Movimiento Armónico Simple

1.-Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π /6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre

el desplazamiento,
su velocidad,
su aceleración.
Determinar el periodo y la amplitud del movimiento.

Solución

$\begin{array}{l} x = 5 \cos (2 t + \frac{π}{6}) \\ v = \frac{d x}{d t} = - 10 \sin (2 t + \frac{π}{6}) \\ a = \frac{d v}{d t} = - 20 \cos (2 t + \frac{π}{6}) \\ t = 0 {\begin{cases} x = 5 \cos \frac{π}{6} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm \\ v = - 10 \sin \frac{π}{6} = - 5 cm/s \\ a = - 20 \cos \frac{π}{6} = - 10 \sqrt{3} {cm/s}^{2} \end{cases} \end{array}$

Frecuencia angular ω=2 rad/s, Periodo P=2π/ω=π s

Amplitud, A= 5 cm.

2.-Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:

Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante.
Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.

Solución

Frecuencia angular

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{43.2}{0.3}} = 12 rad/s$

Ecuación del M.A.S.

$\begin{array}{l} x = 0.2 \sin (12 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 2.4 \cos (12 t + φ) \end{array}$

En el instante t=0, x=0.1 y v<0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.1 = 0.2 \sin (φ) \\ v = 2.4 \cos (φ) \end{cases} \\ \sin φ = 0.5 {\begin{cases} φ = \frac{π}{6} \cos φ > 0 v > 0 \\ φ = \frac{5 π}{6} \cos φ < 0 v < 0 \end{cases} \end{array}$

La segunda solución es la que pide el enunciado del problema

$\begin{array}{l} x = 0.2 \sin (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ v = \frac{d x}{d t} = 2.4 \cos (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ a = \frac{d v}{d t} = - 28.8 \sin (12 t + \frac{5 π}{6}) \end{array}$

Energías

$\begin{array}{l} E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} 0.3 \cdot {2.4}^{2} \cos^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) = 0.864 \cdot \cos^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} 43.2 \cdot {0.2}^{2} \sin^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) = 0.864 \cdot \sin^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ E = E_{k} + E_{p} = 0.864 J \end{array}$

Instantes en los que pasa por el origen

$\begin{array}{l} x = 0.2 \sin (12 t + \frac{5 π}{6}) = 0 \\ 12 t + \frac{5 π}{6} = n π t = \frac{n π - 5 π / 6}{12} n = 1,2,3... \end{array}$

3.-Un cuerpo de masa m=2 kg está unido a un muelle horizontal de constante k=5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0. Hallar:

La frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación del M.A.S.
¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición de equilibrio?

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = 1.58 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = 3.97 s \\ x = A \sin (ω t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = A ω \cos (ω t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales: t=0, x=0.1, v=0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.1 = A \sin φ \\ 0 = A ω \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} A = 0.1 \\ x = 0.1 \sin (1.58 t + \frac{π}{2}) \\ v = \frac{d x}{d t} = 0.158 \cos (1.58 t + \frac{π}{2}) \end{array}$

Pasa por primera vez por el origen x=0, v<0

$1.58 t + \frac{π}{2} = π t = 0.993 s$

4.-Un muelle elástico de constante k=0.4 N/m está unido a una masa de m=25 g. En el instante inicial su posición es x = 5 cm y su velocidad $v = - 20 \sqrt{3} cm/s$ . Calcular

El periodo de la oscilación.
Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.
La energía cinética, potencial y total cuando el móvil pasa por la posición x=-5 cm.
El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.4}{0.025}} = 4 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = \frac{π}{2} s \\ x = A \sin (4 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = A ω \cos (4 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.05 = A \sin φ \\ - 0.2 \sqrt{3} = 4 A \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{5 π}{6} A = 0.1 \\ x = 0.1 \sin (4 t + \frac{5 π}{6}) \\ v = \frac{d x}{d t} = 0.4 \cos (4 t + \frac{5 π}{6}) \\ a = \frac{d x}{d t} = - 1.6 \sin (4 t + \frac{5 π}{6}) \end{array}$

Para x=-0.05 m, el módulo de la velocidad será la misma que para x=0.05 m. Otra forma sería, sin(4t+5π/6)=-0.05/0.1,

$\begin{array}{l} \cos (4 t + \frac{5 π}{6}) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ v = \pm 0.2 \sqrt{3} \\ E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = 1.5 \cdot 10^{- 3} J \\ E_{p} = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} = 0.5 \cdot 10^{- 3} J \end{array}$

La energía total es E_k+E_p=2·10^-3 J. Otra forma de calcular la energía total

$E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = 2 \cdot 10^{- 3} J$

Pasa por el origen x=0,

$\begin{array}{l} x = 0 {\begin{cases} \sin (4 t + \frac{5 π}{6}) = 0 \\ \cos (4 t + \frac{5 π}{6}) = \pm 1 \end{cases} \\ v = \pm 0.4 m/s \\ (4 t + \frac{5 π}{6}) = n π n = 1,2,3... t = 0.13, 0.91, 1.70... \end{array}$

5.-Una partícula de m=200 g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un movimiento armónico simple siendo la frecuencia angular ω=100 rad/s. Sabemos que en el instante t=0, la posición inicial $- 0.5 \sqrt{3} cm$ y la velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s.

Escribir la ecuación del MAS
Calcular la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento.

Solución

$\begin{array}{l} x = A \sin (100 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 100 A \cos (100 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales:

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} - 0.005 \sqrt{3} = A \sin φ \\ 0.5 = 100 A \cos φ \end{cases} \\ φ = - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3} A = 0.01 \\ x = 0.01 \sin (100 t + \frac{5 π}{3}) \\ v = \frac{d x}{d t} = \cos (100 t + \frac{5 π}{3}) \\ a = \frac{d x}{d t} = - 100 \sin (100 t + \frac{5 π}{3}) \end{array}$

Constante del muelle

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}} 100 = \sqrt{\frac{k}{0.2}} k = 2000 N/m$

Energía del movimiento

$E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} 2000 \cdot {0.01}^{2} = 0.1 J$

6.-Una partícula de masa de m=500 g está unida a un muelle de constante k=200 N/m. Se desplaza la masa 2 cm de la posición de equilibrio, y se le proporciona en el instante inicial t=0, una velocidad de 100 cm/s hacia la izquierda tal como se muestra en la figura.

Calcula el periodo de las oscilaciones
La ecuación del MAS
Calcula la velocidad, energía cinética, potencial y el (los) instante(s) en el que la partícula pasa por la posición x=-3 cm dirigiéndose hacia la derecha.

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = 20 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = \frac{π}{10} s \\ x = A \sin (20 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 20 A \cos (20 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.02 = A \sin φ \\ - 1 = 20 A \cos φ \end{cases} \\ φ = 2.76 rad A = 5.38 cm \\ x = 5.38 \sin (20 t + 2.76) cm \\ v = \frac{d x}{d t} = 107.7 \cos (20 t + 2.76) cm/s \end{array}$

Pasa por x=-3 cm, con v>0

$\begin{array}{l} x = - 3 {\begin{cases} \sin (20 t + 2.76) = - 0.557 \\ \cos (20 t + 2.76) = + 0.830 \end{cases} \\ 20 t + 2.76 = 5.69 + 2 n π n = 0,1,2,3... t = 0.14,0.46,.... s \end{array}$

Energías

$\begin{array}{l} v = 20 \cdot 0.0538 \cdot \cos 5.69 = 0.894 m/s \\ E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = 0.2 J \\ E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} 200 \cdot {0.03}^{2} = 0.09 J \\ E = \frac{1}{2} k A^{2} = E_{k} + E_{p} = 0.29 J \end{array}$

7.-Un muelle horizontal tiene una constante recuperadora de k=48 N/m. En el extremo del muelle se coloca una masa de m=0.75 kg y se estira el muelle 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:

El periodo de la oscilación.
La ecuación del M.A.S.
El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x=-0.1 m, después de haber pasado por el origen.
Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en dicho(s) instante(s).

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{48}{0.75}} = 8 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = \frac{π}{4} s \\ x = A \sin (8 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 8 A \cos (8 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.2 = A \sin φ \\ 0 = 8 A \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} rad A = 0.2 m \\ x = 0.2 \sin (8 t + \frac{π}{2}) m \\ v = \frac{d x}{d t} = 1.6 \cos (8 t + \frac{π}{2}) m/s \end{array}$

Pasa por x=-0.1 m, con v<0

$\sin (8 t + \frac{π}{2}) = - 0.5 {\begin{cases} 8 t + \frac{π}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 n π v < 0 \\ 8 t + \frac{π}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 n π v > 0 \end{cases}$

Energías

$\begin{array}{l} v = 1.6 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 n π) = - 0.8 \sqrt{3} m/s \\ E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = 0.72 J \\ E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} 48 \cdot {0.1}^{2} = 0.24 J \\ E = \frac{1}{2} k A^{2} = E_{k} + E_{p} = 0.96 J \end{array}$

8.-Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa 100 g y 30 cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150 g y 5 cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10 cm del eje de giro.

Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2.4 s, calcular la constante K de torsión del muelle.
Si en el instante inicial t=0 el péndulo se desplaza θπ/6 de la posición de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula).
Escribir la ecuación del M.A.S.
Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

Solución

Momento de inercia respecto del eje

$\begin{array}{l} I = \frac{1}{12} 0.1 \cdot {0.3}^{2} + 2 (\frac{2}{5} 0.15 \cdot {0.05}^{2} + 0.15 \cdot {0.1}^{2}) = 4.05 \cdot 10^{- 3} {kg·m}^{2} \\ P = 2 π \sqrt{\frac{I}{K}} K = \frac{4 π^{2} I}{P^{2}} = 0.0278 N·m \end{array}$

Ecuación del MAS

$\begin{array}{l} ω = \frac{2 π}{P} = 2.62 rad/s \\ θ = θ_{0} \sin (ω t + φ) \\ \frac{d θ}{d t} = θ_{0} ω \cos (ω t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales, t=0, θ=π/6, dθ/dt=0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} \frac{π}{6} = θ_{0} \sin φ \\ 0 = ω θ_{0} \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} rad θ_{0} = \frac{π}{6} rad \\ θ = \frac{π}{6} \sin (2.62 t + \frac{π}{2}) rad \\ \frac{d θ}{d t} = 2.62 \frac{π}{6} \cos (2.62 t + \frac{π}{2}) rad/s \end{array}$

Cuando pasa por θ=0,

$\begin{array}{l} θ = 0 {\begin{cases} \sin (2.62 t + \frac{π}{2}) = 0 \\ \cos (2.62 t + \frac{π}{2}) = \pm 1 \end{cases} \\ \frac{d θ}{d t} = \pm 1.37 rad/s \end{array}$

9.-Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

Hállese el periodo.
Si ahora se separa el péndulo 10º de la posición de equilibrio y se suelta, empezándose en ese momento a contar el tiempo. Escríbase la ecuación del M.A.S.

Solución

Momento de inercia respecto del eje que pasa por el punto de suspensión

$I = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.12}^{2}) + \frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + (\frac{2}{5} 0.4 \cdot {0.04}^{2} + 0.4 \cdot {0.24}^{2}) = 0.0293 {kg·m}^{2}$

Posición del centro de masas y periodo

$\begin{array}{l} b = \frac{0.2 \cdot 0.12 + 0.4 \cdot 0.24}{0.2 + 0.5 + 0.4} = 0.11 m \\ P = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g b}} = 0.992 s \end{array}$

Ecuación del MAS

$\begin{array}{l} ω = \frac{2 π}{P} = 6.33 rad/s \\ θ = θ_{0} \sin (ω t + φ) \\ \frac{d θ}{d t} = θ_{0} ω \cos (ω t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales, t=0, θ=10º=π/18, dθ/dt=0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} \frac{π}{18} = θ_{0} \sin φ \\ 0 = ω θ_{0} \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} rad θ_{0} = \frac{π}{18} rad \\ θ = \frac{π}{18} \sin (6.33 t + \frac{π}{2}) rad \end{array}$

10.- Oscilaciones amortiguadas

$\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d θ}{d t} + ω_{0}^{2} θ = 0$

ω₀ es la frecuencia natural o propia del oscilador
γ es la constante de amortiguamiento

Una varilla cilíndrica delgada de masa m, longitud l y diámetro D, oscila alrededor de un eje perpendicular que pasa por uno de sus extremos O. Al moverse en el aire, experimenta una fuerza de rozamiento

Cada elemento diferencial de la varilla (en color rojo) experimenta una fuerza de rozamiento proporcional al área de su sección transversal (D·dx), perpendicular a la dirección del movimiento y a la velocidad v (si no es elevada) y de sentido contario a la misma, ${\vec{d F}}_{r} = - k (D \cdot d x) \vec{v}$

A partir de la ecuación del movimiento de la varilla, obtener las expresiones de la frecuencia ω₀ y de la constante γ de amortiguamiento, para oscilaciones de pequeña amplitud

Dato: el momento de inercia de una varilla delgada respecto de un eje perpendicular que pasa por el centro de masas es I_cm=ml²/12

Adaptado del artículo:

Pirooz Mohazzabi, Siva P. Shankar. Damping of a Simple Pendulum Due to Drag on Its String. Journal of Applied Mathematics and Physics, 5, 122-130 (2017)

Solución

Aplicando Steiner, el momento de inercia de la varilla respecto del eje que pasa por su extremo O es

$I_{o} = \frac{1}{12} m l^{2} + m {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{3} m l^{2}$

El momento del peso mg de varilla la respecto de O es

$M_{p} = - m g \frac{l}{2} \sin θ$

Momento de la fuerza de rozamiento respecto de O

El momento de la fuerza de rozamiento dF_r sobre un elemento diferencial de la varilla es

$- x \cdot d F_{r} = - x \cdot k (D \cdot d x) v = - k D ω x^{2} d x$

donde ω=dθ/dt es la velocidad angular de rotación. El momento total es

$M_{r} = \int_{0}^{l} - k D ω x^{2} d x = - k ω D \frac{l^{3}}{3} = - k \frac{l^{3}}{3} D \frac{d θ}{d t}$

La ecuación del movimiento de la varilla es

$\begin{array}{l} I_{0} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - m g \frac{l}{2} \sin θ - k \frac{l^{3}}{3} D \frac{d θ}{d t} \\ m \frac{l^{2}}{3} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + k \frac{l^{3}}{3} D \frac{d θ}{d t} + m g \frac{l}{2} \sin θ = 0 \end{array}$

Para oscilaciones de amplitud pequeña, sinθ≈θ

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{k}{m} l D \frac{d θ}{d t} + \frac{3}{2} \frac{g}{l} θ = 0 \\ 2 γ = \frac{k}{m} l D, ω_{0}^{2} = \frac{3}{2} \frac{g}{l} \end{array}$

La fuerza de rozamiento que ejerce el aire sobre la varilla es

$F_{r} = \int_{0}^{l} k (D \cdot d x) v = k D ω \int_{0}^{l} x \cdot d x = \frac{1}{2} k D l^{2} \frac{d θ}{d t}$

Su punto de aplicación x_r es tal, que el momento de F_r respecto de O es igual al momento total M_r

$\begin{array}{l} M_{r} = - x_{r} F_{r} \\ - k \frac{l^{3}}{3} D \frac{d θ}{d t} = - x_{r} (\frac{1}{2} k D l^{2} \frac{d θ}{d t}) \\ x_{r} = \frac{2}{3} l \end{array}$