Trayectorias hiperbólicas

Los planetas describen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está situado el Sol. Las trayectorias elípticas son las más comunes de los cuerpos celestes y así, serán estudias en este capítulo. Las trayectorias hiperbólicas son más raras, aparecerán en la página titulada “Encuentro de una sonda espacial con el planeta Júpiter” y sobre todo, en el estudio del fenómeno de la dispersión en el capítulo Mecánica Cuántica.

Descripción

Supongamos que un asteroide de masa m se aproxima a un planeta de masa M con velocidad v₀ en el infinito siguiendo una dirección (recta de color rojo) que dista b del centro del planeta tal como se muestra en la figura. A medida que el asteroide se acerca al planeta, va cambiando su velocidad tanto en módulo como en dirección (en color azul), hasta que se aleja hacia el infinito siguiendo una dirección simétrica respecto del eje X, que es la asíntota de la otra rama de la hipérbola.

Para analizar el problema supondremos que la masa del asteroide es muy pequeña comparada con la del planeta, m<<M y no tendremos en cuenta la influencia del Sol ni la del resto del los planetas.

La ecuación de la trayectoria es

$r = \frac{d}{1 + ε \cos θ} ε = \sqrt{1 + \frac{2 L^{2} E}{m^{3} G^{2} M^{2}}} d = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$

r es la distancia del centro del planeta al asteroide y θ es el ángulo que hace el radio vector que une el asteroide con el centro del planeta con el eje X, tal como se ha mostrado en la figura.

El parámetro ε denominado excentricidad define el tipo de trayectoria. La trayectoria es una hipérbola si ε>1 es decir, si la energía del asteroide E>0.

La energía del asteroide en el infinito es solamente cinética

$E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

El momento angular es

L=mv₀b

Los parámetros ε y d valen

$ε = \sqrt{1 + \frac{b^{2} v_{0}^{4}}{G^{2} M^{2}}} d = \frac{b^{2} v_{0}^{2}}{G M}$

La distancia más cercana del asteroide al centro del planeta ocurre cuando θ=0

$r_{p} = \frac{d}{1 + ε} = \frac{\frac{b^{2} v_{0}^{2}}{G M}}{1 + \sqrt{1 + \frac{b^{2} v_{0}^{4}}{G^{2} M^{2}}}}$

Esta distancia la podemos calcular aplicando la conservación de la energía y del momento angular en el punto P más cercano al centro del planeta.

$\begin{array}{l} L = m v_{0} b = m v_{p} r_{p} \\ E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{p}^{2} - G \frac{M m}{r_{p}} \end{array}$

En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejamos v_p y r_p

$v_{p} = \frac{G M}{b v_{0}} (1 + \sqrt{1 + \frac{b^{2} v_{0}^{4}}{G^{2} M^{2}}}) r_{p} = \frac{\frac{b^{2} v_{0}^{2}}{G M}}{1 + \sqrt{1 + \frac{b^{2} v_{0}^{4}}{G^{2} M^{2}}}}$

Dependiendo de las magnitudes M, v₀, b y el radio R del planeta el asteroide choca r_p<R o pasa el planeta. Cuando r_p=R el asteroide choca tangencialmente con el planeta.

Asíntotas

El ángulo para el cual r→∞, es

$α = \arccos (- \frac{1}{ε})$

La dirección de la velocidad del asteroide cambia a medida que se acerca al planeta y luego, cuando se aleja. El cambio en la dirección de la velocidad es 2α-180 tal como se aprecia en la figura.

La asíntota de una de las ramas de la hipérbola hace un ángulo α con el eje X y dista b del origen como podemos ver en la figura.

Interseca al eje X en la posición x

$x = \frac{b}{sin (180 - α)} = \frac{b ε}{\sqrt{ε^{2} - 1}}$

Actividades

Se elige un planeta en el control de selección titulado Planeta

Se introduce

La velocidad v₀ del asteroide en el infinito en km/s, en el control de edición titulado Velocidad
El parámetro de impacto en unidades del radio del planeta actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro de impacto

Se pulsa el botón titulado Empieza

La trayectoria del asteroide empieza a dibujarse a una distancia r=10·R, diez veces el radio del planeta. En la parte superior derecha del applet, se nos proporciona los datos del tiempo en horas y la distancia en radios del planeta elegido.

Se sugiere al lector:

Que elija un planeta en la lista, mantenga fija la velocidad v₀, y cambie el parámetro de impacto, distinguiendo las trayectorias que hacen que el asteroide choque con el planeta de aquellas en las que pasa.
Que calcule la excentricidad de la órbita, y la intersección x de la asíntota con el eje horizontal en unidades del radio del planeta.

Datos

Planeta	GM	Radio (km)
Tierra	3.986·10¹⁴	6378
Marte	4.283·10¹³	3397
Júpiter	1.267·10¹⁷	71 492
Saturno	3.793·10¹⁶	60 268

KeplerApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Van Allen J. A., Encounter of an asteriod with a planet. Am. J. Phys. 74 (8) August 2006, pp. 717-719