La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, supondremos que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad F_r=-λv, donde λ es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.

La ecuación del movimiento se escribe

ma=-kx-λv

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0{\omega }_{\text{0}}^{\text{2}}=\frac{k}{m}2\gamma =\frac{\lambda }{m}}$

• ω₀ es la frecuencia natural o propia del oscilador
• γ es la constante de amortiguamiento

Las raíces de la ecuación característica son:

${\displaystyle s^2+2\gamma s+{\omega }_0^2=0\{\begin{array}{l}{s}_1=-\gamma +\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}\\ s_1=-\gamma -\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}\end{array}}$

Las soluciones de la ecuación diferencial son

• Oscilaciones amortiguadas

El discriminante es negativo, γ<ω₀

${\displaystyle \begin{array}{l}x=C\exp \left((-\gamma +i\omega )t\right)+D\exp \left((-\gamma -i\omega )t\right)=\\ \exp \left(-\gamma t\right)\left\{C\left(\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)\right)+D\left(\cos (\omega t)-i\sin (\omega t)\right)\right\}\\ =\exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)\right\}\\ \omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}\end{array}}$

• Oscilaciones críticas

El discriminante es nulo, γ=ω₀

${\displaystyle x=\left\{A+Bt\right\}\exp \left(-\gamma t\right)}$

• Oscilaciones sobreamortiguadas

El discriminante es positivo, γ>ω₀

${\displaystyle \begin{array}{l}x=C\exp \left((-\gamma +\omega )t\right)+D\exp \left((-\gamma -\omega )t\right)=\exp \left(-\gamma t\right)\left\{C\exp (\omega t)+D\exp (-\omega t)\right\}=\\ \exp \left(-\gamma t\right)\left\{C\left\{\cosh (\omega t)+\sinh (\omega t)\right\}+D\left\{\cosh (\omega t)-\sinh (\omega t)\right\}\right\}\\ =\exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\sinh (\omega t)+B\cosh (\omega t)\right\}\\ \omega =\sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}\end{array}}$

Oscilaciones amortiguadas

La posición x y velocidad dx/dt en función del tiempo t son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)\right\}\\ \frac{dx}{dt}=-\gamma \exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)\right\}+\omega \exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\cos (\omega t)-B\sin (\omega t)\right\}\end{array}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial x₀ y velocidad inicial v₀ en el instante t=0

${\displaystyle \begin{array}{l}t=0\{\begin{array}{l}{x}_0=B\\ v_0=-\gamma B+\omega A\end{array}\\ x=\exp (-\gamma t)\left(\frac{v_0+\gamma x_0}{\omega }\sin (\omega t)+x_0\cos (\omega t)\right)\end{array}}$

Tomamos γ=7 y ω₀=100. Las condiciones iniciales son: x₀=5, v₀=0

x0=5; %condiciones iniciales
v0=0;
g=7; %constante de amortiguamiento
w0=100; %frecuencia natural
w=sqrt(w0^2-g^2);
x=@(t) (x0*cos(w*t)+(v0+g*x0)*sin(w*t)/w).*exp(-g*t);
fplot(x,[0,0.7])
title('Oscilación amortiguada')
xlabel('t')
ylabel('x');
grid on

Otra forma alternativa de expresarlo es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A_0\exp (-\gamma t)\sin \left(\omega t+\phi \right)\\ A_0=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{\frac{v_0^2+2v_0\gamma x_0+x_0^2{\omega }_0^2}{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}}\\ \tan \phi =\frac{B}{A}=\frac{x_0\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}}{v_0+\gamma x_0}\end{array}}$

Sea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ω₀=100 rad/s y cuya constante de amortiguamiento γ=7.0 s^-1. Sabiendo que la partícula parte de la posición x₀=5 con velocidad inicial nula, v₀=0, escribimos la ecuación de la oscilación amortiguada.

La frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es

${\displaystyle \omega =\sqrt{{100}^2-7^2}=99.75\text{rad/s}}$

A₀=5.01
tanφ=14.25

La ecuación de la oscilación amortiguada es

x=5.01·exp(-7t)·sin(99.75t+1.5)

Representamos la posición x y velocidad v en función del tiempo t, señalando los puntos donde la velocidad es nula, o el desplazamiento x es máximo o mínimo

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A_0\exp (-\gamma t)\sin (\omega t+\phi )\hfill \\ v=\frac{dx}{dt}=A_0\exp (-\gamma t)\left\{-\gamma \sin (\omega t+\phi )+\omega \cos (\omega t+\phi )\right\}\hfill \\ v=\mathrm{0,}{t}_n=\frac{\arctan (\omega /\gamma )+n\pi -\phi }{\omega }\hfill \end{array}}$

w0=100; %frecuencia propia
g=7; %constante amortiguamiento
x0=5; %condiciones iniciales
v0=0; 
A0=sqrt((v0^2+2*v0*g*x0+x0^2*w0^2)/(w0^2-g^2)); %amplitud
phi=atan(x0*sqrt(w0^2-g^2)/(v0+g*x0)); %fase inicial
w=sqrt(w0^2-g^2);

subplot(2,1,1)
x=@(t) A0*exp(-g*t).*sin(w*t+phi);
hold on
fplot(x,[0,0.5])
for n=0:15
    t0=(atan(w/g)+n*pi-phi)/w;
    plot(t0,x(t0),'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
end
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Posición')

subplot(2,1,2)
v=@(t) A0*exp(-g*t).*(-g*sin(w*t+phi)+w*cos(w*t+phi));
hold on
fplot(v,[0,0.5])
for n=0:15
    t0=(atan(w/g)+n*pi-phi)/w;
    plot(t0,0,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
end
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('v')
title('Velocidad')

Determinamos los puntos de intersección de la amplitud A₀exp(-γt) con la posición x

${\displaystyle \sin (\omega t+\phi )=\pm \mathrm{1,}{t}_n^{\text{'}}=\frac{\pi /2+n\pi -\phi }{\omega }}$

Representamos la posición x en función del tiempo t, la amplitud A₀exp(-γt), los instantes t'_n en los que ambas curvas son tangentes (puntos de color azul) y los instantes t_n en los que el desplazamiento x es máximo o mínimo (puntos de color rojo). Para apreciar la diferencia entre ambos, se ha establecido el valor de la constante de amortiguamiento en γ=30.

w0=100; %frecuencia propia
g=30; %constante amortiguamiento
x0=5; %condiciones iniciales
v0=0; 
A0=sqrt((v0^2+2*v0*g*x0+x0^2*w0^2)/(w0^2-g^2));
phi=atan(x0*sqrt(w0^2-g^2)/(v0+g*x0));
w=sqrt(w0^2-g^2);
x=@(t) A0*exp(-g*t).*sin(w*t+phi);
hold on
fplot(x,[0,0.2])
fplot(@(t) A0*exp(-g*t),[0,0.2])
fplot(@(t) -A0*exp(-g*t),[0,0.2])
for n=0:4
    t0=(atan(w/g)+n*pi-phi)/w;
    plot(t0,x(t0),'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
    t1=(pi/2+n*pi-phi)/w;
    plot(t1,x(t1),'o','markersize',3,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
end

hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('oscilaciones amortiguadas')

La amplitud A₀exp(-γt) no pasa por los máximos, pero muy cerca de los mismos para la mayor parte de las situaciones en las que el rozamiento es pequeño, γ<<ω₀. La diferencia t'_n-t_n es muy pequeña

${\displaystyle t_n^{\text{'}}-t_n=\frac{\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{\omega }{\gamma }\right)}{\omega }}$

La energía del oscilador amortiguado

La energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial del muelle elástico deformado.

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{x}^2}$

Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t.

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=A_0\exp (-\gamma t)\sin (\omega t+\phi )\\ v=A_0\exp (-\gamma t)\left\{-\gamma \sin (\omega t+\phi )+\omega \cos (\omega t+\phi )\right\}\end{array}\\ E=\frac{1}{2}m{A}_0^2\exp (-2\gamma t)\left\{{\omega }_0^2{\sin }^2(\omega t+\phi )+{\left\{-\gamma \sin (\omega t+\phi )+\omega \cos (\omega t+\phi )\right\}}^2\right\}\end{array}}$

Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, como hemos visto en el ejemplo del apartado anterior ω₀≈ω

${\displaystyle \begin{array}{l}E\approx \frac{1}{2}m{A}_0^2\exp (-2\gamma t)\left\{{\omega }_0^2{\sin }^2(\omega t+\phi )+{\omega }_0^2{\cos }^2(\omega t+\phi )-2\gamma {\omega }_0\sin (\omega t+\phi )\cos (\omega t+\phi )\right\}=\\ \frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}_0^2{e}^{-2\gamma t}\left(1-\frac{\gamma }{{\omega }_0}\sin (2({\omega }_{0}t+\phi ))\right)\end{array}}$

La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación debida al segundo término entre paréntesis.

Añadimos al script anterior las siguientes líneas para representar la energía del oscilador amortiguado en función del tiempo. La energía del oscilador decrece rápidamente con el tiempo.

%energía
v=diff(x,t);
e=0.5*v^2+0.5*100^2*x^2;  %la masa m es un factor de escala m=1
ee=subs(e,{g w0 x0 v0},{7 100 5 0})
figure
ezplot(ee,[0 0.7])
grid on
title('Energía')

La energía perdida hasta el instante t a causa de la fuerza de rozamiento se calcula mediante la integral

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}-(\lambda v})v·dt=-2m\gamma {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{v}^{2}dt}}$

que será igual a la diferencia entre la energía del oscilador en el instante t y la energía inicial del oscilador en el instante t=0

Comprobamos con MATLAB

clear
syms t g w0 x0 v0;
w=sqrt(w0^2-g^2);
x=exp(-g*t)*((v0+g*x0)*sin(w*t)/w+x0*cos(w*t)); %posición
v=diff(x,t);  %velocidad
Ei=v0^2/2+w0^2*x0^2/2; %energía inicial del oscilador
Ef=v^2/2+w0^2*x^2/2; %energía final 
DE=Ef-Ei; %diferencia de energías
 %características del oscilador, masa m=1
E1=subs(DE,{g w0 x0 v0},{7 100 5 0});
Ep=-int(2*g*v^2,t,0,t); %trabajo de la fuerza de rozamiento
E2=subs(Ep,{g w0 x0 v0},{7 100 5 0});
subs(E1,t,0.7) %valor para el instante t=0.7 s
subs(E2,t,0.7)

Corremos el script en la ventana de comandos

ans = -1.2499e+005
ans = -1.2499e+005

Representamos la energía potencial, la energía cinética y la energía total de un oscilador amortiguado, tomando como unidad la energía inicial, E₀

• Masa, m=1 kg
• Constante del muelle, k=0.4 N/m
• Amortiguamiento, γ=0.2 s^-1
• Posición inicial, x₀=0.02 m
• Velocidad inicial, v₀=0.2 m/s

m=0.1; %masa
k=0.40; %constante del muelle
g=0.2; %amortiguamiento
w0=sqrt(k/m); %frecuencia propia
x0=0.02; %posición inicial
v0=0.2; %velocidad inicial
A0=sqrt((v0^2+2*v0*g*x0+x0^2*w0^2)/(w0^2-g^2));
phi=atan(x0*sqrt(w0^2-g^2)/(v0+g*x0));
w=sqrt(w0^2-g^2);
x=@(t) A0*exp(-g*t).*sin(w*t+phi);
v=@(t) A0*exp(-g*t).*(-g*sin(w*t+phi)+w*cos(w*t+phi));

E0=k*x0^2/2+m*v0^2/2; %energía inicial
Ek=@(t) m*v(t).^2/(2*E0); %cinética
Ep=@(t) k*x(t).^2/(2*E0); %potencial
E=@(t) Ep(t)+Ek(t); %total
hold on
fplot(Ep,[0,8])
fplot(Ek,[0,8])
fplot(E,[0,8])
hold off
grid on
legend('E_p', 'E_k', 'E', 'location','best')
xlabel('t')
ylabel('E, E_p, E_k')
title('Energías')

Valores medios

La posición y velocidad de un oscilador libre, una partícula de masa m unida a un muelle de constante elástica k son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\sin \left({\omega }_{0}t+\phi \right){\omega }_0^2=\frac{k}{m}\\ v=\frac{dx}{dt}=A{\omega }_0\cos \left({\omega }_{0}t+\phi \right)\end{array}}$

Las energías cinética y potencial son, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\sin }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)\\ E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }_0^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)\end{array}}$

La suma de las energías cinética y potencial es constante e independiente del tiempo t

${\displaystyle E=\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2{\sin }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)+\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2{\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{A}^2}$

Se denomina valor medio de una función periódica de periodo P a la integral

${\displaystyle \langle f(t)\rangle =\frac{1}{P}\underset{0}{\overset{P}{{\displaystyle \int }}}f(t)·dt}$

fplot(@(t) [sin(t), sin(t).^2],[0,2*pi])
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})
legend('sin(t)', 'sin(t)^2', 'location','southwest')
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Funciones periódicas')

La función sin²(ω₀t+φ) es una función periódica de periodo P=π/ω₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\langle {\sin }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)\rangle =\frac{{\omega }_0}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi /{\omega }_0}{{\displaystyle \int }}}{\sin }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)·dt=\frac{{\omega }_0}{2\pi }\underset{0}{\overset{\pi /{\omega }_0}{{\displaystyle \int }}}\left\{1-\cos \left(2{\omega }_{0}t+2\phi \right)\right\}dt=\\ \frac{{\omega }_0}{2\pi }{\left\{t-\frac{1}{2{\omega }_0}\sin \left(2{\omega }_{0}t+2\phi \right)\right\}}_0^{\pi /{\omega }_0}=\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left\{\frac{\pi }{{\omega }_0}-\frac{1}{2{\omega }_0}\sin \left(2\pi +2\phi \right)+\frac{1}{2{\omega }_0}\sin \left(2\phi \right)\right\}=\frac{1}{2}\end{array}}$

Del mismo modo

${\displaystyle \begin{array}{l}\langle {\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)\rangle =\frac{{\omega }_0}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi /{\omega }_0}{{\displaystyle \int }}}{\cos }^2\left({\omega }_{0}t+\phi \right)·dt=\frac{{\omega }_0}{2\pi }\underset{0}{\overset{\pi /{\omega }_0}{{\displaystyle \int }}}\left\{1+\cos \left(2{\omega }_{0}t+2\phi \right)\right\}dt=\\ \frac{{\omega }_0}{2\pi }{\left\{t+\frac{1}{2{\omega }_0}\sin \left(2{\omega }_{0}t+2\phi \right)\right\}}_0^{\pi /{\omega }_0}=\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left\{\frac{\pi }{{\omega }_0}+\frac{1}{2{\omega }_0}\sin \left(2\pi +2\phi \right)-\frac{1}{2{\omega }_0}\sin \left(2\phi \right)\right\}=\frac{1}{2}\end{array}}$

El valor medio de la energía cinética y potencial son, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}\langle \frac{1}{2}m{v}^2\rangle =\frac{E}{2}\\ \langle \frac{1}{2}k{x}^2\rangle =\frac{E}{2}\end{array}}$

La ecuación diferencial del oscilador amortiguado es

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\lambda \frac{dx}{dt}+kx=0}$

Multiplicando por v=dx/dt

${\displaystyle \begin{array}{l}mv\frac{dv}{dt}+kx\frac{dx}{dt}=-\lambda v^2\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2\right)=-\lambda v^2\\ \frac{dE}{dt}=-\lambda v^2\end{array}}$

Tomando valores medios

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\langle E\rangle }{dt}=-\frac{2\lambda }{m}\langle \frac{1}{2}m{v}^2\rangle \\ \frac{d\langle E\rangle }{dt}=-\frac{2\lambda }{m}\frac{1}{2}\langle E\rangle \\ \frac{d\langle E\rangle }{\langle E\rangle }=-\frac{\lambda }{m}dt\end{array}}$

Integrando entre 0 y t

${\displaystyle \langle E\rangle ={\langle E\rangle }_0\exp \left(-2\gamma t\right)}$

El valor medio de la energía en cada periodo, decrece exponencialmente con el tiempo.

Oscilaciones críticas (γ=ω₀)

La posición x y velocidad dx/dt en función del tiempo t son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\left\{A+Bt\right\}\exp \left(-\gamma t\right)\\ \frac{dx}{dt}=B\exp \left(-\gamma t\right)-\gamma \left(A+Bt\right)\exp \left(-\gamma t\right)\end{array}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial x₀ y velocidad inicial v₀ en el instante t=0

${\displaystyle t=0\{\begin{array}{l}{x}_0=A\\ v_0=B-\gamma A\end{array}}$

La posición x en función del tiempo t es

${\displaystyle x=\left\{x_0+\left(v_0+\gamma x_0\right)t\right\}\exp \left(-\gamma t\right)}$

Tomamos g=w0=100. Las condiciones iniciales son: x₀=5, v₀=0

x0=5; %condiciones iniciales
v0=0;
g=100; %constante de amortiguamiento
x=@(t) (x0+(v0+g*x0)*t).*exp(-g*t);
fplot(x,[0,0.02*pi])
title('Oscilación crítica')
xlabel('t')
ylabel('x');
grid on

Oscilaciones sobreamortiguadas (γ>ω₀)

La posición x y velocidad dx/dt en función del tiempo t son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\sinh (\omega t)+B\cosh (\omega t)\right\}\\ \frac{dx}{dt}=-\gamma \exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\sinh (\omega t)+B\cosh (\omega t)\right\}+\omega \exp \left(-\gamma t\right)\left\{A\cosh (\omega t)+B\sinh (\omega t)\right\}\end{array}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial x₀ y velocidad inicial v₀ en el instante t=0

${\displaystyle t=0\{\begin{array}{l}{x}_0=B\\ v_0=-\gamma B+\omega A\end{array}}$

La posición x en función del tiempo t es

${\displaystyle x=\exp \left(-\gamma t\right)\left\{x_0\cosh (\omega t)+\left(\frac{v_0+\gamma x_0}{\omega }\right)\sinh (\omega t)\right\}}$

Tomamos γ=120 y ω₀=100. Las condiciones iniciales son: x₀=5, v₀=0

x0=5; %condiciones iniciales
v0=0;
g=120; %constante de amortiguamiento
w0=100; %frecuencia natural
w=sqrt(g^2-w0^2);
x=@(t) (x0*cosh(w*t)+(v0+g*x0)*sinh(w*t)/w).*exp(-g*t);
fplot(x,[0,0.02*pi])
title('Oscilación sobreamortiguada')
xlabel('t')
ylabel('x');
grid on

Solución numérica

Expresamos la ecuación diferencial de segundo orden que describe las oscilaciones amortiguadas en forma de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, para resolverlas utilizando la función ode45 de MATLAB

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0\\ \{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=v\\ \frac{dv}{dt}=-2\gamma v-{\omega }_0^{2}x\end{array}\end{array}}$

w0=100; %frecuencia angular propia
g=7; %rozamiento, gamma,
x0=[5,0];%posición inicial, x0, velocidad inicial, v0
tf=[0,0.3*pi]; %intervalo de tiempo

f=@(t,x) [x(2);-2*g*x(2)-w0*w0*x(1)]; 
tspan=[0 tf];
[t,x]=ode45(f,tf,x0);
%plot(t,x(:,1)) %tiempo, posición
plot(x(:,1),x(:,2)) %posición, velocidad (espacio de las fases)
xlabel('x')
ylabel('v');
title('oscilador amortiguado')
grid on

Con la sentencia anulada plot(t,x(:,1)), obtenemos una gráfica similar a la primera figura de esta página

El espacio de las fases nos muestra otra perspectiva del comportamiento del oscilador. Se representa el momento lineal (o la velocidad) v en el eje vertical, y la posición del móvil x en el eje horizontal. La trayectoria es una espiral que converge hacia el origen.

Actividades

Se introduce

• La posición inicial x₀, en el control titulado Posición
• La velocidad inicial del móvil v₀, en el control titulado Velocidad.
• La constante de amortiguamiento γ, en el control de edición titulado Amortiguamiento
• Se ha fijado la frecuencia angular natural del oscilador en ω₀ =100 rad/s

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Probar con los siguientes valores de la constante de amortiguamiento γ : 5 (amortiguadas), 100 (críticas), 110 (sobreamortiguadas).

Medida de la constante de amortiguamiento

• En el instante t, la amplitud (máximo desplamiento) es A₁=Aexp(-γt)
• En el instante t+P, la amplitud es A₂=Aexp(-γ(t+P))

El decrecimiento logarítmico δ nos permite calcular fácilmente la constante de amortiguamiento γ, cuando su valor es pequeño comparado con la frecuencia natural del oscilador ω₀.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{A_1}{A_2}=\frac{\exp (-\gamma t)}{\exp \left(-\gamma (t+P)\right)}=\exp (\gamma P)\\ \delta =\ln \frac{A_1}{A_2}=\gamma P=\frac{2\pi \gamma }{\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}}=2\pi \frac{\left(\gamma /{\omega }_0\right)}{\sqrt{1-{\left(\gamma /{\omega }_0\right)}^2}}\\ \gamma \ll {\omega }_0\delta \approx 2\pi \frac{\gamma }{{\omega }_0}\end{array}}$

En una experiencia hemos medido los máximos desplazamientos

• en el instante t=0, A₁=5.0
• en el instante t=0.0630, A₂=3.2173

δ=ln(A₁/A₂)=2πγ/ω₀, como ω₀=100 rad/s, entonces γ=7.02.

En una experiencia de laboratorio con el péndulo de Pohl se han tomado los siguientes datos de la amplitud de una oscilación amortiguada

Si la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo, A=A₀exp(-γt), o bien, lnA=lnA₀-γt que es la ecuación de una línea recta

Representamos ln(A) en función del tiempo t y realizamos un ajuste lineal de los datos. La pendiente de la recta será la constante γ de amortiguamiento.

t=0.905*(0:9); %tiempo
A=[20,15.8,13.3,10.5,8.7,6.8,5.7,4.4,3.4,2.8]; %amplitud
plot(t,log(A),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t')
ylabel('log(A')
title('Oscilaciones amortiguadas')

En la ventana gráfica de MATLAB elegimos Tools/Basic fitting, activamos la casilla linear y obtenemos para la pendiente de la recta que mejor ajusta a los datos experimentales p1=-0.24148. Por tanto, la constante γ=0.24 s^-1