Movimiento Armónico Simple

1.-Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π /6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre

el desplazamiento,
su velocidad,
su aceleración.
Determinar el periodo y la amplitud del movimiento.

Solución

$\begin{array}{l} x = 5 \cos (2 t + \frac{π}{6}) \\ v = \frac{d x}{d t} = - 10 \sin (2 t + \frac{π}{6}) \\ a = \frac{d v}{d t} = - 20 \cos (2 t + \frac{π}{6}) \\ t = 0 {\begin{cases} x = 5 \cos \frac{π}{6} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm \\ v = - 10 \sin \frac{π}{6} = - 5 cm/s \\ a = - 20 \cos \frac{π}{6} = - 10 \sqrt{3} {cm/s}^{2} \end{cases} \end{array}$

Frecuencia angular ω=2 rad/s, Periodo P=2π/ω=π s

Amplitud, A= 5 cm.

2.-Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:

Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante.
Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.

Solución

Frecuencia angular

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{43.2}{0.3}} = 12 rad/s$

Ecuación del M.A.S.

$\begin{array}{l} x = 0.2 \sin (12 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 2.4 \cos (12 t + φ) \end{array}$

En el instante t=0, x=0.1 y v<0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.1 = 0.2 \sin (φ) \\ v = 2.4 \cos (φ) \end{cases} \\ \sin φ = 0.5 {\begin{cases} φ = \frac{π}{6} \cos φ > 0 v > 0 \\ φ = \frac{5 π}{6} \cos φ < 0 v < 0 \end{cases} \end{array}$

La segunda solución es la que pide el enunciado del problema

$\begin{array}{l} x = 0.2 \sin (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ v = \frac{d x}{d t} = 2.4 \cos (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ a = \frac{d v}{d t} = - 28.8 \sin (12 t + \frac{5 π}{6}) \end{array}$

Energías

$\begin{array}{l} E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} 0.3 \cdot {2.4}^{2} \cos^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) = 0.864 \cdot \cos^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} 43.2 \cdot {0.2}^{2} \sin^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) = 0.864 \cdot \sin^{2} (12 t + \frac{5 π}{6}) \\ E = E_{k} + E_{p} = 0.864 J \end{array}$

Instantes en los que pasa por el origen

$\begin{array}{l} x = 0.2 \sin (12 t + \frac{5 π}{6}) = 0 \\ 12 t + \frac{5 π}{6} = n π t = \frac{n π - 5 π / 6}{12} n = 1,2,3... \end{array}$

3.-Un cuerpo de masa m=2 kg está unido a un muelle horizontal de constante k=5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0. Hallar:

La frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación del M.A.S.
¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición de equilibrio?

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = 1.58 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = 3.97 s \\ x = A \sin (ω t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = A ω \cos (ω t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales: t=0, x=0.1, v=0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.1 = A \sin φ \\ 0 = A ω \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} A = 0.1 \\ x = 0.1 \sin (1.58 t + \frac{π}{2}) \\ v = \frac{d x}{d t} = 0.158 \cos (1.58 t + \frac{π}{2}) \end{array}$

Pasa por primera vez por el origen x=0, v<0

$1.58 t + \frac{π}{2} = π t = 0.993 s$

4.-Un muelle elástico de constante k=0.4 N/m está unido a una masa de m=25 g. En el instante inicial su posición es x = 5 cm y su velocidad $v = - 20 \sqrt{3} cm/s$ . Calcular

El periodo de la oscilación.
Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.
La energía cinética, potencial y total cuando el móvil pasa por la posición x=-5 cm.
El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.4}{0.025}} = 4 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = \frac{π}{2} s \\ x = A \sin (4 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = A ω \cos (4 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.05 = A \sin φ \\ - 0.2 \sqrt{3} = 4 A \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{5 π}{6} A = 0.1 \\ x = 0.1 \sin (4 t + \frac{5 π}{6}) \\ v = \frac{d x}{d t} = 0.4 \cos (4 t + \frac{5 π}{6}) \\ a = \frac{d x}{d t} = - 1.6 \sin (4 t + \frac{5 π}{6}) \end{array}$

Para x=-0.05 m, el módulo de la velocidad será la misma que para x=0.05 m. Otra forma sería, sin(4t+5π/6)=-0.05/0.1,

$\begin{array}{l} \cos (4 t + \frac{5 π}{6}) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ v = \pm 0.2 \sqrt{3} \\ E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = 1.5 \cdot 10^{- 3} J \\ E_{p} = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} = 0.5 \cdot 10^{- 3} J \end{array}$

La energía total es E_k+E_p=2·10^-3 J. Otra forma de calcular la energía total

$E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = 2 \cdot 10^{- 3} J$

Pasa por el origen x=0,

$\begin{array}{l} x = 0 {\begin{cases} \sin (4 t + \frac{5 π}{6}) = 0 \\ \cos (4 t + \frac{5 π}{6}) = \pm 1 \end{cases} \\ v = \pm 0.4 m/s \\ (4 t + \frac{5 π}{6}) = n π n = 1,2,3... t = 0.13, 0.91, 1.70... \end{array}$

5.-Una partícula de m=200 g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un movimiento armónico simple siendo la frecuencia angular ω=100 rad/s. Sabemos que en el instante t=0, la posición inicial $- 0.5 \sqrt{3} cm$ y la velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s.

Escribir la ecuación del MAS
Calcular la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento.

Solución

$\begin{array}{l} x = A \sin (100 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 100 A \cos (100 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales:

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} - 0.005 \sqrt{3} = A \sin φ \\ 0.5 = 100 A \cos φ \end{cases} \\ φ = - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3} A = 0.01 \\ x = 0.01 \sin (100 t + \frac{5 π}{3}) \\ v = \frac{d x}{d t} = \cos (100 t + \frac{5 π}{3}) \\ a = \frac{d x}{d t} = - 100 \sin (100 t + \frac{5 π}{3}) \end{array}$

Constante del muelle

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}} 100 = \sqrt{\frac{k}{0.2}} k = 2000 N/m$

Energía del movimiento

$E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} 2000 \cdot {0.01}^{2} = 0.1 J$

6.-Una partícula de masa de m=500 g está unida a un muelle de constante k=200 N/m. Se desplaza la masa 2 cm de la posición de equilibrio, y se le proporciona en el instante inicial t=0, una velocidad de 100 cm/s hacia la izquierda tal como se muestra en la figura.

Calcula el periodo de las oscilaciones
La ecuación del MAS
Calcula la velocidad, energía cinética, potencial y el (los) instante(s) en el que la partícula pasa por la posición x=-3 cm dirigiéndose hacia la derecha.

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = 20 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = \frac{π}{10} s \\ x = A \sin (20 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 20 A \cos (20 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.02 = A \sin φ \\ - 1 = 20 A \cos φ \end{cases} \\ φ = 2.76 rad A = 5.38 cm \\ x = 5.38 \sin (20 t + 2.76) cm \\ v = \frac{d x}{d t} = 107.7 \cos (20 t + 2.76) cm/s \end{array}$

Pasa por x=-3 cm, con v>0

$\begin{array}{l} x = - 3 {\begin{cases} \sin (20 t + 2.76) = - 0.557 \\ \cos (20 t + 2.76) = + 0.830 \end{cases} \\ 20 t + 2.76 = 5.69 + 2 n π n = 0,1,2,3... t = 0.14,0.46,.... s \end{array}$

Energías

$\begin{array}{l} v = 20 \cdot 0.0538 \cdot \cos 5.69 = 0.894 m/s \\ E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = 0.2 J \\ E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} 200 \cdot {0.03}^{2} = 0.09 J \\ E = \frac{1}{2} k A^{2} = E_{k} + E_{p} = 0.29 J \end{array}$

7.-Un muelle horizontal tiene una constante recuperadora de k=48 N/m. En el extremo del muelle se coloca una masa de m=0.75 kg y se estira el muelle 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:

El periodo de la oscilación.
La ecuación del M.A.S.
El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x=-0.1 m, después de haber pasado por el origen.
Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en dicho(s) instante(s).

Solución

$\begin{array}{l} ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{48}{0.75}} = 8 rad/s P = \frac{2 π}{ω} = \frac{π}{4} s \\ x = A \sin (8 t + φ) \\ v = \frac{d x}{d t} = 8 A \cos (8 t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} 0.2 = A \sin φ \\ 0 = 8 A \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} rad A = 0.2 m \\ x = 0.2 \sin (8 t + \frac{π}{2}) m \\ v = \frac{d x}{d t} = 1.6 \cos (8 t + \frac{π}{2}) m/s \end{array}$

Pasa por x=-0.1 m, con v<0

$\sin (8 t + \frac{π}{2}) = - 0.5 {\begin{cases} 8 t + \frac{π}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 n π v < 0 \\ 8 t + \frac{π}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 n π v > 0 \end{cases}$

Energías

$\begin{array}{l} v = 1.6 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 n π) = - 0.8 \sqrt{3} m/s \\ E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = 0.72 J \\ E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} 48 \cdot {0.1}^{2} = 0.24 J \\ E = \frac{1}{2} k A^{2} = E_{k} + E_{p} = 0.96 J \end{array}$

8.-Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa 100 g y 30 cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150 g y 5 cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10 cm del eje de giro.

Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2.4 s, calcular la constante K de torsión del muelle.
Si en el instante inicial t=0 el péndulo se desplaza θπ/6 de la posición de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula).
Escribir la ecuación del M.A.S.
Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

Solución

Momento de inercia respecto del eje

$\begin{array}{l} I = \frac{1}{12} 0.1 \cdot {0.3}^{2} + 2 (\frac{2}{5} 0.15 \cdot {0.05}^{2} + 0.15 \cdot {0.1}^{2}) = 4.05 \cdot 10^{- 3} {kg·m}^{2} \\ P = 2 π \sqrt{\frac{I}{K}} K = \frac{4 π^{2} I}{P^{2}} = 0.0278 N·m \end{array}$

Ecuación del MAS

$\begin{array}{l} ω = \frac{2 π}{P} = 2.62 rad/s \\ θ = θ_{0} \sin (ω t + φ) \\ \frac{d θ}{d t} = θ_{0} ω \cos (ω t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales, t=0, θ=π/6, dθ/dt=0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} \frac{π}{6} = θ_{0} \sin φ \\ 0 = ω θ_{0} \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} rad θ_{0} = \frac{π}{6} rad \\ θ = \frac{π}{6} \sin (2.62 t + \frac{π}{2}) rad \\ \frac{d θ}{d t} = 2.62 \frac{π}{6} \cos (2.62 t + \frac{π}{2}) rad/s \end{array}$

Cuando pasa por θ=0,

$\begin{array}{l} θ = 0 {\begin{cases} \sin (2.62 t + \frac{π}{2}) = 0 \\ \cos (2.62 t + \frac{π}{2}) = \pm 1 \end{cases} \\ \frac{d θ}{d t} = \pm 1.37 rad/s \end{array}$

9.-Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

Hállese el periodo.
Si ahora se separa el péndulo 10º de la posición de equilibrio y se suelta, empezándose en ese momento a contar el tiempo. Escríbase la ecuación del M.A.S.

Solución

Momento de inercia respecto del eje que pasa por el punto de suspensión

$I = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.12}^{2}) + \frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + (\frac{2}{5} 0.4 \cdot {0.04}^{2} + 0.4 \cdot {0.24}^{2}) = 0.0293 {kg·m}^{2}$

Posición del centro de masas y periodo

$\begin{array}{l} b = \frac{0.2 \cdot 0.12 + 0.4 \cdot 0.24}{0.2 + 0.5 + 0.4} = 0.11 m \\ P = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g b}} = 0.992 s \end{array}$

Ecuación del MAS

$\begin{array}{l} ω = \frac{2 π}{P} = 6.33 rad/s \\ θ = θ_{0} \sin (ω t + φ) \\ \frac{d θ}{d t} = θ_{0} ω \cos (ω t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales, t=0, θ=10º=π/18, dθ/dt=0

$\begin{array}{l} t = 0 {\begin{cases} \frac{π}{18} = θ_{0} \sin φ \\ 0 = ω θ_{0} \cos φ \end{cases} \\ φ = \frac{π}{2} rad θ_{0} = \frac{π}{18} rad \\ θ = \frac{π}{18} \sin (6.33 t + \frac{π}{2}) rad \end{array}$