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La aceleración de la gravedad en el interior y en el exterior de una distribución esférica y uniforme de masa

La aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r de la masa puntual M se define como la fuerza sobre la unidad de masa, situada en dicho punto. Es un vector de módulo

${\displaystyle g=G\frac{M}{r^2}}$

dirección radial, y sentido hacia la masa puntual M, tal como se muestra en al figura.

En esta página, vamos a calcular la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de una distribución esférica y uniforme de masa de radio R.

El punto P está en el exterior de la esfera de radio R.

Supongamos que el punto P está situado a una distancia r>R a lo largo del eje Z del centro de un planeta de masa M. Dividimos la esfera en discos (de color azul claro) de radio variable y de espesor dz, tal como se muestra en la figura. Para calcular la fuerza que ejerce uno de estos discos sobre la unidad de masa situada en P, dividimos cada disco en anillos (en color amarillo) de radio x, de anchura dx y espesor dz.

Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo.

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πx·dx)·dz.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P es

${\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·dx·dz}{x^2+{(r-z)}^2}·\cos \alpha =G\frac{\rho ·2\pi x·dx·dz}{x^2+{(r-z)}^2}\frac{r-z}{\sqrt{x^2+{(r-z)}^2}}}$

Integramos respecto de la variable x, entre los límites 0 e y para calcular resultante de las fuerzas en P debidas a la distribución de masa contenida por el disco de radio y y de espesor dz.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}G\rho ·2\pi (r-z)dz\frac{xdx}{{\left(\sqrt{x^2+{(r-z)}^2}\right)}^3}}=G\rho ·2\pi (r-z)dz\left(\frac{1}{r-z}-\frac{1}{\sqrt{y^2+{(r-z)}^2}}\right)}$

Relacionamos la variable y y z para integrar respecto de la variable z entre los límites –R y +R

z²+y²=R²

La aceleración de la gravedad en el punto P, se obtendrá integrando

${\displaystyle g={\displaystyle \underset{-R}{\overset{+R}{\int }}G\rho ·2\pi \left(1-\frac{r}{\sqrt{R^2+r^2-2rz}}+\frac{z}{\sqrt{R^2+r^2-2rz}}\right)dz}}$

Integrando por partes el tercer término entre paréntesis

${\displaystyle \begin{array}{l}g=G\rho ·2\pi {\left\{z+\left(1-\frac{z}{r}\right)\sqrt{R^2+r^2-2rz}-\frac{1}{3r^2}\sqrt{{(R^2+r^2-2rz)}^3}\right\}}_{-R}^{+R}=\\ G\rho ·2\pi \left\{\left(R+\frac{{(r-R)}^2}{r}-\frac{{(r-R)}^3}{3r^2}\right)-\left(-R+\frac{{(r+R)}^2}{r}-\frac{{(r+R)}^3}{3r^2}\right)\right\}=G\rho ·2\pi \frac{2R^3}{3r^2}=\\ G\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}·2\pi \frac{2R^3}{3r^2}=G\frac{M}{r^2}\end{array}}$

En vez de dividir la esfera en discos de radio variable y y espesor dz, podemos dividir la esfera en capas esféricas concéntricas de radio x y de espesor dx.

Dicha capa la dividimos en anillos. Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo.

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P

${\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·\text{sin}\theta ·x·d\theta ·dx}{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}·\cos \alpha =G\frac{\rho ·2\pi x^2·\text{sin}\theta ·dx·d\theta }{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}\frac{r-x\cos \theta }{\sqrt{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}}}$

Integramos respecto de la variable θ, entre los límites 0 y π para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y d espesor dx.

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta (r-x\cos \theta )d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(r{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}-x{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta \cos \theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}\right)\end{array}}$

La primera integral es inmediata, integramos por partes la segunda. El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\left(-\frac{1}{x\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\cos \theta }{r\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}{r^{2}x}\right)}_0^{\pi }=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left\{\left(-\frac{1}{x(r+x)}-\frac{1}{r(r+x)}+\frac{(r+x)}{r^{2}x}\right)-\left(-\frac{1}{x(r-x)}+\frac{1}{r(r-x)}+\frac{(r-x)}{r^{2}x}\right)\right\}=\frac{G\rho 4\pi x^{2}dx}{r^2}\end{array}}$

${\displaystyle \frac{G\rho 4\pi x^2}{r^2}dx}$ Esta expresión nos da la aceleración de la gravedad producida por una capa esférica de radio x y de espesor dx en un punto P situado a una distancia r>x del centro de la capa esférica.

Calculamos la fuerza ejercida por la esfera de masa M sobre la unidad de masa situada en P, sumando la fuerza que ejerce cada una de las capas esféricas en la que hemos dividido la esfera. El módulo de la aceleración de la gravedad vale.

${\displaystyle g={\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{G\rho 4\pi x^2}{r^2}dx}=\frac{G\rho 4\pi }{r^2}\frac{R^3}{3}=\frac{G4\pi }{r^2}\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\frac{R^3}{3}=G\frac{M}{r^2}}$

Si tenemos en cuenta que el vector g apunta hacia el centro de la Tierra ${\displaystyle g=-G\frac{M}{r^2}r>R}$

El punto P está en el interior de la esfera de radio R.

El punto P está a una distancia r<R del centro de la esfera. Dividimos la esfera en dos, una esfera hueca de radio interior r y radio exterior R. y una esfera maciza de radio r.

Fuerza que ejerce la esfera interior

La fuerza que ejerce la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r sobre la unidad de masa situada en el punto P a una distancia r del centro, la hemos calculado en el apartado anterior, solamente hemos de cambiar el límite superior de la integral R por r.

${\displaystyle g={\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{G\rho 4\pi x^2}{r^2}dx}=\frac{G\rho 4\pi }{r^2}\frac{r^3}{3}=G4\pi \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\frac{r}{3}=GM\frac{r}{R^3}}$

Volvemos a calcular la fuerza que ejerce una capa esférica de radio r<x<R y de espesor dx, sobre la unidad de masa situada en P. Ahora bien, la fuerza en P debida a la masa contenida en los anillos que está por encima de P tiene la dirección del eje Z y sentido positivo, mientras que la fuerza en P debida a los anillos que están por debajo de P tiene la misma dirección pero sentido contrario.

Porción de la capa esférica por encima de P

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P

${\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·\text{sin}\theta ·x·d\theta ·dx}{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(x\cos \theta -r)}^2}·\cos \alpha =G\frac{\rho ·2\pi x^2·\text{sin}\theta ·dx·d\theta }{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(x\cos \theta -r)}^2}\frac{x\cos \theta -r}{\sqrt{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(x\cos \theta -r)}^2}}}$

Integramos respecto de la variable θ, entre los límites 0 y θ_p=arccos(r/x) para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la porción de capa esférica de radio x y de espesor dx que está por encima de P.

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_p}{\int }}\frac{\text{sin}\theta (x\cos \theta -r)d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(-r{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_p}{\int }}\frac{\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}+x{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_p}{\int }}\frac{\cos \theta ·\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}\right)\end{array}}$

La segunda integral es inmediata, integramos la primera por partes. El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\left(\frac{1}{x\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}-\frac{\cos \theta }{r\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}-\frac{\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}{r^{2}x}\right)}_0^{{\theta }_p}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left\{\left(\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}-\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}-\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}\right)-\left(\frac{1}{x(x-r)}-\frac{1}{r(x-r)}-\frac{(x-r)}{r^{2}x}\right)\right\}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(-\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}+\frac{1}{r^2}\right)\end{array}}$

Porción de la capa esférica por debajo de P

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P

${\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·\text{sin}\theta ·x·d\theta ·dx}{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}·\cos \alpha =G\frac{\rho ·2\pi x^2·\text{sin}\theta ·dx·d\theta }{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}\frac{r-x\cos \theta }{\sqrt{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}}}$

Integramos respecto de la variable θ, entre los límites θ_p=arccos(r/x) y π para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y d espesor dx.

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\displaystyle \underset{{\theta }_p}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta (r-x\cos \theta )d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(r{\displaystyle \underset{{\theta }_p}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}-x{\displaystyle \underset{{\theta }_p}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta \cos \theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}\right)\end{array}}$

La primera integral es inmediata, integramos la segunda por partes. El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\left(-\frac{1}{x\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\cos \theta }{r\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}{r^{2}x}\right)}_{{\theta }_p}^{\pi }=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left\{\left(-\frac{1}{x(r+x)}-\frac{1}{r(r+x)}+\frac{(r+x)}{r^{2}x}\right)-\left(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}+\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}+\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}\right)\right\}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(\frac{1}{r^2}-\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}\right)\end{array}}$

Como la fuerza ejercida en P por la distribución de masa contenida en  la parte de al capa semiesférica que está por encima de P y la fuerza ejercida en P por la distribución de masa contenida en por la parte de la capa semiesférica que está por debajo de P tienen el mismo valor pero signos contrarios. La fuerza neta en P debida a la capa semiesférica completa de radio x y de espesor dx es cero.

Por tanto, la fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P por la distribución de masa contenida en la esfera hueca de radio interior r y exterior R es cero.

La fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P a una distancia r del centro de la esfera de radio R, solamente es debida a la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r<R

Si tenemos en cuenta que el vector g apunta hacia el centro de la Tierra

${\displaystyle g=-GM\frac{r}{R^3}}$                r<R

La aceleración de la gravedad g aumenta linealmente de 0 a GM/R², en el interior de una distribución esférica y uniforme de masa M y radio R. En el exterior de dicha distribución, la aceleración de la gravedad disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia al centro de dicha distribución GM/r²

En la figura, se muestra la gráfica del módulo de la aceleración de la gravedad g en función del cociente r/R para el planeta Tierra, G=6.67·10^-11 Nm²/kg², R=6.37·10⁶ m, M=5.98·10²⁴ kg. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale g=9.83 m/s²

Energía potencial

Una partícula de masa m experimenta una fuerza F=mg. La energía potencial E_p(r)  correspondiente a esta fuerza conservativa se calcula del siguiente modo

${\displaystyle \begin{array}{l}F=\frac{-d{E}_p}{dr}\\ {\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}d{E}_p}=-{\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}F(r)·dr}{E}_p(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}F(r)·dr}\end{array}}$

Tomamos como nivel cero de energía potencial E_p(∞)=0

• Energía potencial de la partícula para r>R

Para r>R, la expresión de la fuerza sobre la partícula es F(r)=-GMm/r²

${\displaystyle E_p(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}-\frac{GMm}{r^2}dr=}-\frac{GMm}{r}}$

• Energía potencial de la partícula para r<R

Para r<R, la expresión de la fuerza sobre la partícula es F(r)=-GMmr/R³

${\displaystyle E_p(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}F(r)dr=}{\displaystyle \underset{r}{\overset{R}{\int }}-\frac{GMm}{R^3}r·dr+}{\displaystyle \underset{R}{\overset{\infty }{\int }}-\frac{GMm}{r^2}dr}=-\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{R^3}\frac{r^2}{2}}$

En la figura, se representa la energía potencial E_p(r) en función del cociente (r/R)

El principio de conservación de la energía

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2+E_p(r)=\text{cte}}$

Conocida la posición r₀ inicial y la velocidad inicial v₀ de la partícula, calculamos la velocidad v de la partícula para una determinada posición r.

Ejemplo: Se excava un túnel a través de un diámetro de la Tierra, y se suelta una partícula de masa m en uno de sus extremos. Determinamos la velocidad de la partícula cuando se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra

Se iguala la energía en la posición inicial r=R, v=0, con la energía en la posición considerada r.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{R^3}\frac{r^2}{2}=-\frac{GMm}{R}\\ v^2=\frac{GM}{R}-\frac{GM}{R^3}{r}^2\end{array}}$

Cuando pasa por el centro de la Tierra r=0, v=7913.0 m/s.

Los datos son: masa de la Tierra M=5.98·10²⁴ kg, radio de la Tierra R=6.37·10⁶ m, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Presión en el centro de la Tierra

Consideremos un elemento de volumen (en color rojo) de área dA y de espesor dr. Las fuerzas sobre el elemento de masa dm=ρ·dA·dr son

• La fuerza de atracción, dirigida hacia el centro de la Tierra dm·g(r). Donde g(r) es la aceleración de la gravedad a una distancia r del centro de la Tierra

• La fuerza que ejerce la distribución esférica de masa sobre la cara inferior del elemento de volumen p(r)·dA

• La fuerza que ejerce la distribución esférica de masa sobre la cara superior del elemento de volumen p(r+dr)·dA

En el equilibrio

p(r)·dA-p(r+dr)·dA-g(r)·dm=0

La ecuación fundamental de la hidrostática es

dp=-ρg(r)dr

La presión a una distancia r del centro de la Tierra es

${\displaystyle p_0-p=-{\displaystyle \underset{r}{\overset{R}{\int }}\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}GM\frac{r}{R^3}dr}=-\frac{3G{M}^2}{8\pi R^6}(R^2-r^2)}$

donde p₀=1.013·10⁵ Pa es la presión para r=R es decir, la presión atmosférica

En el centro de la Tierra r=0.

${\displaystyle p=p_{0`}+\frac{3G{M}^2}{8\pi R^4}=1.73·{10}^{11}\text{Pa}}$

Con G=6.67·10^-11 Nm²/kg², R=6.37·10⁶ m, M=5.98·10²⁴ kg

La presión atmosférica es despreciable frente a la presión en el centro de una distribución esférica y uniforme de masa.

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