Movimiento relativo de dos cuerpos en órbitas alrededor de la Tierra

Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacial

Supongamos que un cuerpo de pequeña masa se lanza desde una nave espacial con velocidad relativa u y haciendo un ángulo α respecto del eje X' (dirección radial).

La velocidad v del cuerpo y su dirección φ respecto al Sistema Inercial de Referencia situado en el centro de la Tierra, se calculan sumando los vectores v=u+v₀ de la figura. Sus componentes son:

v_x=u·cosα
v_y=v₀+u·sinα

El módulo de la velocidad resultante v y su dirección φ son:

$v = \sqrt{u^{2} + v_{0}^{2} + 2 u v_{0} sin α} \tan ϕ = \frac{v_{0} + u sin α}{u \cos α}$

La ecuación de la trayectoria del cuerpo de masa m está determinada por la energía y el momento angular

$\begin{array}{l} L = m r_{0} v sin ϕ \\ E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r_{0}} \end{array}$

La trayectoria es independiente de la masa m del cuerpo y es una elipse si E<0, cuyo semieje mayor está girado un cierto ángulo que se calcula poniendo r=r₀ en la ecuación de la trayectoria y despejando el ángulo θ. Véase las páginas tituladas "Órbitas de la misma energía", "Trayectoria de un proyectil disparado desde una altura h sobre la superficie de la Tierra" y "Choque de un meteorito con la Tierra".

Ejemplo:

Sea r₀=6.37·10⁶+4.0·10⁶, (4000 km de altura sobre la superficie de la Tierra)

Se lanza el cuerpo en dirección radial

La velocidad de la nave espacial como hemos calculado en el apartado anterior es de v₀=6202 m/s y el tiempo que tarda en dar una vuelta es P₀=2πr₀/v₀=10506 s

Si lanzamos el cuerpo con una velocidad u=100 m/s con α=0º.

La velocidad v del cuerpo respecto de la Tierra es

v_x= 100
v_y=6202

La energía

$E = \frac{1}{2} m (100^{2} + 6202^{2}) - \frac{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 5.98 \cdot 10^{24}}{10.37 \cdot 10^{6}} = - 19.23 \cdot 10^{6} \cdot m J$

El semieje mayor de la elipse se puede calcular también mediante la fórmula

$a = \frac{- m G M}{2 E} a = \frac{- m \cdot 6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 5.98 \cdot 10^{24}}{- 2 \cdot 19.23 \cdot 10^{6} \cdot m} = 10.37 \cdot 10^{6} m$

El periodo P es

$P^{2} = \frac{4 π^{2}}{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot 5.98 \cdot 10^{24}} {(10.37 \cdot 10^{6})}^{3} P = 10510 s$

El periodo es un poco mayor que el de la nave espacial

El objeto describe una trayectoria casi elíptica desde el punto de vista del astronauta. Se aleja por detrás de la nave y asciende, luego, desciende y se acerca hasta casi el lugar de partida, al cabo de un periodo de revolución de la nave espacial.

La flecha roja indica la dirección y el sentido de la velocidad de la nave.

Se lanza el cuerpo en la dirección tangencial, en el sentido en el que se mueve la nave espacial

Si lanzamos el cuerpo con una velocidad u=100 m/s haciendo un ángulo de α=90º con el eje X' (dirección radial), en la dirección del movimiento de la nave espacial Y', la velocidad v del cuerpo respecto de la Tierra es

v_x=0
v_y=6302

La energía E=-18.61·10⁶·m J. El semieje mayor de la elipse a=10.72·10⁶ m y el periodo P=11040 s un poco mayor que el de la nave espacial

El objeto visto por un astronauta que viaja en la nave espacial, avanza al principio en la dirección del movimiento de la nave espacial, gira hacia arriba y comienza a alejarse por detrás de la nave a lo largo de la dirección tangencial Y', describiendo una trayectoria compleja. A la izquierda, observamos los primeros instantes del movimiento del cuerpo vistos por el astronauta, y a la derecha, durante algo más de tres revoluciones de la nave espacial.

Actividades

Se introduce

La altura en km de la nave espacial respecto de la superficie de la Tierra, en el control de edición titulado Altura
La velocidad u del cuerpo que es lanzado desde la nave espacial, en el control de edición titulado Velocidad relativa
La dirección α de dicha velocidad, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

El ángulo α=0, corresponde a un lanzamiento hacia arriba (en la dirección radial),

α=90º, el lanzamiento es hacia delante, en la misma dirección (tangencial) y sentido que la velocidad de la nave.

α=180º, corresponde a un lanzamiento hacia abajo, en dirección hacia el centro de la Tierra

α=270º, el lanzamiento hacia atrás, en la misma dirección (tangencial) y en sentido contrario a la velocidad de la nave

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte izquierda del applet, se representa el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la Tierra:

La nave espacial es un punto de color rojo en órbita circular alrededor de la Tierra
El cuerpo es un punto de color azul que describe una trayectoria elíptica

A la derecha del applet, se representa la trayectoria seguida por el cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial.

El eje vertical X' es la dirección radial y nos indica si el cuerpo está por encima o por debajo de la nave espacial.
El eje horizontal es la dirección tangencial a la órbita de la nave espacial y nos indica si el cuerpo está por delante o por detrás de la nave espacial.

Las distancias tanto en el eje horizontal Y' como en el vertical X' están expresadas en km.

Para poder ver adecuadamente la trayectoria, se puede elegir la escala en el control de selección titulado Escala, y a continuación se pulsa el botón titulado Empieza.