1.- Deducir razonadamente, aplicando la ley de Ampère la expresión del campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida de intensidad i en un punto P distante r .
Calcular el vector campo magnético en el punto P (6,3) cm, producido por dos corrientes rectilíneas separadas 12 cm, cuyas intensidades son i 1 =2 A e i 2 =4 A en el mismo sentido.
¿Se repelen o se atraen las corrientes?. Razona la respuesta
Solución
La dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P.
La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r , centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo.
La circulación del campo magnético
B
→
, a lo largo de dicha circunferencia vale
∮
B
→
·
d l
→
=
∮
B · d l · cos 0 = B
∮
d l = B · 2 π r
Como vemos en la figura la dirección del campo magnético
B
→
, es tangente a la circunferencia, paralelo al vector
d l
→
, su módulo es constante en todos los puntos de la circunferencia. Ley de Ampére
∮
B
→
·
d l
→
=
μ
0
i
i es la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r .
B · 2 π r =
μ
0
i B =
μ
0
i
2 π r
tan θ =
3
6
r =
0.03
2
+
0.06
2
B
1
= 2 ·
10
− 7
2
r
= 5.96 ·
10
− 6
T
B
1
→
= −
B
1
sin θ
i
^
+
B
1
cos θ
j
^
B
2
= 2 ·
10
− 7
4
r
= 11.92 ·
10
− 6
T
B
2
→
= −
B
2
sin θ
i
^
−
B
2
cos θ
j
^
Campo magnético total
B
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= − 8 ·
10
− 6
i
^
− 5.33 ·
10
− 6
j
^
T
Fuerza que ejerce un campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
→
= i (
u
^
t
×
B
→
) L
En la figura, B 1 es el campo magnético producido por la corriente de intensidad i 1 en la posición de la corriente i 2 . B 2 es el campo magnético producido por la corriente de intensidad i 2 en la posición de la corriente i 1
El resultado del producto vectorial, son dos fuerzas atractivas F 1 y F 2 iguales y de sentido contrario.
2.- Sabiendo que los símbolos representan corrientes rectilíneas
indefinidas perpendiculares al plano del papel, y en el sentido indicado.
Determínese el vector campo magnético resultante en P
Solución
B
1
=
μ
0
3
2 π · 0.04
B
1
→
=
μ
0
4 π
150 ·
j
^
B
2
=
μ
0
5
2 π · 0.03
B
2
→
= −
μ
0
4 π
1000
3
i
^
B
3
=
μ
0
4
2 π · 0.05
B
3
→
=
μ
0
4 π
160 ( sin θ ·
i
^
− cos θ ·
j
^
)
B
3
→
=
μ
0
4 π
( 96 ·
i
^
− 128 ·
j
^
)
B
→
=
B
1
→
+
B
2
→
+
B
3
→
= (
−
712
3
i
^
+ 22 ·
j
^
)
10
− 7
T
3.- Tres largos
conductores rectilíneos conducen la misma corriente I =2A en los sentidos
indicados en la figura.
Calcular el campo magnético en los puntos A (-a, 0),
B(0, 0) y C (a , 0), siendo a =10 cm
Solución
Campo magnético total en A
B
1
=
μ
0
2
2 π ·
0.1
2
+
0.1
2
B
1
→
=
B
1
cos 45 ·
i
^
−
B
1
sin 45 ·
j
^
B
2
=
μ
0
2
2 π ·
0.1
2
+
0.1
2
B
2
→
= −
B
2
cos 45 ·
i
^
−
B
2
sin 45 ·
j
^
B
3
=
μ
0
2
2 π · 0.3
B
3
→
=
B
3
j
^
B
A
→
=
B
1
→
+
B
2
→
+
B
3
→
= − 2.67 ·
10
− 6
j
^
T
Campo magnético total en B
B
1
=
μ
0
2
2 π · 0.1
B
1
→
=
B
1
i
^
B
2
=
μ
0
2
2 π · 0.1
B
2
→
= −
B
2
j
^
B
3
=
μ
0
2
2 π · 0.2
B
3
→
=
B
3
j
^
B
B
→
=
B
1
→
+
B
2
→
+
B
3
→
= 2.0 ·
10
− 6
j
^
T
Campo magnético total en C
B
1
=
μ
0
2
2 π ·
0.1
2
+
0.1
2
B
1
→
=
B
1
cos 45 ·
i
^
+
B
1
sin 45 ·
j
^
B
2
=
μ
0
2
2 π ·
0.1
2
+
0.1
2
B
2
→
= −
B
2
cos 45 ·
i
^
+
B
2
sin 45 ·
j
^
B
3
=
μ
0
2
2 π · 0.1
B
3
→
=
B
3
j
^
B
C
→
=
B
1
→
+
B
2
→
+
B
3
→
= 8.0 ·
10
− 6
j
^
T
4.- Aplicando la ley de Ampère, calcular el campo magnético producido por una corriente rectilínea de
sección circular de radio R . La intensidad de la corriente es i y
está uniformemente distribuida en dicha sección. Dibujar el vector campo magnético en los puntos P de la figura.
Solución
La dirección del campo magnético en el punto
P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y
el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro
en el eje y que pasa por el punto P.r , centrada en el
eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo.
La circulación del campo magnético
B
→
a lo largo de dicha circunferencia vale
∮
B
→
·
d l
→
=
∮
B · d l · cos 0 = B
∮
d l = B · 2 π r
Como
vemos en la figura la dirección del campo magnético
B
→
es tangente a la
circunferencia, paralela al vector
d l
→
, y su módulo es
constante en todos los puntos de la circunferencia.
Ley de Ampére
∮
B
→
·
d l
→
=
μ
0
I
I es la intensidad
que atraviesa la circunferencia de radio r.
Como vemos en la figura, la
intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r<R es una parte
de la intensidad total i .
B
·
2
π
r
=
μ
0
(
i
π
r
2
π
R
2
)
B
=
μ
0
i
2
π
R
2
r
La intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r>R es i
B
·
2
π
r
=
μ
0
i
B
=
μ
0
i
2
π
r
Representación gráfica del campo magnético B en función de la distancia radial r
5.- Se tienen dos cilindros concéntricos muy largos uno de ellos hueco por
el que circula una corriente i uniformemente distribuida en su sección y por
el otro, circula la misma corriente pero en sentido contrario, estando también
distribuida uniformemente por su sección. Calcular el campo magnético para
puntos a una distancia r del eje:
Solución
La dirección del campo magnético en el punto
P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y
el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro
en el eje y que pasa por el punto P.r , centrada en el
eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo.
La circulación del campo magnético
B
→
a lo largo de dicha circunferencia vale
∮
B
→
·
d l
→
=
∮
B · d l · cos 0 = B
∮
d l = B · 2 π r
Como
vemos en la figura la dirección del campo magnético
B
→
es tangente a la
circunferencia, paralela al vector
d l
→
, y su módulo es
constante en todos los puntos de la circunferencia.
Ley de Ampère
∮
B
→
·
d l
→
=
μ
0
I
I es la intensidad
que atraviesa la circunferencia de radio r.
Como vemos en la figura, la
intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r<a es una parte
de la intensidad total i .
B · 2 π r =
μ
0
(
i
π
r
2
π
a
2
) B =
μ
0
i
2 π
a
2
r
La intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio a<r<b es i
B · 2 π r =
μ
0
i B =
μ
0
i
2 π r
Como vemos en la figura, la
intensidad que atraviesa la circunferencia de radio b<r<c es la
intensidad i más una parte de la intensidad i en sentido
contrario.
B · 2 π r =
μ
0
(
i − i
π (
r
2
−
b
2
)
π (
c
2
−
b
2
)
)
B =
μ
0
i
2 π r
c
2
−
r
2
c
2
−
b
2
B · 2 π r =
μ
0
(
i − i
) B = 0
6.- Un cable cilíndrico muy largo de radio 3 cm conduce una corriente de 4 A, (hacia afuera) uniformemente distribuida, un hilo rectilíneo
indefinido paralelo al cable y situado a 12 cm del centro del cable, conduce la
misma corriente pero en sentido opuesto (hacia adentro).
Determinar el campo magnético (módulo, dirección y
sentido), en los puntos A (x =-1.5 cm, y =0) y B ( x =6 cm y = 4 cm).
Hallar la fuerza (módulo, dirección y sentido) que ejerce
el cable sobre una unidad de longitud del hilo rectilíneo
Solución
La dirección del campo magnético en el punto
P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y
el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro
en el eje y que pasa por el punto P.r , centrada en el
eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo.
La circulación del campo magnético
B
→
a lo largo de dicha circunferencia vale
∮
B
→
·
d l
→
=
∮
B · d l · cos 0 = B
∮
d l = B · 2 π r
Como
vemos en la figura la dirección del campo magnético
B
→
es tangente a la
circunferencia, paralela al vector
d l
→
, y su módulo es
constante en todos los puntos de la circunferencia.
Ley de Ampére
∮
B
→
·
d l
→
=
μ
0
I
I es la intensidad
que atraviesa la circunferencia de radio r.
Como vemos en la figura, la
intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r<R es una parte
de la intensidad total i .
B · 2 π r =
μ
0
(
i
π
r
2
π
R
2
) B =
μ
0
i
2 π
R
2
r
La intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r>R es i
B · 2 π r =
μ
0
i B =
μ
0
i
2 π r
Campo magnético en el punto A
B
1
=
μ
0
4 · 0.015
2 π ·
0.03
2
B
1
→
= − 13.33 ·
10
− 6
j
^
B
2
=
μ
0
4
2 π · 0.135
B
2
= 5.93 ·
10
− 6
j
^
B
A
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= − 7.41 ·
10
− 6
j
^
T
Campo magnético en el punto B
B
1
=
μ
0
4
2 π ·
0.06
2
+
0.04
2
B
1
→
= −
B
1
sin θ ·
i
^
+
B
1
cos θ ·
j
^
B
2
=
μ
0
4
2 π ·
0.06
2
+
0.04
2
B
2
→
=
B
2
sin θ ·
i
^
+
B
2
cos θ ·
j
^
B
B
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= 2
B
2
cos θ ·
j
^
= 18.46 ·
10
− 6
j
^
T
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
→
= i (
u
^
t
×
B
→
) L
Campo magnético producido por la corriente rectilínea de
sección 3 cm situada en el origen en la posición de la otra corriente
rectilínea situad en x =12 cm.
B
1
=
μ
0
4
2 π · 0.12
= 6.67 ·
10
− 6
Módulo de la fuerza, Fm =4(1·B1 ·sin90) L
Fuerza por unidad de longitud, Fm /L =2.67·10-5 N/m
7.- Un cable cilíndrico muy largo de radio 5 cm conduce una corriente de 8 A, uniformemente distribuida, otro cable de la misma forma y
dimensiones paralelo al anterior y situado a 12 cm del centro del primero, conduce la misma corriente pero en sentido opuesto.
Aplicando la ley de Ampère
deducir razonadamente, la expresión del campo B para r<a y para r>a ,
siendo a el radio de la corriente rectilínea uniformemente
distribuida.
Hallar el vector campo magnético, en los puntos A (-2 cm, 0), y en el punto B (12 cm, 4).
Solución
La dirección del campo magnético en el punto
P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y
el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro
en el eje y que pasa por el punto P.r , centrada en el
eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo.
La circulación del campo magnético
B
→
a lo largo de dicha circunferencia vale
∮
B
→
·
d l
→
=
∮
B · d l · cos 0 = B
∮
d l = B · 2 π r
Como
vemos en la figura la dirección del campo magnético
B
→
es tangente a la
circunferencia, paralela al vector
d l
→
, y su módulo es
constante en todos los puntos de la circunferencia.
Ley de Ampére
∮
B
→
·
d l
→
=
μ
0
I
I es la intensidad
que atraviesa la circunferencia de radio r.
Como vemos en la figura, la
intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r<R es una parte
de la intensidad total i .
B
·
2
π
r
=
μ
0
(
i
π
r
2
π
R
2
)
B
=
μ
0
i
2
π
R
2
r
La intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r>R es i
B
·
2
π
r
=
μ
0
i
B
=
μ
0
i
2
π
r
Campo magnético en el punto A
B
1
=
μ
0
8 · 0.02
2 π ·
0.05
2
B
1
→
= − 1.28 ·
10
− 5
j
^
B
2
=
μ
0
8
2 π · 0.14
B
2
→
= 1.14 ·
10
− 5
j
^
B
A
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= − 0.14 ·
10
− 5
j
^
T
Campo magnético en el punto B
B
1
=
μ
0
8
2 π ·
0.012
2
+
0.04
2
B
1
→
= −
B
1
sin θ ·
i
^
+
B
1
cos θ ·
j
^
B
2
=
μ
0
8 · 0.04
2 π ·
0.05
2
B
2
→
=
B
2
i
^
B
B
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= 2.16 ·
10
− 5
i
^
+ 1.20 ·
10
− 5
j
^
T
8.- Un cable cilíndrico hueco muy largo de radio interior a =2
cm y exterior b =4 cm conduce una corriente de 8 A, uniformemente distribuida en su sección, otro cable rectilíneo paralelo al anterior y situado a 12 cm del centro del primero, conduce la misma corriente pero en sentido opuesto. Aplicando la ley de Ampère a cada corriente de forma
aislada, deducir razonadamente, la expresión del campo B en función de la
distancia r a la corriente:
Para una corriente de
intensidad i , que circula por un cable rectilíneo e indefinido.
Para una corriente de
intensidad I que circula por un cable cilíndrico hueco de radios
interior a y exterior b , en los intervalos: r<a, a <r<b , r >b .
Hallar el vector campo magnético, en los puntos
O (0, 0 cm), y en el punto A (0, 3 cm) B (6, 0)
Solución
La dirección del campo magnético en el punto
P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y
el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro
en el eje y que pasa por el punto P.r , centrada en el
eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo.
La circulación del campo magnético
B
→
a lo largo de dicha circunferencia vale
∮
B
→
·
d l
→
=
∮
B · d l · cos 0 = B
∮
d l = B · 2 π r
Como
vemos en la figura la dirección del campo magnético
B
→
es tangente a la
circunferencia, paralela al vector
d l
→
, y su módulo es
constante en todos los puntos de la circunferencia.
Ley de Ampére
∮
B
→
·
d l
→
=
μ
0
I
I es la intensidad
que atraviesa la circunferencia de radio r.
Como vemos en la figura, la
intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r<a es cero.
B =0
Como vemos en la figura, la
intensidad que atraviesa la circunferencia de radio a<r<b es parte
de la intensidad i
B · 2 π r =
μ
0
(
i
π (
r
2
−
a
2
)
π (
b
2
−
a
2
)
) B =
μ
0
i
2 π r
r
2
−
a
2
b
2
−
a
2
La intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r>b es i
B · 2 π r =
μ
0
i B =
μ
0
i
2 π r
Campo magnético en el origen
B
1
= 0
B
1
→
= 0
B
2
=
μ
0
8
2 π · 0.12
B
2
→
= 1.33 ·
10
− 5
j
^
B
O
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= 1.33 ·
10
− 5
j
^
T
Campo magnético en el punto A
B
1
=
μ
0
8
2 π · 0.03
0.03
2
−
0.02
2
0.04
2
−
0.02
2
B
1
→
= −
B
1
i
^
B
2
=
μ
0
8
2 π ·
0.12
2
+
0.03
2
B
2
→
=
B
2
sin θ ·
i
^
+
B
2
cos θ ·
j
^
B
A
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= − 1.91 ·
10
− 5
i
^
+ 1.25 ·
10
− 5
j
^
T
Campo magnético en el punto B
B
1
=
μ
0
8
2 π · 0.06
B
1
→
= 2.67 ·
10
− 5
j
^
B
2
=
μ
0
8
2 π · 0.06
B
2
→
= 2.67 ·
10
− 5
j
^
B
B
→
=
B
1
→
+
B
2
→
= 5.33 ·
10
− 5
j
^
T
Solución
