El momento de inercia del cono respecto del eje Z, es la suma de los momentos de inercia de los discos respecto al mismo eje

I= 1 2 x 2 dm

Utilizando la relación entre las variables x y z

I= 3 2 M h R 2 R 4 h 4 0 h (hz) 4 dz= 3 10 M R 2

Momento de inercia de un cilindro

Calculamos el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento diferencial de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

dm= M π R 2 L 2πxdx·L= 2M R 2 xdx

El momento de inercia del cilindro es

I C = x 2 dm= 0 R 2M R 2 x 3 dx = 1 2 M R 2

La misma fórmula que un disco de masa M y radio R

Momento de inercia de un anillo

Deducimos la fómula del momento de inercia de una anillo cilíndico de masa M, de radio interior R1 y radio exterior R2

Si la masa M está contenida en el volumen de un anillo de altura h, es ( π R 2 2 π R 1 2 )·h

La masa m1 contenida en un cilindro macizo de radio R1 es

m 1 = M ( π R 2 2 π R 1 2 )·h π R 1 2 h= M R 2 2 R 1 2 R 1 2

La masa m2 contenida en un cilindro macizo de radio R2 es

m 2 = M ( π R 2 2 π R 1 2 )·h π R 2 2 h= M R 2 2 R 1 2 R 2 2

El momento de inercia del anillo, respecto de su eje de simetría es la diferencia de los momentos de inercia de dos cilindros macizos de radios R2 y R1 y masas m2 y m1, respectivamente

I c = 1 2 m 2 R 2 2 1 2 m 1 R 2 2 = 1 2 M R 2 4 R 1 4 R 1 2 R 2 2 = 1 2 M( R 1 2 + R 2 2 )

Momento de inercia de una placa rectangular

Calculamos el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.

Tomamos un elemento diferencial de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a y de anchura dx. La masa de este rectángulo es

dm= M ab adx= M b dx

I C = b/2 b/2 M b x 2 dx = 1 12 M b 2

Momento de inercia de un disco

Calculamos el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.

Tomamos un elemento diferencial de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es

dm= M π R 2 2ydx

El momento de inercia del disco es

I C = R R M π R 2 2 x 2 ydx

Haciendo el cambio de variable

y=R·cosθ
x=R
·sinθ

Llegamos a la integral

I C = 2M π R 2 π/2 π/2 R 4 sin 2 θ cos 2 θ·dθ = M R 2 2π π/2 π/2 sin 2 2θ·dθ= M R 2 4π π/2 π/2 (1cos4θ)·dθ = 1 4 M R 2

Momento de inercia de una esfera

Calculamos el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

1 2 x 2 dm

La masa de cada uno de los discos es

dm= M 4 3 π R 3 π x 2 dz= 3M 4 R 3 x 2 dz

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

I C = 1 2 x 2 dm= R R 1 2 x 2 3M 4 R 3 x 2 dz = 3M 8 R 3 R R x 4 dz

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2

I C = 3M 8 R 3 R R ( R 2 z 2 ) 2 dz = 3M 8 R 3 R R ( R 4 + z 4 2 R 2 z 2 )dz = 2 5 M R 2

Momento de inercia de una esfera hueca

Calculamos el momento de inercia de una esfera hueca de masa M, radio interior a y radio exterior b

Si M es la masa de la esfera hueca, calculamos la masa ma de la esfera de radio a y mb de la esfera de radio b

m a =M 4 3 π a 3 4 3 π b 3 4 3 π a 3 =M a 3 b 3 a 3 m b =M b 3 b 3 a 3

El momento de inercia de la esfera hueca respecto de un eje que pasa por su centro es

I= I b I a = 2 5 m b b 2 2 5 m a a 2 = 2 5 M b 5 a 5 b 3 a 3

Momento de inercia de una superficie esférica de radio R

Calculamos el momento de inercia de una placa de pequeño espesor en forma de semiesfera de radio R y masa M

Tomamos el elemento de área mostrado en la figura, que es una franja rectangular de longitud 2πx y anchura R·dθ

x 2 dm = x 2 M 4π R 2 2πx·R·dθ= M 2R x 3 dθ= M 2R π/2 π/2 R 3 cos 3 θ·dθ= M R 2 2 π/2 π/2 (1 sin 2 θ)cosθ·dθ= M R 2 2 ( sinθ 1 3 sin 3 θ ) π/2 π/2 = 2 3 M R 2

Calculamos este momento de inercia a partir del momento de inercia de una esfera hueca de espesor pequeño, comparado con el radio de la esfera

I= 2 5 M b 5 b 3 1 ( a b ) 5 1 ( a b ) 3 = 2 5 M b 2 1 ( a b ) 5 1 ( a b ) 3

Sea a=b-Δr, donde Δr<<b es el espesor. a/b=1-Δx, con Δx<<1

Utilizamos la aproximación (1-Δx)n≈1-n·Δx

I= 2 5 M b 2 1 ( a b ) 5 1 ( a b ) 3 2 5 M b 2 1(15Δx) 1(13Δx) = 2 3 M b 2

Momento de inercia de un cilindro

Calculamos el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es

1 4 R 2 dm= 1 4 R 2 M π R 2 L π R 2 dx= M 4L R 2 dx

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

1 4 R 2 dm+ x 2 dm=( 1 4 R 2 + x 2 ) M π R 2 L π R 2 dx=( 1 4 R 2 + x 2 ) M L dx

El momento de inercia del cilindro es

I C = L/2 L/2 ( 1 4 R 2 + x 2 ) M L dx= 1 4 M R 2 + 1 12 M L 2

Momento de inercia de un paralepípedo

Calculamos el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.

El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

1 12 b 2 dm

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es

1 12 b 2 dm+ x 2 dm=( 1 12 b 2 + x 2 ) M abc ab·dx=( 1 12 b 2 + x 2 ) M c dx

El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es

c/2 c/2 ( 1 12 b 2 + x 2 ) M c dx= M 12 ( b 2 + c 2 )