• Inicio
• Dinámica celeste
• Fuerza central y conservativa

Descripción del movimiento relativo del cuerpo. Solución numérica.

El cuerpo de masa m está sometido a una fuerza atractiva F cuya dirección es radial y apuntando hacia el centro de la Tierra. El módulo de la fuerza viene dado por la ley de la Gravitación Universal

${\displaystyle F=G\frac{Mm}{r^2}r=\sqrt{x^2+y^2}}$

Siendo r la distancia entre el centro del cuerpo y el centro de la Tierra, y x e y su posición respecto del Sistema de Referencia Inercial cuyo origen está situado en el centro de la Tierra.

Las componentes de la fuerza son

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x=-F\cos \theta =-F\frac{x}{r}\\ F_y=-F\text{sin}\theta =-F\frac{y}{r}\end{array}}$

Aplicando la segunda ley de Newton, y expresando la aceleración como derivada segunda de la posición, tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-G\frac{Mm}{r^2}\frac{x}{r}\\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-G\frac{Mm}{r^2}\frac{y}{r}\end{array}}$

Vamos a describir el movimiento desde el punto de vista de un Sistema de Referencia no Inercial que gira respecto del Sistema de Referencia Inercial con velocidad angular ω=v₀/r₀ (la velocidad angular constante de la nave espacial).

Las relaciones entre las coordenadas del cuerpo medidas en el Sistema de Referencia Inercial (x, y) y las medidas en el Sistema de Referencia no Inercial (x’, y’) son

x=x’cos(ωt)-y’sin(ωt)
y=x’sin(ωt)+y’cos(ωt)

Calculamos las derivadas segundas de x y de y respecto del tiempo t,  d²x/dt² y d²y/dt², obtenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales en términos de x’ e y’ y de sus derivadas. Multiplicamos la primera ecuación por cos(ωt) y la segunda por sin(ωt) y las sumamos. Obtenemos la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^{2}x\text{'}}{d{t}^2}-2\omega \frac{dy\text{'}}{dt}-{\omega }^{2}x\text{'}=-G\frac{M}{r^3}x\text{'}}$

Multiplicamos la primera ecuación por -sin(ωt) y la segunda por cos(ωt) y las sumamos. Obtenemos la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^{2}y\text{'}}{d{t}^2}+2\omega \frac{dx\text{'}}{dt}-{\omega }^{2}y\text{'}=-G\frac{M}{r^3}y\text{'}}$

Los dos términos que han aparecido en la parte izquierda de la ecuación diferencial representan las pseudofuerzas por unidad de masa, denominadas de Coriolis y centrífuga.

Dadas las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial), el sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede integrar aplicando un procedimiento numérico.

• Movimiento del cuerpo que está a una cierta distancia de la nave espacial

Las condiciones iniciales son x’=r₀+h, y’=0, dx’/dt=0, dy’/dt=v₀.

Siendo r₀, el radio de la órbita de la nave espacial, y v₀, su velocidad constante, h es la altura por encima o por debajo de la nave a la que se abandona un cuerpo inicialmente sujeto a la nave.

• Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacial con velocidad relativa u, haciendo un ángulo α con la dirección radial

Las condiciones iniciales son x’=r₀, y’=0, dx’/dt=u·cosα, dy’/dt= u·sinα

Como la nave espacial dista r₀ del centro de la Tierra, la posición del cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial tiene por abscisa x’-r₀ y por ordenada y’, véase la figura del apartado "Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacial"

Una solución analítica sencilla

Un astronauta que sale de la nave espacial adquiere su velocidad relativa mediante el impulso de pequeños cohetes situados en su mochila, o mediante la acción de los músculos de sus brazos o sus piernas apoyados en el exterior de la nave. En ambos casos, la velocidad relativa u del astronauta respecto de la nave espacial es muy pequeña comparada con la velocidad v₀ de la nave, y el tiempo que tarda en moverse de un lugar a otro es muy pequeño comparado con el periodo P₀ o tiempo que tarda la nave en completar una órbita.

En la siguiente tabla, se proporcionan algunos datos.

Altura (km)	Velocidad (m/s) v0	Periodo (min) P0
400	7676	92
1000	7356	105
2000	6903	127
3000	6524	150
4000	6202	175
5000	5923	201

Sin embargo, como vamos a comprobar en este apartado, la desviación de la trayectoria seguida por el astronauta u otro cuerpo cualquiera respecto de la rectilínea es muy acusada incluso para pequeños desplazamientos.

De nuevo, consideramos que la nave espacial se mueve en una órbita circular de radio r₀.

En el Sistema de Referencia (S. R.) Inercial cuyo origen es el centro de la Tierra, la posición de la nave espacial viene dada por el vector r₀, de módulo r₀ constante y que gira con velocidad angular constante ω=v₀/r₀. La posición del cuerpo está indicada por el vector r.  

Describimos el movimiento del astronauta en el S. R. no Inercial con origen en la nave y cuyos ejes son la dirección radial y tangencial, respectivamente. Estos ejes que denominaremos X’ e Y’ giran con velocidad angular ω, vistos desde el S. R. Inercial situado en la Tierra, véase el apartado titulado "Descripción del movimiento del cuerpo. Solución numérica"

Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el S. R. no Inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el S. R. Inercial son las siguientes:

${\displaystyle \begin{array}{l}v\text{'}=v-\omega \times r\\ a\text{'}=a-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \omega \times r\end{array}}$

ω=ωk es el vector velocidad angular de rotación cuya dirección (eje Z) es perpendicular al plano de la órbita y cuyo sentido apunta hacia el lector, si la nave espacial gira en sentido antihorario, v’ es la velocidad del astronauta en el S. R. no Inercial. Por razón de simplicidad, restringiremos el movimiento del cuerpo al plano de la órbita de la nave.

Para obtener una expresión analítica sencilla, supondremos que las fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza centrífuga son iguales y opuestas en las proximidades de la órbita circular de radio r₀, en la que se va a mover el cuerpo. Esta es la razón de la sensación de carencia de peso que experimenta un astronauta en el interior de la nave y por la cual, observamos a éstos moverse libremente.

${\displaystyle a-\omega \times \omega \times r=-G\frac{M}{r^3}r-\omega \times \omega \times r=0}$

Supondremos por tanto, que la única aceleración que afecta al cuerpo en el S. R. ligado a la nave es la de Coriolis.

La aceleración a’ del astronauta en el S. R. no Inercial es

a’≈-2ωk×(v_x’i+v_y’j)=2ωv_y’i-2ωv_x’j

En forma de ecuación diferencial, escribiremos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x\text{'}}{d{t}^2}=2\omega \frac{dy\text{'}}{dt}\\ \frac{d^{2}y\text{'}}{d{t}^2}=-2\omega \frac{dx\text{'}}{dt}\end{array}}$

Derivando de nuevo con respecto del tiempo, se desacoplan las dos ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{3}x\text{'}}{d{t}^3}=-4{\omega }^2\frac{dx\text{'}}{dt}\frac{d^2{v}_{x\text{'}}}{d{t}^2}+4{\omega }^2{v}_{x\text{'}}=\text{0 }\\ \frac{d^{3}y\text{'}}{d{t}^3}=-4{\omega }^2\frac{dy\text{'}}{dt}\frac{d^2{v}_{y\text{'}}}{d{t}^2}+4{\omega }^2{v}_{y\text{'}}=\text{0}\end{array}}$

Tenemos dos ecuaciones diferenciales cuya solución es similar a la de un Movimiento Armónico Simple (MAS) pero en la velocidad (no en la posición).

v_x’=Asin(2ωt)+Bcos(2ωt)
v_y’=Csin(2ωt)+Dcos(2ωt)

Los coeficientes A, B, C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 con velocidad inicial v_0x’=u·cosα, v_0y’=u·sinα, y cuyas componentes de la aceleración (derivada de la velocidad) inicial son a_0x’=2ωv_0y’ y a_0y’= -2ωv_0x’

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dx\text{'}}{dt}=v_{0y\text{'}}\text{sin}(2\omega t)+v_{0x\text{'}}\cos (2\omega t)\\ \frac{dy\text{'}}{dt}=-v_{0x\text{'}}\text{sin}(2\omega t)+v_{0y\text{'}}\cos (2\omega t)\end{array}}$

Integramos de nuevo, teniendo en cuenta que el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 en el instante t=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=\frac{1}{2\omega }\left(-v_{0y\text{'}}\text{cos}(2\omega t)+v_{0x\text{'}}\text{sin}(2\omega t)+v_{0y\text{'}}\right)\\ y\text{'}=\frac{1}{2\omega }\left(v_{0x\text{'}}\text{cos}(2\omega t)+v_{0y\text{'}}\text{sin}(2\omega t)-v_{0x\text{'}}\right)\end{array}}$

Casos particulares

1. El cuerpo se lanza en la dirección radial α=0 (a lo largo del eje X’) v_0y’=0

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=\frac{v_{0x\text{'}}}{2\omega }\text{sin}(2\omega t)\\ y\text{'}=\frac{v_{0x\text{'}}}{2\omega }\cos (2\omega t)-\frac{v_{0x}}{2\omega }\end{array}}$

La trayectoria es una circunferencia cuyo centro está en (0, -a) ${\displaystyle x{\text{'}}^2+{(y\text{'}+a)}^2=a^{2}a=\frac{v_{0x\text{'}}}{2\omega }}$

2. El cuerpo se lanza en la dirección tangencial (eje Y’), v_0x’=0

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=-\frac{v_{0y\text{'}}}{2\omega }\text{cos}(2\omega t)+\frac{v_{0y\text{'}}}{2\omega }\\ y\text{'}=\frac{v_{0y\text{'}}}{2\omega }\text{sin}(2\omega t)\end{array}}$

La trayectoria es una circunferencia cuyo centro está en (a, 0) ${\displaystyle {(x\text{'}-a)}^2+y{\text{'}}^2=a^{2}a=\frac{v_{0y\text{'}}}{2\omega }}$

En la figura, se muestra las trayectorias seguidas por un cuerpo que el lanzado en el interior de la nave espacial con una velocidad de 0.3 m/s en varias direcciones. La nave espacial se encuentra describiendo una órbita circular 400 km de altura. La flecha de color rojo señala la dirección y sentido del movimiento de la nave espacial. Cuanto menor es la velocidad del cuerpo, y cuanto mayor es la velocidad angular de la nave espacial más se desvía la trayectoria seguida por el cuerpo de la rectilínea.

 

Actividades

Se introduce

• La altura en km de la nave espacial respecto de la superficie de la Tierra, en el control de edición titulado Altura

• La velocidad u del cuerpo que es lanzado desde la nave espacial, en el control de edición titulado Velocidad relativa

• La dirección α de dicha velocidad, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

• El ángulo α=0, corresponde a un lanzamiento hacia arriba (en la dirección radial o eje X’),

• α=90º, el lanzamiento es hacia delante, en la misma dirección (tangencial o eje Y’)  y sentido que la velocidad de la nave.

• α=180º, corresponde a un lanzamiento hacia abajo, en dirección hacia el centro de la Tierra

• α=270º, el lanzamiento hacia atrás, en la misma dirección (tangencial)  y en  sentido contrario a la velocidad de la nave.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El applet representa una estación espacial de 100 m de longitud. Se lanza un cuerpo desde el centro de la nave en una determinada dirección.

La recta de color rojo, señala la trayectoria que seguiría el cuerpo en una nave espacial situada en una región libre de fuerzas. La curva en color azul señala la trayectoria del cuerpo cuya dirección de la velocidad es desviada por la aceleración de Coriolis.

Podemos medir la desviación que experimenta el astronauta y la influencia de la altura de la nave espacial o de su distancia al centro de la Tierra, r₀, la dirección α de la velocidad inicial y el módulo u de dicha velocidad.

Una solución analítica más completa

La solución dada en el apartado anterior es válida solamente

• Cuando el cuerpo se mueve en las proximidades de la nave espacial

• Cuando el tiempo de viaje es una pequeña fracción del periodo orbital

En este apartado, presentamos una solución que no realiza unas aproximaciones tan drásticas y por tanto, hacen que su validez sea más general.

La fórmula que relaciona la aceleración a’ medidas en el S. R. no inercial con la aceleración a medida en el S. R. inercial es la siguiente:

${\displaystyle a\text{'}=a-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \omega \times r}$

• La aceleración a es la fuerza de atracción por unidad de masa (o intensidad del campo gravitatorio g) que tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra

${\displaystyle a=-G\frac{M}{r^3}r}$

• El término -2ω×v’ es la aceleración de Coriolis

• El término -ω×ω×r  es la aceleración centrífuga

• ω=ωk es el vector velocidad angular de rotación cuya dirección (eje Z) es perpendicular al plano de la órbita y cuyo sentido apunta hacia el lector, si la nave espacial gira en sentido antihorario, ω=v₀/r₀.

• v’ es la velocidad del cuerpo en el S. R. no Inercial

• r₀ es el vector que señala la posición de la nave espacial en el S.R. inercial

• r es la posición del cuerpo en el S. R. Inercial

• r’ es la posición del cuerpo en el S. R. no Inercial

La relación entre los tres vectores es r=r₀+r’,

La aceleración a’ se escribe

${\displaystyle a\text{'}=-\frac{GM}{r^3}(r_0+r\text{'})-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \omega \times (r_0+r\text{'})}$

Si la distancia entre el cuerpo y la nave espacial se mantiene pequeña comparada el radio r₀ de la órbita de la nave espacial, podemos desarrollar en serie, la aceleración de la gravedad y despreciar los términos en (r’/r₀)².

El módulo del vector r=r₀+r’, es

${\displaystyle r^2=r_0^2+r{\text{'}}^2+2r\text{'}·r_0}$

El módulo de la aceleración de la gravedad se aproxima a

${\displaystyle \frac{GM}{r^3}=\frac{GM}{r_0^3}{\left(1+\frac{r{\text{'}}^2}{r_0^2}+2\frac{r\text{'}·r_0}{r_0^2}\right)}^{-3/2}\approx \frac{GM}{r_0^3}{\left(1+2\frac{r\text{'}·r_0}{r_0^2}\right)}^{-3/2}\approx \frac{GM}{r_0^3}\left(1-3\frac{r\text{'}·r_0}{r_0^2}\right)}$

La aceleración a' del cuerpo en el S. R. no Inercial es

${\displaystyle \begin{array}{l}a\text{'}=-\frac{GM}{r^3}(r_0+r\text{'})-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \omega \times (r_0+r\text{'})\\ a\text{'}\approx -\frac{GM}{r_0^3}{r}_0-\frac{GM}{r_0^3}r\text{'}+\frac{GM}{r_0^3}3\frac{r\text{'}·r_0}{r_0^2}{r}_0+\frac{GM}{r_0^3}3\frac{r\text{'}·r_0}{r_0^2}r\text{'}-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \omega \times r_0-\omega \times \omega \times r\text{'}\end{array}}$

En una órbita circular de radio r₀, la fuerza centrífuga y la fuerza de atracción se anulan, de modo que se cancelan el primer y sexto término de la larga expresión de la aceleración a’ y además, se desprecia el cuarto término en r’²/r₀

La compensación de la fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza centrífuga

${\displaystyle -G\frac{M}{r_0^3}{r}_0-\omega \times \omega \times r_0=0}$

producen el sentido de ingravidez que experimentan los astronautas en una nave espacial

La aceleración a’ del cuerpo en el S.R. no Inercial se puede aproximar a

${\displaystyle a\text{'}\approx -{\omega }^{2}r\text{'}+3{\omega }^2\frac{r\text{'}·r_0}{r_0^2}{r}_0-2\omega \times v\text{'}-\omega \times \omega \times r\text{'}}$

Restringiendo el movimiento del cuerpo al plano de la órbita, se calculan los productos vectoriales de los vectores:

r’=x’i+y’j
ω=ωk
v’=v_x’i+v_y’j
r₀=r₀i

Resultando el sistema de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{v}_{x\text{'}}}{dt}=3{\omega }^{2}x\text{'}+2\omega v_{y\text{'}}\\ \frac{d{v}_{y\text{'}}}{dt}=-2\omega v_{x\text{'}}\end{array}}$

Derivando la primera ecuación diferencial, y sustituyendo la segunda en la primera, desacoplamos el sistema de dos ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \frac{d^2{v}_{x\text{'}}}{d{t}^2}+{\omega }^2{v}_{x\text{'}}=0}$

Tenemos una ecuación diferencial cuya solución es similar a la de un Movimiento Armónico Simple (MAS) pero en la velocidad (no en la posición)

v_x’=Asin(ωt)+Bcos(ωt)

Los coeficientes A, B, se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 con velocidad inicial v_0x’=u·cosα, v_0y’=u·sinα y cuyas componentes de la aceleración inicial son a_0x’=2ωv_0y’ y a_0y’=-2ωv_0x’

v_x’=2v_0y’sin(ωt)+v_0x’cos(ωt)

o bien,

${\displaystyle \frac{dx\text{'}}{dt}=2v_{0y\text{'}}\text{sin}(\omega t)+v_{0x\text{'}}\cos (\omega t)}$

Integramos de nuevo, teniendo en cuenta que el cuerpo sale del origen x’=0, en el instante t=0

${\displaystyle x\text{'}=\frac{1}{\omega }\left(-2v_{0y\text{'}}\text{cos}(\omega t)+v_{0x\text{'}}\text{sin}(\omega t)+2v_{0y\text{'}}\right)}$

Integramos la segunda ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{v}_{y\text{'}}}{dt}=-2\omega v_{x\text{'}}\\ \frac{d{v}_{y\text{'}}}{dt}=-2\omega \left(2v_{0y\text{'}}\text{sin}(\omega t)+v_{0x\text{'}}\cos (\omega t)\right)\\ {\displaystyle \underset{v_{0y\text{'}}}{\overset{v_{y\text{'}}}{\int }}d{v}_{y\text{'}}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(-4\omega v_{0y\text{'}}\text{sin}(\omega t)-2\omega v_{0x\text{'}}\cos (\omega t)\right)}dt\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle v_{y\text{'}}=4v_{0y\text{'}}\cos (\omega t)-2v_{0x\text{'}}\text{sin}(\omega t)-3v_{0y\text{'}}}$

Se integra de nuevo, con la condición inicial de que x’=0, en el instante t=0.

${\displaystyle y\text{'}=\frac{4v_{0y\text{'}}}{\omega }\text{sin}(\omega t)+\frac{2v_{0x\text{'}}}{\omega }\cos (\omega t)-3v_{0y\text{'}}t-\frac{2v_{0x\text{'}}}{\omega }}$

Casos particulares

1. El cuerpo se lanza en la dirección radial α=0 (a lo largo del eje X’) v_0y’=0

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=\frac{v_{0x}}{\omega }\text{sin}(\omega t)\\ y\text{'}=\frac{2v_{0x}}{\omega }\cos (\omega t)-\frac{2v_{0x}}{\omega }\end{array}}$

La trayectoria es una elipse ${\displaystyle \frac{x{\text{'}}^2}{a^2}+\frac{{(y-2a)}^2}{{(2a)}^2}=1a=\frac{v_{0x}}{\omega }}$

2. El cuerpo se lanza en la dirección tangencial α=90º (eje Y’), v_0x’=0

${\displaystyle \begin{array}{l}x\text{'}=\frac{2v_{0y\text{'}}}{\omega }\left(\text{-cos}(\omega t)+1\right)\\ y\text{'}=\frac{4v_{0y\text{'}}}{\omega }\text{sin}(\omega t)-3v_{0y\text{'}}t\end{array}}$

En la figura, vemos que la trayectoria en este caso es compleja. A la izquierda, vemos su evolución durante los primeros instantes y a la derecha, durante algo menos de dos periodos de revolución de la nave espacial.

Referencias

Butikov E. I. Relative motion of orbiting bodies. Am. J. Phys. 69 (1) January 2001, pp. 63-67

Freedman R. A., Helmy I., Zimmerman P. D. Simplified navigation for self-propelled astronauts. Am. J. Phys. 43 (5) May 1975, pp. 438-440

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García