Fuerza de rozamiento. Coeficiente de arrastre

La fórmula de la fuerza de rozamiento es

$F_{r} = C_{D} \frac{1}{2} ρ_{f} A v^{2}$

Donde C_D se denomina coeficiente de arrastre, ρ_f es la densidad del fluido, A es el área de la sección transversal a la dirección del movimiento (en el caso de una esfera es πD²/4) y v es la velocidad relativa del objeto respecto del fluido.

El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define para un objeto esférico de diámetro D

$Re = \frac{ρ_{f} D v}{η}$

η es la viscosidad del fluido.

Existen fórmulas que describen con mayor o menos aproximación las medidas del coeficiente de arrastre C_D para un objeto de forma esférica en un amplio intervalo de números de Reynolds, Re.

$C_{D} = \frac{24}{Re} + \frac{2.6 (\frac{Re}{5.0})}{1 + {(\frac{Re}{5.0})}^{1.52}} + \frac{0.411 {(\frac{Re}{263 000})}^{- 7.94}}{1 + {(\frac{Re}{263 000})}^{- 8.00}} + \frac{{Re}^{0.80}}{461 000}$

Esta fórmula describe bien la zona alrededor de Re=2·10⁶ donde el coeficiente de arrastre cambia apreciablemente con el número Re

Otra fórmula válida para Re<10⁶ mucho más simple es

$C_{D} = {({(\frac{a}{Re})}^{c} + b^{c})}^{1 / c}$

con a=24, b=0.32 y c=0.52

Creamos un script para representar ambas funciones en un diagrama doblemente logarítmico

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x) ((a./x).^c+b^c).^(1/c);

c2=@(x) 24./x+2.6*(x/5.0)./(1+(x/5.0).^1.52)+0.411*((x/263000).^-7.94)./
(1+(x/263000).^-8.00)+x.^0.800/461000;
re=logspace(-2,6,100);
loglog(re,c2(re), re,c1(re))
grid on
xlabel('Re')
ylabel('C_D')
legend('(1)','(2)')
title('Coeficiente C_D de arrastre')

Ambas descripciones coinciden en un amplio intervalo de números de Reynolds, salvo en la zona donde C_D cambia rápidamente Re>2·10⁵ (parte derecha de la gráfica). Para números de Reynolds del orden de 10⁴ hasta 2·10⁵ el coeficiente de arrastre se mantiene casi constante próximo a C_D=0.4

Fórmula de Stokes

Para una esfera de diámetro D que se mueve en un fluido con bajos números de Reynolds C_D=24/Re. La fuerza de rozamiento vale

$F_{r} = 3 π η D v$

que es la fórmula de Stokes

Supongamos que una esfera de masa m se deja caer en el seno de un fluido, al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito, alcanza una velocidad límite constante v_∞. El peso menos el empuje se hace igual a la fuerza de rozamiento, mg-E=F_r, la acelearción a=0

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} ρ_{s} \frac{1}{6} π D^{3} g - ρ_{f} \frac{1}{6} π D^{3} g = 3 π η D v_{\infty} \\ ρ_{e} \frac{1}{6} π D^{3} g = 3 π η D v_{\infty} \end{array} \\ v_{\infty} = \frac{ρ_{e} g D^{2}}{18 η} \end{array}$

ρ_s es la densidad del sólido y ρ_f la del fluido. D es el diámetro de la esfera

El número de Reynolds Re para esta velocidad es

$Re = \frac{ρ_{f} ρ_{e} g D^{3}}{18 η^{2}}$

Que crece muy rápidamente con el diámetro D de la esfera. Para

Ejemplo 1: una gota de agua que se deja caer en el aire (se desprecia el empuje)

densidad del aire, ρ_f=1.2 kg/m³
densidad del agua, ρ_e=1000 kg/m³
viscosidad del aire, η=18·10^-6 Pa·s

$Re = \frac{1.2 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot D^{3}}{18 \cdot {(18 \cdot 10^{- 6})}^{2}}$

Para que Re<1 entonces D<79 μm

Ejemplo 2: una esfera de plomo se deja caer en aceite de automóvil.

Densidad del plomo, ρ_s=11 350 kg/m³
Densidad del aceite, ρ_f=880 kg/m³
Viscosidad del aceite, η=0.391 Pa·s

Para que Re<1 entonces D<3 mm

Velocidad límite constante

Supongamos de nuevo, que una esfera de masa m se deja caer en el seno de un fluido, al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito, alcanza una velocidad límite constante v_∞. El peso menos el empuje se hace igual a la fuerza de rozamiento, mg-E=F_r, la acelearción a=0

$\begin{array}{l} ρ_{e} \frac{1}{6} π D^{3} g = \frac{1}{2} C_{D} ρ_{f} \frac{1}{4} π D^{2} v_{\infty}^{2} \\ v_{\infty} = 2 \sqrt{\frac{ρ_{e} g D}{3 C_{D} ρ_{f}}} \end{array}$

Donde ρ_e=ρ_s-ρ_f. El coeficiente de arrastre C_D depende del número de Reynolds, Re y el número de Reynolds de la velocidad

Utilizamos la función más simple para relacionar el coeficiente de arrastre C_D y el número de Reynolds, Re. Un pequeño programa en MATLAB nos permite determinar la velocidad final v_∞ para una gota de diámetro D que cae en el aire

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x)  ((a/x)^c+b^c)^(1/c); %C_D

rho_f=1.2; %densidad del aire
rho_e=1000; %densidad del agua
eta=18e-6; %viscosidad del aire
D=100e-6; %diámetro de la gota de agua

%aproximación inicial, utilizando la fórmula de Stokes
v0=rho_e*9.8*D^2/(18*eta); 
while(1)
    Re=rho_f*D*v0/eta;
    v=2*sqrt(rho_e*9.8*D/(3*c1(Re)*rho_f));
    if abs(v-v0)<0.01
        break;
    end
    v0=v;
end
fprintf('La velocidad límite constante de la gota es %1.3f\n',v);

La velocidad límite constante de la gota es 0.242

Que es un poco menor, que la que se obtendría aplicando la fórmula de Stokes v_∞=0.302

Creamos un script para calcular y representar la velocidad límite constante de gotas de varios diámetros que se dejan caer en el aire.

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x) ((a./x).^c+b^c).^(1/c);
rho_f=1.2; %densidad del aire
rho_e=1000; %densidad del agua
eta=18e-6; %viscosidad del aire

D=(10:10:500)*1e-6; %diámetros de la gota de agua
v_inf=zeros(1,length(D));
for i=1:length(D)
    v0=rho_e*9.8*D(i)^2/(18*eta); 
    while(1)
        Re=rho_f*D(i)*v0/eta;
        v=2*sqrt(rho_e*9.8*D(i)/(3*c1(Re)*rho_f));
        if abs(v-v0)<0.01
            v_inf(i)=v;
            break;
        end
        v0=v;
    end
end
    plot(D/1e-6,v_inf)
    grid on
    xlabel('D (\mum)')
    ylabel('v (m/s)')
    title('Velocidad límite constante')

Ecuación del movimiento

La ecuación del movimiento de una gota de agua que se deja caer en el aire (se desprecia el empuje) es

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = g - \frac{F_{r}}{m} \\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = g - \frac{3 C_{D} ρ_{f}}{4 ρ_{e} D} v^{2} \end{array}$

El coeficiente de arrastre C_D depende del número de Reynolds, Re y el número de Reynolds de la velocidad. Hay que resolver la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, parte del origen x=0, con velocidad nula dx/dt. Una velocidad nula, da error por división entre cero al calcular el el coeficiente de arrastre C_D, para evitarlo, iniciamos el movimiento con una velocidad muy pequeña.

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x) ((a/x)^c+b^c)^(1/c);
rho_f=1.2; %densidad del aire
rho_e=1000; %densidad del agua
eta=18e-6; %viscosidad del aire

D=100e-6; %diámetro de la gota
x0=[0,0.001];  %condiciones iniciales
f=@(t,x) [x(2); 9.8-3*c1(rho_f*D*x(2)/eta)*rho_f*x(2)^2/(4*rho_e*D)]; 
tspan=[0 1];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

 plot(t,x(:,2))
 grid on
 xlabel('t(s)')
 ylabel('v (m/s)')
 title('Movimiento de una gota')

Vemos que la gota adquiere rápidamente una velocidad límite constante

Aproximaciones

Para pequeños números Re<1, la expresión de la fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R es

$F_{r} = 6 π η R v$

Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve en régimen laminar en un medio es proporcional a la velocidad.

El rango de validez de la fórmula de Stokes (Re<1) limita el radio R de la esfera que empleamos en la experiencia de la medida de la viscosidad de un fluido, para un fluido (aceite) y para un material (plomo) determinado, tal como se ha explicado en el apartado 'Fórmula de Stokes'

Para grandes números Re, el coeficiente de arrastre C_D es aproximadamente constante C_D≈ 0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale

$F_{r} = 0.2 ρ_{f} π R^{2} v^{2}$

La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Este modelo de fuerza se justifica cualitativamente del siguiente modo: Un cuerpo de área frontal A=πR², que se mueve con velocidad v barre un volumen de gas A·vΔt en el tiempo Δt. La masa de gas es ρ_f·AvΔt, donde ρ_f es la densidad. Suponiendo que el cuerpo al moverse acelera las partículas del gas hasta la velocidad v del cuerpo. El momento lineal que gana el gas en el tiempo Δt es ρ_f·Av²Δt. El momento lineal ganado por el gas en la unidad de tiempo es el mismo que pierde el cuerpo en la unidad de tiempo, ρ_f·Av² y esta es la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cuerpo que se mueve a través del gas

Movimiento bajo la acción de ambas fuerzas de rozamiento

Un ejercicio interesante, consiste en estudiar el movimiento horizontal de una partícula bajo la acción de un fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. La ecuación del movimiento es

$m \frac{d v}{d t} = - m b v - m c v^{2}$

Integramos esta ecuación, con la condición inicial, en el instante t=0, v=v₀

$\begin{array}{l} \frac{d v}{b v + c v^{2}} = - d t \\ \frac{1}{b} \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{v} - \frac{c}{b} \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{b + c v} = - t \\ \frac{v (b + c v_{0})}{v_{0} (b + c v)} = e^{- b t} \\ v = \frac{b v_{0}}{(b + c v_{0}) e^{b t} - c v_{0}} \end{array}$

Integramos de nuevo para obtener la posición x del móvil en función del tiempo t, sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0

$x = \int_{0}^{t} \frac{b v_{0}}{(b + c v_{0}) e^{b t} - c v_{0}} d t$

Haciendo el cambio de variable u=(b+cv₀)e^bt

$v_{0} \int \frac{d u}{u (u - c v_{0})} = \frac{1}{c} {- \int \frac{d u}{u} + \int \frac{d u}{u - c v_{0}}} = \frac{1}{c} \ln \frac{u - c v_{0}}{u}$

Deshaciendo los cambios, la integral resulta

$x = \frac{1}{c} \ln (1 + \frac{c}{b} v_{0} (1 - e^{- b t}))$

Cuando t→∞, la partícula se detiene, penetrando una longitud

$L = \frac{1}{c} \ln (1 + \frac{c}{b} v_{0})$

Expresamos la velocidad v en función de x en vez de t teniendo en cuenta que dv/dt=(dx/dt)(dv/dx)=v(dv/dx). La ecuación del movimiento se escribe

$\begin{array}{l} v \frac{d v}{d x} = - b v - c v^{2} \\ \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{b + c v} = \int_{0}^{x} d x \\ v = \frac{1}{c} {b - (b + c v_{0}) e^{- c x}} \end{array}$

La partícula se detiene v=0, cuando su posición es x=L

Para una esfera de masa m=ρ_s(4πR³/3), los coeficientes b y c valen

$\begin{array}{l} m b = 6 π η R, b = \frac{9 η}{2 ρ_{s} R^{2}} \\ m c = 0.2 ρ_{f} π R^{2}, c = \frac{0.3 ρ_{f}}{2 ρ_{s} R} \end{array}$

Una esfera de plomo se mueve horizontalmente en aceite de automóvil, suponiendo una velocidad inicial de v₀=1 m/s.

Radio de la esfera, R=1.5 mm
Densidad del plomo, ρ_e=11 350 kg/m³
Densidad del aceite, ρ_f=880 kg/m³
Viscosidad del aceite, η=0.391 Pa·s

>> b=9*0.391/(2*11350*0.0015^2)
b =   68.8987
>> c=0.2*880/(2*11350*0.0015)
c =    5.1689
>> L=log(1+c/b)/c
L =    0.0140

La esfera penetra en el aceite una longitud de 1.4 cm

Referencias

Faith A. Morrison, Data Correlation for Drag Coefficient for Sphere, Department of Chemical Engineering, Michigan Technological University, Houghton, MI, www.chem.mtu.edu/~fmorriso/DataCorrelationForSphereDrag2013.pdf.

H.J. Holterman. Kinetics and evaporation of water drops in air. IMAG report 2003-12, Wageningen UR, July 2003

Wayne M Saslow, Hong Lu. Newton on objects moving in a fluid-the penetration length. Eur. J. Phys. 29 (2008) pp. 689-696