Choques bidimensionales

El objetivo del programa interactivo es el de observar los choques bidimensionales de dos partículas en el Sistema de Referencia del Laboratorio (Sistema-L) y en el Sistema de Referencia del Centro de Masas (Sistema–C). En el capítulo Sólido Rígido, estudiaremos una situación mucho más complicada, el choque entre dos discos. Los discos tendrán una masa y un radio, y al chocar interaccionarán de modo que cambiarán su velocidad de traslación y de rotación.

Descripción en el Sistema de Referencia del Laboratorio

Supongamos que chocan dos discos o esferas de masas m₁ y m₂ y radios r₁ y r₂.

Se denomina parámetro de impacto b a la distancia entre la dirección de la velocidad del primer disco u₁ y el centro del segundo disco que suponemos inicialmente en reposo.

b=(r₁+r₂)·sinθ

Las velocidades de los discos antes del choque respecto del sistema de ejes X e Y

u₁=u₁·cosθ·i+u₁·sinθ·j
u₂=0

Las velocidades de discos después del choque respecto del sistema de ejes X e Y

v₁=v₁·cos(θ+ø)·i+v₁·sin(θ+ø)·j
v₂=v₂i

El principio de conservación del momento lineal se escribe

m₁·u₁+m₂·u₂=m₁·v₁+m₂·v₂

o bien,

$\begin{array}{l} m_{1} u_{1} \cos θ = m_{2} v_{2} + m_{1} v_{1} \cos (θ + φ) \\ m_{1} u_{1} \sin θ = m_{1} v_{1} \sin (θ + φ) \end{array}$

El coeficiente de restitución nos mide el cociente cambiado de signo, entre la velocidad relativa de alejamiento a lo largo del eje X y la velocidad relativa de aproximación a lo largo del mismo eje.

$e = \frac{v_{2} - v_{1} \cos (θ + φ)}{u_{1} \cos θ}$

Dado el parámetro de impacto b obtenemos el ángulo θ . De la segunda y tercera ecuación, podemos despejar el ángulo entre las direcciones de las velocidades de los discos después del choque

$\begin{array}{l} \tan (θ + φ) = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} - e m_{2}} \tan θ \\ v_{1} = \frac{u_{1} \sin θ}{\sin (θ + φ)} v_{2} = \frac{m_{1} u_{1} (1 + e) \cos θ}{m_{1} + m_{2}} \end{array}$

Choque elástico

Cuando los discos tienen la misma masa m₁=m₂, y el choque es elástico e=1. El ángulo que forman las direcciones de las velocidades después del choque es θ+ø=90º, y sus módulos son, respectivamente

$\begin{array}{l} v_{1} = u_{1} \sin θ v_{2} = u_{1} \cos θ \\ b = (r_{1} + r_{2}) \sin θ φ = 90 - θ \end{array}$

Descripción en el Sistema de Referencia del Centro de Masas

La velocidad del centro de masas es el cociente entre el momento lineal total P, y la masa del sistema de partículas

$v_{c m} = \frac{P}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} u_{1} \cos θ}{m_{1} + m_{2}} i + \frac{m_{1} u_{1} \sin θ}{m_{1} + m_{2}} j$

Las velocidades iniciales de las partículas en el Sistema-C son

$\begin{array}{l} u_{1 c} = u_{1} - v_{c} = \frac{m_{2} u_{1}}{m_{1} + m_{2}} (\cos θ i + \sin θ j) \\ u_{2 c} = u_{2} - v_{c} = - \frac{m_{1} u_{1}}{m_{1} + m_{2}} (\cos θ i + \sin θ j) \end{array}$

Las velocidades finales del las partículas en el Sistema-L son

$\begin{array}{l} v_{1} = \frac{m_{1} - e m_{2}}{m_{1} + m_{2}} u_{1} \cos θ i + u_{1} \sin θ j \\ v_{2} = \frac{m_{1} u_{1} (1 + e) \cos θ}{m_{1} + m_{2}} i \end{array}$

Las velocidades finales del las partículas en el Sistema-C son

$\begin{array}{l} v_{1 c} = v_{1} - v_{c} = \frac{m_{2} u_{1}}{m_{1} + m_{2}} (- e \cdot \cos θ i + \sin θ j) \\ v_{2 c} = v_{2} - v_{c} = \frac{m_{1} u_{1}}{m_{1} + m_{2}} (e \cos θ i - \sin θ j) \end{array}$

Comprobamos que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

$\begin{array}{l} m_{1} v_{1 c} + m_{2} v_{2 c} = 0 \\ m_{1} u_{1 c} + m_{2} u_{2 c} = 0 \end{array}$

La energía perdida en la colisión Q es la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque bien referidas al Sistema-L o al Sistema-C. Pero es mucho más fácil calcular esta diferencia en el Sistema-C.

$Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 c}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 c}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} u_{1 c}^{2} - \frac{1}{2} m_{2} u_{2 c}^{2} = \frac{1}{2} (e^{2} - 1) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} u_{1}^{2} \cos^{2} θ$

Ejemplos

1.-Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve con 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección inicial.

Los datos son

u₁=0.4·i
u₂=0
v₁=0.2cos40·i+0.2·sin40·j

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

0.2·u₁=0.2·v₁+0.3·v₂

y despajemos la velocidad v₂ de la segunda partícula después del choque

v₂=0.164·i-0.086·j

El módulo de la velocidad es v₂=0.05 m/s, el ángulo que forma con el eje X es θ=-27.5º

La energía que se pierde en la colisión es

$Q = \frac{1}{2} 0.3 v_{2}^{2} + \frac{1}{2} 0.2 v_{1}^{2} - \frac{1}{2} 0.2 u_{1}^{2} = - 0.000684 J$

2.-Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg inicialmente en reposo. Si el choque es elástico y la primera partícula se ha desviado 50º de la dirección original del movimiento, calcular la velocidad de cada partícula después del choque

Los datos son

u₁=2·i
u₂=0
v₁=v₁cos50·i+v₁·sin50·j

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal y despajemos la velocidad v₂ de la segunda partícula después del choque

5·u₁=5·v₁+8·v₂

Si el choque es elástico la energía cinética de las partículas no cambia

$\frac{1}{2} 5 u_{1}^{2} = \frac{1}{2} 5 v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 8 v_{2}^{2}$

En la ecuación de la conservación del momento lineal, despejamos v₂ y calculamos el cuadrado de su módulo

$v_{2} = \frac{(10 - 5 v_{1} \cos 50)}{8} i + \frac{- 5 v_{1} \sin 50}{8} j$

Nos queda la ecuación de segundo grado

$65 v_{1}^{2} - 100 v_{1} \cos 50 - 60 = 0$

La primera solución es

v₁=1.57 m/s

La velocidad de la segunda partícula es

v₂=0.62·i-0.75·j

El módulo de v₂=0.97 m/s y hace un ángulo de -50.7º con el eje X, tal como se ve en la parte izquierda de la figura.

La segunda solución es

v₁=-0.59 m/s

La primera partícula se mueve con velocidad v₁=0.59 m/s haciendo un ángulo de 180+50=230º con el eje X.

La velocidad de la segunda partícula es

v₂=1.49·i-0.28·j

El módulo de v₂=1.51 m/s y hace un ángulo de 10.7º con el eje X, tal como se ve en la parte derecha de la figura.

3.- Datos del choque

u₁=3.5 m/s
u₂=0
Las partículas tienen la misma masa m₁=m₂=1
El parámetro de impacto b=0.8
El choque elástico e=1

El ángulo θ que forma la dirección de la velocidad de la segunda partícula después del choque es

b=(r₁+r₂)·senθ,

0.8=2· senθ, θ=23.6º

Calculamos el ángulo ø que forma la dirección de la velocidad de la primera partícula

$\tan (θ + φ) = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} - e m_{2}} \tan θ θ + φ = 90 º φ = 66 .4º$

Calculamos la velocidad de la primera partícula después del choque

$v_{1} = \frac{u_{1} sen θ}{sen (θ + φ)} v_{1} = 1.4 m/s$

Calculamos la velocidad de la segunda partícula después del choque

$v_{2} = \frac{m_{1} u_{1} (1 + e) \cos θ}{m_{1} + m_{2}} v_{2} = 3.2 m/s$

4.-Datos del choque

u₁=3.5 m/s
u₂=0
m₁=1
m₂=2
El parámetro de impacto b=0.8
Coeficiente de restitución e=0.9

Resultados

0.8=2· senθ, θ=23.6º

θø =121.4º, ø=97.8º

v₁=1.64 m/s, v₂=2.03 m/s

Calculamos la energía perdida en la colisión

$Q = \frac{1}{2} 2 v_{2}^{2} + \frac{1}{2} 1 v_{1}^{2} - \frac{1}{2} 1 u_{1}^{2} = - 0.65 J$

O bien, por la fórmula

$Q = \frac{1}{2} (e^{2} - 1) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} u_{1}^{2} \cos^{2} θ Q = - 0.65 J$

Actividades

Se introduce:

El coeficiente de restitución, en el control de edición titulado Coef. Restitución. Un valor comprendido entre 0 y 1, (el valor de 1 corresponde a un choque elástico),
El parámetro de impacto , en el control de edición titulado Parámetro de impacto. Un número comprendido entre 0 y 2, (se supone que las partículas son dos discos de radio unidad). El valor cero corresponde a los choques frontales.

El cociente entre las masas m₂/m₁en el control de edición titulado Cociente entre masas (M2/M1). Donde m₂ es la masa de la partícula que está inicialmente en reposo, y m₁ la masa de la partícula inicialmente en movimiento.

La velocidad de la primera partícula u₁, en el control de edición titulado Velocidad partícula 1.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el choque en el Sistema-L del laboratorio. Una cruz de color azul representa la posición del centro de masas del sistema formado por las dos partículas interactuantes. A la izquierda del applet, observamos las energías de las partículas en un diagrama en forma de tarta. Cuando el choque es elástico, la energía inicial es igual a la energía final. Cuando el choque es inelástico (coeficiente de restitución menor que la unidad) la energía inicial es mayor que la final.

Para observar el choque en el Sistema-C activamos el botón de radio titulado S.R. C.M. Para volver al Sistema-L activamos el botón de radio titulado S.R. Lab.

Se proporcionan los datos correspondientes a la velocidad de las partículas antes del choque y después del choque en el Sistema–L, así como las direcciones de las partículas después del choque. Se representan también los momentos lineales en forma de vectores antes del choque y después del choque. De este modo, el lector puede comprobar de forma visual la conservación del momento lineal.

La misma información que se proporciona del choque en el Sistema-L también se proporciona en el Sistema-C.

Se recomienda al lector, que resuelva problemas de choques bidimensionales y compruebe su solución con el programa interactivo. Por ejemplo, cuando las masas son iguales, la relación entre masas m₂/m₁ es igual a la unidad, y el choque es elástico (e=1).

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.