Fuerza de rozamiento. Coeficiente de arrastre

La fórmula de la fuerza de rozamiento es

F r = C D 1 2 ρ f A v 2

Donde CD se denomina coeficiente de arrastre, ρf es la densidad del fluido, A es el área de la sección transversal a la dirección del movimiento (en el caso de una esfera es πD2/4) y v es la velocidad relativa del objeto respecto del fluido.

El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define para un objeto esférico de diámetro D

Re= ρ f Dv η

η es la viscosidad del fluido.

Existen fórmulas que describen con mayor o menos aproximación las medidas del coeficiente de arrastre CD para un objeto de forma esférica en un amplio intervalo de números de Reynolds, Re.

C D = 24 Re + 2.6( Re 5.0 ) 1+ ( Re 5.0 ) 1.52 + 0.411 ( Re 263000 ) 7.94 1+ ( Re 263000 ) 8.00 + Re 0.80 461000

Esta fórmula describe bien la zona alrededor de Re=2·106 donde el coeficiente de arrastre cambia apreciablemente con el número Re

Otra fórmula válida para Re<106 mucho más simple es

C D = ( ( a Re ) c + b c ) 1/c

con a=24, b=0.32 y c=0.52

Creamos un script para representar ambas funciones en un diagrama doblemente logarítmico

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x) ((a./x).^c+b^c).^(1/c);

c2=@(x) 24./x+2.6*(x/5.0)./(1+(x/5.0).^1.52)+0.411*((x/263000).^-7.94)./
(1+(x/263000).^-8.00)+x.^0.800/461000;
re=logspace(-2,6,100);
loglog(re,c2(re), re,c1(re))
grid on
xlabel('Re')
ylabel('C_D')
legend('(1)','(2)')
title('Coeficiente C_D de arrastre') 

Ambas descripciones coinciden en un amplio intervalo de números de Reynolds, salvo en la zona donde CD cambia rápidamente Re>2·105 (parte derecha de la gráfica). Para números de Reynolds del orden de 104 hasta 2·105 el coeficiente de arrastre se mantiene casi constante próximo a CD=0.4

Fórmula de Stokes

Para una esfera de diámetro D que se mueve en un fluido con bajos números de Reynolds CD=24/Re. La fuerza de rozamiento vale

F r =3πηDv

que es la fórmula de Stokes

Supongamos que una esfera de masa m se deja caer en el seno de un fluido, al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito, alcanza una velocidad límite constante v. El peso se hace igual a la fuerza de rozamiento, mg=Fr, la acelearción a=0

ρ e 1 6 π D 3 g=3π η f D v v = ρ e g D 2 18 η f

El número de Reynolds Re para esta velocidad es

Re= ρ f ρ e g D 3 18 η f 2

Que crece muy rápidamente con el diámetro D de la esfera. Para una gota de agua que se deja caer en el aire: densidad del aire ρf=1.2 kg/m3, densidad del agua ρe=1000 kg/m3, viscosidad del aire η=18·10-6 Pa·s

Re= 1.2·1000·9.8· D 3 18· ( 18· 10 6 ) 2

Para que Re<1 entonces D<79 μm

Velocidad límite constante

Supongamos de nuevo, que una esfera de masa m se deja caer en el seno de un fluido, al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito, alcanza una velocidad límite constante v. El peso se hace igual a la fuerza de rozamiento, mg=Fr, la acelearción a=0

ρ e 1 6 π D 3 g= 1 2 C D ρ f 1 4 π D 2 v 2 v =2 ρ e gD 3 C D ρ f

El coeficiente de arrastre CD depende del número de Reynolds, Re y el número de Reynolds de la velocidad

Utilizamos la función más simple para relacionar el coeficiente de arrastre CD y el número de Reynolds, Re. Un pequeño programa en MATLAB nos permite determinar la velocidad final v para una gota de diámetro D que cae en el aire

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x)  ((a/x)^c+b^c)^(1/c);

rho_f=1.2; %densidad del aire
rho_e=1000; %densidad del agua
eta=18e-6; %viscosidad del aire
D=100e-6; %diámetro de la gota de agua

%aproximación inicial, utilizando la fórmula de Stokes
v0=rho_e*9.8*D^2/(18*eta); 
while(1)
    Re=rho_f*D*v0/eta;
    v=2*sqrt(rho_e*9.8*D/(3*c1(Re)*rho_f));
    if abs(v-v0)<0.01
        break;
    end
    v0=v;
end
fprintf('La velocidad límite constante de la gota es %1.3f\n',v);
La velocidad límite constante de la gota es 0.242

Que es un poco menor, que la que se obtendría aplicando la fórmula de Stokes v=0.302

Creamos un script para calcular y representar la velocidad límite constante de gotas de varios diámetros que se dejan caer en el aire.

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x) ((a./x).^c+b^c).^(1/c);
rho_f=1.2; %densidad del aire
rho_e=1000; %densidad del agua
eta=18e-6; %viscosidad del aire

D=(10:10:500)*1e-6; %diámetros de la gota de agua
v_inf=zeros(1,length(D));
for i=1:length(D)
    v0=rho_e*9.8*D(i)^2/(18*eta); 
    while(1)
        Re=rho_f*D(i)*v0/eta;
        v=2*sqrt(rho_e*9.8*D(i)/(3*c1(Re)*rho_f));
        if abs(v-v0)<0.01
            v_inf(i)=v;
            break;
        end
        v0=v;
    end
end
    plot(D/1e-6,v_inf)
    grid on
    xlabel('D (\mum)')
    ylabel('v (m/s)')
    title('Velocidad límite constante')

Ecuación del movimiento

La ecuación del movimiento de una gota de agua que se deja caer en el aire es

d 2 x d t 2 =g F r m d 2 x d t 2 =g 3 C D ρ f 4 ρ e D v 2

El coeficiente de arrastre CD depende del número de Reynolds, Re y el número de Reynolds de la velocidad. Hay que resolver la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, parte del origen x=0, con velocidad nula dx/dt. Una velocidad nula, da error por división entre cero al calcular el el coeficiente de arrastre CD, para evitarlo, iniciamos el movimiento con una velocidad muy pequeña.

a=24;
b=0.32;
c=0.52;
c1=@(x) ((a/x)^c+b^c)^(1/c);
rho_f=1.2; %densidad del aire
rho_e=1000; %densidad del agua
eta=18e-6; %viscosidad del aire

D=100e-6; %diámetro de la gota
x0=[0,0.001];  %condiciones iniciales
f=@(t,x) [x(2); 9.8-3*c1(rho_f*D*x(2)/eta)*rho_f*x(2)^2/(4*rho_e*D)]; 
tspan=[0 1];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

 plot(t,x(:,2))
 grid on
 xlabel('t(s)')
 ylabel('v (m/s)')
 title('Movimiento de una gota')

Vemos que la gota adquiere rápidamente una velocidad límite constante

Aproximaciones

Para pequeños números Re<1, la expresión de la fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R es

F r =6πηRv

Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve en régimen laminar en un medio es proporcional a la velocidad.

El rango de validez de la fórmula de Stokes (Re<1) limita el radio R de la esfera que empleamos en la experiencia de la medida de la viscosidad de un fluido, para un fluido (aceite) y para un material (plomo) determinado. Conocidos los datos de la densidad del fluido ρf , su viscosidad η (medida por otros procedimientos alternativos) y la velocidad v de la esfera en dicho medio, el radio R de la esfera debe cumplir que

2R ρ f v η <1

Para grandes números Re, el coeficiente de arrastre CD es aproximadamente constante CD0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale

F r =0.2 ρ f π R 2 v 2

La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Referencias

Faith A. Morrison, Data Correlation for Drag Coefficient for Sphere, Department of Chemical Engineering, Michigan Technological University, Houghton, MI, www.chem.mtu.edu/~fmorriso/DataCorrelationForSphereDrag2013.pdf.

H.J. Holterman. Kinetics and evaporation of water drops in air. IMAG report 2003-12, Wageningen UR, July 2003