Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético

1.-Un cañón electrónico emite electrones acelerados por una diferencia de potencial U en el vacío en la dirección horizontal X. Las coordenadas del blanco B son (x, y). Determinar el módulo del campo magnético B .

Datos: masa del electrón: m=9.1·10^-31 kg, carga: q=1.6·10^-19 C

Solución

Los electrones son acelerados por una diferencia de potencial U. Los electrones tienen carga negativa y son acelerados en el sentido contrario al campo eléctrico E. Si son emitidos por un filamento caliente con velocidad inicial aproximadamente nula, salen del cañón con una velocidad.

$q U = \frac{1}{2} m v^{2}$

El campo magnético hace que el haz de electrones describa una trayectoria circular.

La fuerza magnética es $\vec{f_{m}} = q \vec{v} \times \vec{B}$ . Como la carga de los electrones es negativa, la fuerza $\vec{f_{m}}$ tiene sentido contrario al producto vectorial $\vec{v} \times \vec{B}$

El radio de la órbita circular se calcula aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme.

$q v B \sin 90 = m \frac{v^{2}}{r} r = \frac{m v}{q B}$

Si x e y son las coordenadas del punto P, en la figura observamos

y=r-r·cosθ y que x=r·sinθ

Eliminamos el ángulo θ mediante la relación sin²θ+cos²θ=1, y despejamos el radio r del sistema de dos ecuaciones. Finalmente, despejamos el módulo del campo magnético.

Ejemplo.

Las coordenadas del blanco son x=5 e y=3.5 cm. La diferencia de potencial U=50 V, calcular el módulo del campo magnético

La velocidad de los electrones es

$50 \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} = \frac{1}{2} 9.1 \cdot 10^{- 31} v^{2} v = 4.193 \cdot 10^{6} m/s$

Conocidas las coordenadas del blanco determinamos el radio de la trayectoria circular de los electrones en el campo magnético.

r=5.32 cm

El valor del módulo del campo magnético es

$B = \frac{m v}{q r} B = \frac{9.1 \cdot 10^{- 31} \cdot 4.193 \cdot 10^{6}}{1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 0.0532} = 4.48 \cdot 10^{- 4} T = 4.48 gauss$

2.-Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, entra en una región donde hay un campo eléctrico producido por las placas de un condensador de 40 cm de longitud y separadas 4 cm a las cuales se le aplica una diferencia de potencial de 100 V. Calcular

La velocidad inicial del electrón antes de entrar en dicha región.
El punto de impacto o la desviación del electrón a la salida de las placas.
Ahora, aplicamos un campo magnético perpendicular al plano. Determinar la intensidad y el sentido (hacia dentro o hacia afuera) del campo magnético para que el electrón no se desvíe.

Datos: carga del electrón 1.6 10^-¹⁹ C, masa 9.1 10^-³¹ kg

Solución

Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de potencial de 300 V

$\begin{array}{l} q (V' - V) = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} \\ 1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 300 = \frac{1}{2} 9.1 \cdot 10^{- 31} v^{2} v = 10.27 \cdot 10^{6} m/s \end{array}$

Movimiento del electrón entre las placas del condensador

El electrón experimenta una fuerza vertical a lo largo del eje Y, F=qE, Donde E es el campo eléctrico constante entre las placas y V’-V=E·d es la diferencia de potencial

$E = \frac{V' - V}{d} E = \frac{100}{0.04} = 2500 N/C$

Las ecuaciones del movimiento son:

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = \frac{q E}{m} \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = v \\ v_{y} = a_{y} t \end{cases} {\begin{cases} x = v \cdot t \\ y = \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \end{cases}$

Desviación a la salida de las placas, x=0.4, y=0.333 m>0.02. El electrón choca antes con las placas.

Para y=0.02, x=0.098=9.8 cm

Para que el electrón no se desvíe el campo magnético deberá ser perpendicular al plano del papel y hacia dentro tal como se muestra en el dibujo.

Fuerza magnética, $\vec{f_{m}} = q \vec{v} \times \vec{B}$ , módulo, f_m=qvBsin90=qvB

Fuerza eléctrica, $\vec{f_{e}} = q \vec{E}$ , módulo, f_e=qE

El electrón se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante si ambas fuerzas son iguales y opuestas, F_m=F_e

B=E/v=2.43·10^-4T

Si se suprime el campo eléctrico, el electrón describe una trayectoria circular de radio r, bajo la acción del campo magnético.

Dinámica del movimiento circular uniforme, F=ma_n

$q v B = m \frac{v^{2}}{r} r = \frac{m v}{q B} r = \frac{9.1 \cdot 10^{- 31} \cdot 10.27 \cdot 10^{6}}{1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 2.43 \cdot 10^{- 4}} = 0.24 m$

El electrón describe un arco de circunferencia hasta que impacta en la placa inferior del condensador a una distancia x del origen.

r=0.02+r·cosθ

x=r·sinθ=0.096 m

3.-Un ión (carga 1+) y masa 2 uma se mueve con velocidad constante de v=1.2·10⁵ m/s entre las placas de una condensador plano-paralelo cargado bajo la acción de un campo magnético B=0.1 T perpendicular al plano del papel y hacia dentro, tal como se indica en la figura.

Cuál será el módulo del campo eléctrico que tenemos que aplicar entre las placas del condensador para que dicho ión no se desvíe, es decir, siga una trayectoria rectilínea. Señalar la dirección y sentido del campo, la placa cargada positivamente y cargada negativamente, determinar la diferencia de potencial entre las placas.
Dentro del condensador la trayectoria del ión es rectilínea. Cuando el ión sale de las placas solamente actúa el campo magnético, dibuja y calcula la trayectoria del ión fuera de las placas.
Se suprime el campo magnético. Determinar la trayectoria del ión entre las placas del condensador

Datos: q=1.6·10^-¹⁹ C, 1 uma=1.67·10^-²⁷ kg

Solución

El campo eléctrico ejerce una fuerza $\vec{f_{e}} = q \vec{E}$
El campo magnético ejerce una fuerza $\vec{f_{m}} = q \vec{v} \times \vec{B}$

Los iones no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.

$f_{e} = f_{m} q E = q v B v = \frac{E}{B}$

Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cargadas cuya velocidad sea igual cociente v=E/B. E=1.2·10⁵·0.1=1.2·10⁴ N/C.

Como el campo eléctrico entre las placas es constante, la diferencia de potencial V'-V=E·d=1.2·10⁴·0.04=480 V.

Cuando el ión sale de las placas del condensador solamente actúa el campo magnético. El ión describe un arco de circunferencia de radio r. El radio, se obtiene a partir de la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.

$f_{m} = m \frac{v^{2}}{r} q v B = m \frac{v^{2}}{r} r = \frac{m v}{q B}$

Con m=2·1.67·10^-27 kg. q=1.6·10^-19 C, v=1.2·10⁵ m/s y B=0.1 T, obtenemos r=0.025 m

El punto de impacto se calcula conociendo el radio de la circunferencia r=2.5 cm, y la distacia del haz de iones a la placa 2 cm. cosθ=0.5/2.5, x=2.5·sinθ=2.45 cm.

Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula se mueve bajo la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador. Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y y la partícula se mueve inicialmente a lo largo del eje X, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán análogas a las del tiro parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad)

${\begin{cases} a_{x} = 0 v_{x} = v_{0} x = v_{0} t \\ a_{y} = - \frac{q E}{m} v_{y} = a_{y} t y = \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \end{cases}$

Con m=2·1.67·10^-27 kg. q=1.6·10^-19 C, v=1.2·10⁵ m/s y E=1.2·10⁴ N/C. Calculamos la desviación y al salir de las placas (figura de la izquierda)

Para x=0.12 m, t=10^-6 s, y=0.28 m. Choca antes de salir de las placas (figura de la derecha).

Para y=-0.02, t=2.64·10^-7 s. x=0.032 m=3.2 cm

4.-Un haz de electrones acelerados por una diferencia de potencial de 300 V, se introduce en una región donde existe un campo magnético uniforme dirigido desde el plano del papel hacia el lector, la anchura de la región es de 2.5 cm. Si no hubiese campo magnético, el haz de electrones produciría una mancha en el punto F de la pantalla fluorescente situada a 5 cm del borde de dicha región. Cuando se conecta un campo magnético de 1.46·10^-3 T.

Dibujar el arco de circunferencia que describe el electrón y calcular su radio. Determinar la desviación del haz en la pantalla.

Datos del electrón, m=9.1·10^-³¹ kg, q=1.6·10^-¹⁹ C

Solución

Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de potencial de 300 V

$\begin{array}{l} q (V' - V) = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} \\ 1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 300 = \frac{1}{2} 9.1 \cdot 10^{- 31} v^{2} v = 10.27 \cdot 10^{6} m/s \end{array}$

El electrón describe un arco de circunferencia de radio r bajo la acción del campo magnético.

Dinámica del movimiento circular uniforme, F=ma_n

$q v B = m \frac{v^{2}}{r} r = \frac{m v}{q B} r = 0.04 m$

Desviación total

d=(r-r·cosθ)+0.05·tanθ=0.0488 m

donde, sinθ=0.025/r

5.-En un espectrómetro de masas los iones pasan por un selector de velocidades que consiste en un campo eléctrico producido por las placas de un condensador plano - paralelo cargado, y un campo magnético uniforme y perpendicular al campo eléctrico. Los iones que tienen una determinada velocidad pasan a través de los campos cruzados sin desviarse y entran en la región semicircular inferior donde solo hay campo magnético describiendo trayectorias semicirculares

En un espectrómetro de masas tal como se muestra en la figura, los iones Mg (24 u.m.a), con carga +e, son acelerados por una diferencia de potencial de 1000 V, entrando luego en un selector de velocidades, pasando a continuación a una región semicircular donde hay un campo magnético de 0.6 T.

Determinar el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico en el selector de velocidades de modo que el ion no resulte desviado.
El radio de la trayectoria de dicho ion en la región semicircular

Datos: carga del electrón 1.6 10^-¹⁹ C, 1 u.m.a. = 1.66 10^-²⁷ kg

Solución

Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de potencial de 1000 V

$\begin{array}{l} q (V' - V) = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} \\ 1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 1000 = \frac{1}{2} 24 \cdot 1.66 \cdot 10^{- 27} v^{2} v = 89622 m/s \end{array}$

Selector de velocidades

Fuerza magnética, $\vec{f_{m}} = q \vec{v} \times \vec{B}$ , módulo, f_m=qvBsin90=qvB

Fuerza eléctrica, $\vec{f_{e}} = q \vec{E}$ , módulo, f_e=qE

El ión se mueve a lo largo del eje vertical con velocidad constante si ambas fuerzas son iguales y opuestas, F_m=F_e

E=v·B=53773 N/C

Órbita semicircular

El ión describe una semicircunferencia de radio r bajo la acción del campo magnético.

Dinámica del movimiento circular uniforme, F=ma_n

$q v B = m \frac{v^{2}}{r} r = \frac{m v}{q B} r = 0.037 m$

6.-Sea un ciclotrón de 40 cm de radio que está bajo un campo magnético de 200 gauss, la diferencia de potencial entre las 'Ds' es de 1000V. El ciclotrón acelera protones.

¿Cuánto tiempo tarda el protón en describir una semicircunferencia?.
¿Cuánto valen sus radios?
¿Cuántas veces será acelerado el protón antes se salir del ciclotrón?.
¿Cuál será su energía final en eV?

Unidad de carga 1.6 10^-¹⁹ C. Masa del protón 1.67 10^-²⁷ kg

Solución

Etapa 0-1

El protón parte del reposo y se acelera por la diferencia de potencial existente entre las dos D's

$q V = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} 1 {.6·10}^{-19} \cdot 1000 = \frac{1}{2} 1.67 \cdot 10^{- 27} v_{1}^{2} v_{1} = 437 740 m/s$

Etapa 1-2

La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r₁

5.-Una partícula cargada describe una semicircunferencia en un campo magnético uniforme. La fuerza sobre la partícula viene dada por el producto vectorial $\vec{f_{m}} = q \vec{v} \times \vec{B}$ , Su módulo es f_m=q·vB, su dirección radial y su sentido hacia el centro de la circunferencia

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme, obtenemos el radio de la circunferencia

$\begin{array}{l} f_{m} = m \frac{v^{2}}{r} r = \frac{m v}{q B} \\ r_{1} = \frac{m v_{1}}{q B} r_{1} = \frac{1.67 \cdot 10^{- 27} \cdot 437740}{1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 200 \cdot 10^{- 4}} = 0.228 m = 22 .8 cm \end{array}$

El tiempo que tarda en describir una semicircunferencia

$P_{1 / 2} = \frac{π r}{v} = \frac{π m}{q B} P_{1 / 2} = \frac{π \cdot 1.67 \cdot 10^{- 27}}{1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 200 \cdot 10^{- 4}} = 1.64 \cdot 10^{- 6} s$

es, independiente del radio r de la órbita

Etapa 2-3

El ciclotrón cambia de polaridad y el protón se acelera de nuevo

La velocidad del protón v₂

$q V = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} 2 q V = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} v_{2} = 619 059 m/s$

Etapa 3-4

El protón describe una trayectoria semicircular de radio r₂

$r_{2} = \frac{m v_{2}}{q B} r_{2} = 0.323 m = 32 .3 cm$

Etapa 4-5

El ciclotrón cambia de polaridad y el protón se acelera de nuevo

$q V = \frac{1}{2} m v_{3}^{2} - \frac{1}{2} m v_{2}^{2} 3 q V = \frac{1}{2} m v_{3}^{2} v_{3} = 758 189 m/s$

Etapa 5-6

El protón describe una trayectoria semicircular de radio r₃

$r_{3} = \frac{m v_{3}}{q B} r_{3} = 0.396 m = 39.6 cm$

Etapa 6-7

El ciclotrón cambia de polaridad y el protón se acelera de nuevo

$q V = \frac{1}{2} m v_{4}^{2} - \frac{1}{2} m v_{3}^{2} 4 q V = \frac{1}{2} m v_{4}^{2} v_{4} = 875 481 m/s$

Etapa 7-8

El protón describe una trayectoria semicircular de radio r₄

$r_{4} = \frac{m v_{4}}{q B} r_{3} = 0.457 m = 45.7 cm$

El protón ha salido del ciclotrón con una energía final, 4qV=4000 eV

7.-Un cañón emite electrones acelerados por una diferencia de potencial U, en el vacío en la dirección horizontal. El blanco M está a una distancia d, del cañón y en una dirección que forma un ángulo α con la horizontal, tal como se muestra en la figura.

Calcular el campo magnético B cuya dirección es perpendicular al plano, para que el haz de electrones impacte en el blanco.

Datos: U=1000 V, q=1.60·10^-19 C, m=9.11·10^-31 kg, α=60°, d=5.0 cm.

Problema de la X Olimpiada Internacional de Física. Hradec Králové, Checoslovaquia, 1977

Solución

Los electrones describirán una trayectoria circular de radio r, ya que la fuerza que ejerce el campo magnético es perpendicular a la velocidad y al campo $\vec{f_{m}} = q \vec{v} \times \vec{B}$

La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme se escribe

$q v B = m \frac{v^{2}}{r} B = \frac{m v}{q r}$

Como vemos en la figura, d=2rsinα

Por otra parte, el cañón acelera los electrones, de modo que la energía potencial qU se convierte en energía cinética

$q U = \frac{1}{2} m v^{2}$

El módulo del campo magnético B vale

$B = 2 \sqrt{2 \frac{m}{q} U} \frac{\sin α}{d}$

Con los datos del problema, B=0.0037 T