Conservación del momento lineal y angular en las colisiones de dos discos (II)

En esta página, estudiamos de nuevo el choque de dos discos. En vez de resolver un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, vamos a deducir las expresiones de

Las velocidades lineales v₁ y v₂ de los discos después del choque
Los ángulos de desviación ø₁ y ø₂ de los discos respecto recta que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.
Las velocidades angulares ω₁ y ω₂ de los discos después del choque
La energía Q perdida en la colisión

En términos de la velocidad u₁ del disco incidente y del ángulo θ₁ que forma la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.

En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m₁ y m₂, y radios r₁ y r₂ respectivamente. El segundo disco está en reposo u₂=0, mientras que el primero lleva una velocidad u₁ antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. Alternativamente, podemos caracterizarla por el ángulo θ₁ que forma la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.

Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad v₁ haciendo un ángulo ø₁ con la parte positiva del eje X y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular ω_1. El segundo disco se mueve con velocidad v₂ haciendo un ángulo ø₂ con el eje X y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular ω₂.

Datos del problema

Las masas de los discos m₁ y m₂ y sus radios r₁ y r₂
La velocidad inicial u₁ del primer disco y su dirección θ₁. El segundo disco está en reposo u₂=0

Incógnitas

La velocidad del centro del primer disco después del choque v₁, su dirección ø₁, la velocidad angular de rotación ω_1.
La velocidad del centro del segundo disco después del choque v₂, su dirección ø₂, la velocidad angular de rotación ω_2.

Parámetro de impacto

Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. La relación entre le parámetro de impacto b y el ángulo θ₁ que forma la dirección de la velocidad u₁ del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, se puede apreciar en la figura.

b=(r₁+r₂)·sinθ₁

Principios de conservación

Tenemos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

$F = \frac{d P}{d t} F = 0 P = cte$

Denominamos eje X a la recta que une los centros de los dos discos cuando entran en contacto en el momento del choque, y eje Y a la dirección perpendicular.

En la figura, se han sustituido los vectores u₁, v₁ y v₂ por sus componentes a lo largo del eje X y del eje Y

A lo largo del eje Y

m₁u₁·sinθ₁=m₁v₁·sinø₁+m₂v₂·sinø₂ (1)

A lo largo del X

m₁u₁·cosθ₁= m₁v₁·cosø₁+m₂v₂·cosø₂ (2)

Constancia del momento angular de cada uno de los discos. El momento angular respecto del punto de contacto de los dos discos antes y después del choque es el mismo

$M_{e x t} = \frac{d L}{d t} M_{e x t} = 0 L = cte$

El momento angular de cada uno de los discos se mantiene constante. Ya que las fuerzas que ejerce un disco sobre el otro actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero.

m₁·r₁·u₁sinθ₁=m₁·r₁·v₁sinø₁+I₁ω₁

0=-m₂·r₂·v₂sinø₂+I₂ω₂

Sabiendo que los momentos de inercia de cada uno de los discos respecto al ejes perpendicular al disco y que pasa por su centro son:

$I_{1} = \frac{1}{2} m_{1} r_{1}^{2} I_{2} = \frac{1}{2} m_{2} r_{2}^{2}$

r₁ω₁=2·u₁sinθ₁-2·v₁sinø₁ (3)
r₂ω₂=2·v₂sinø₂ (4)

Balance energético. Coeficiente de restitución

De la definición de coeficiente de restitución

$e = - \frac{v_{1} \cos φ_{1} - v_{2} \cos φ_{2}}{u_{1} \cos θ_{1}}$

e·u₁cosθ₁= -v₁cosø₁+v₂cosø₂ (5)

Tenemos 6 incógnitas y tan solo 5 ecuaciones, precisamos una ecuación más para resolver el problema. Estudiamos ahora las fuerzas entre los discos cuando entran en contacto

Cuando los discos están en contacto

Supondremos que:

Que las fuerzas normales dependen de las propiedades elásticas de los cuerpos, mientras que las fuerzas tangenciales dependen del rozamiento entre los discos, las cuales dependen del estado de las superficies en contacto.
Que los coeficientes de restitución y de rozamiento son constantes y solamente dependen de la naturaleza de los materiales con los que están hechos los discos.

Se pueden presentar dos casos:

No hay deslizamiento

Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales.

v₁sinø₁-r₁ω₁=v₂sinø₂+r₂ω₂ (6)

Hay deslizamiento

Las fuerzas sobre el disco azul en le punto de contacto son:

La reacción N,
La fuerza de rozamiento F

La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Δt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco a lo largo de la dirección de dicha fuerza..

$- \int_{0}^{Δ t} N \cdot d t = m_{1} v_{1} \cos φ_{1} - m_{1} u_{1} \cos θ_{1}$

De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.

$- \int_{0}^{Δ t} F \cdot d t = m_{1} v_{1} sin φ_{1} - m_{1} u_{1} sin θ_{1}$

De la relación ente ambas fuerzas F=μ ·N, obtenemos

μ ·(v₁cosø₁- u₁cosθ₁)= (v₁sinø₁-u₁sinθ₁) (6')

Las fuerzas sobre el disco rojo en el punto de contacto son:

La reacción N,
La fuerza de rozamiento F.

Las fuerzas en el punto de contacto P son iguales y de sentido contrario

La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Δt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco en la dirección de dicha fuerza.

$\int_{0}^{Δ t} N \cdot d t = m_{2} v_{2} \cos φ_{2}$

De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.

$\int_{0}^{Δ t} F \cdot d t = m_{2} v_{2} sin φ_{2}$

De la relación ente ambas fuerzas F=μ ·N, obtenemos

μ ·v₂cos ø₂= v₂sinø₂

tanø₂ =μ (7')

Resolución de las ecuaciones

De los dos casos estudiados hay cinco ecuaciones comunes

m₁u₁·sinθ₁=m₁v₁·sinø₁+m₂v₂·sinø₂(1)
m₁u₁·cosθ₁= m₁v₁·cosø₁+m₂v₂·cosø₂ (2)

r₁ω₁=2·u₁sinθ₁-2·v₁sinø₁ (3)
r₂ω₂=2·v₂sinø₂ (4)

e·u₁cosθ₁= -v₁cosø₁+v₂cosø₂ (5)

Las ecuaciones específicas

Hay deslizamiento

La ecuación (7') nos proporciona el ángulo ø₂ que hace la velocidad de la segunda partícula v₂ después del choque con la línea que une los centros de las dos partículas en el momento del choque

tanø₂ =μ (7')

La ecuación (7') se puede escribir de forma alternativa

sinø₂ =μ ·cosø₂ (7')

El módulo de la velocidad v₁ y el ángulo ø₁ que hace la dirección de dicha velocidad después del choque con la línea que une los centros de las dos partículas en el momento del choque

Se introduce (7') en la ecuación (1), se despeja v₂cosø₂ de (5) y se sustituye en (1) y (2)

u₁·(m₁sinθ₁-μ ·e·m₂cosθ₁)=m₁v₁·sinø₁+m₂v₁·μ ·cosø₁
u₁·(m₁-m₂ ·e)·cosθ₁= (m₁+m₂)v₁·cosø₁

Llamando M=m₁/m₂, despejamos v₁·cosø₁ de la ecuación (2) y v₁·sinø₁ de la ecuación (1)

$\begin{array}{l} v_{1} sin φ_{1} = (sin θ_{1} - \frac{μ (1 + e)}{M + 1} \cos θ_{1}) u_{1} \\ v_{1} cos φ_{1} = \frac{M - e}{M + 1} u_{1} \cos θ_{1} \\ \tan φ_{1} = \frac{M + 1}{M - e} \tan θ_{1} - \frac{μ (1 + e)}{M - e} \\ v_{1}^{2} = u_{1}^{2} {{sin}^{2} θ_{1} + {(\frac{μ (1 + e)}{M + 1})}^{2} \cos^{2} θ_{1} - 2 \frac{μ (1 + e)}{M + 1} sin θ_{1} \cos θ_{1} + {(\frac{M - e}{M + 1})}^{2} \cos^{2} θ_{1}} = \\ u_{1}^{2} \cos^{2} θ_{1} {\tan^{2} θ_{1} + {(\frac{μ (1 + e)}{M + 1})}^{2} - 2 \frac{μ (1 + e)}{M + 1} \tan θ_{1} + {(\frac{M - e}{M + 1})}^{2}} \end{array}$

Módulo de la velocidad de la segunda partícula v₂ después del choque

Se despeja v₁·cosø₁ en la ecuación (5) y se sustituye en la ecuación (2)
m₁u₁·cosθ₁= m₁v₁·cosø₁+m₂v₂·cosø₂ (2)

$\begin{array}{l} v_{2} \cos φ_{2} = \frac{m_{1} (1 + e)}{(m_{1} + m_{2})} u_{1} \cos θ_{1} v_{2} sin φ_{2} = μ v_{2} \cos φ_{2} = \frac{m_{1} (1 + e) μ}{(m_{1} + m_{2})} u_{1} \cos θ_{1} \\ v_{2} = \frac{M (1 + e)}{(M + 1)} \sqrt{1 + μ^{2}} u_{1} \cos θ_{1} \end{array}$

Velocidades angulares de rotación de los discos ω₁ y ω₂

Despejamos v₁·sinø₁ de la ecuación (1) y la sustituimos en la (3)

r₁ω₁=2·u₁sinθ₁-2·v₁sinø₁=2(m₂/m₁)v₂·sinø₂ (3)

$r_{1} ω_{1} = \frac{2 μ (1 + e)}{M + 1} u_{1} \cos θ_{1}$
r₂ω₂=2·v₂sinø₂ (4)

$r_{2} ω_{2} = M \frac{2 μ (1 + e)}{M + 1} u_{1} \cos θ_{1}$

Comprobación

No hemos empleado la ecuación (6'), pero comprobaremos que se cumple

μ ·(v₁cosø₁- u₁cosθ₁)= v₁sinø₁-u₁sinθ₁ (6')

Introducimos las expresiones de v₁cosø₁ y de v₁senø₁ previamente deducidas y comprobaremos que se cumple la igualdad.

Balance energético

Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque

La energía cinética de los discos después del choque, es la suma de dos términos: la energía cinética de traslación del c.m. del disco y la energía cinética de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por el c.m.

$Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_{1} r_{1}^{2}) ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_{2} r_{2}^{2}) ω_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$

Sustituimos las velocidades después del choque v₁, v₂, ω₁ y ω₂ en función de la velocidad del primer disco antes del choque u₁ y del ángulo θ₁.

$Q = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} \cos^{2} θ_{1} {\begin{cases} {(\frac{M - e}{M + 1})}^{2} + \tan^{2} θ + {(\frac{μ (1 + e)}{M + 1})}^{2} - 2 \frac{μ (1 + e)}{M + 1} \tan θ + \\ \frac{M {(1 + e)}^{2}}{{(M + 1)}^{2}} (1 + μ^{2}) + 2 {(\frac{μ (1 + e)}{M + 1})}^{2} + 2 M {(\frac{μ (1 + e)}{M + 1})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} θ_{1}} \end{cases}}$

Utilizando las relaciones sin2θ₁=2sinθ₁·cosθ₁ y 1+tan²θ₁=1/cos²θ₁ y después de varias operaciones algebraicas se llega al siguiente resultado

$Q = - \frac{μ (1 + e) sin (2 θ_{1}) + (1 - e^{2} - 3 μ^{2} {(1 + e)}^{2}) \cos^{2} θ_{1}}{M + 1} \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$

No hay deslizamiento

Módulo de la velocidad de la segunda partícula v₂ después del choque y su dirección ø₂

Se sustituye r₁ω₁y r₂ω₂ de las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (6) específica para este caso particular

r₁ω₁=2·u₁sinθ₁-2·v₁sinø₁ (3)
r₂ω₂=2·v₂sinø₂ (4)
v₁sinø₁-r₁ ω₁=v₂sinø₂+r₂ ω₂ (6)

Introducimos las expresiones de r₁ω₁ y de r₂ω₂ en la ecuación (6)

3v₁sinø₁-2·u₁sinθ₁=3v₂sinø₂

Despejamos v₁sinø₁ de esta ecuación y la sustituimos en la ecuación (1)

m₁u₁·sinθ₁=m₁v₁·sinø₁+m₂v₂·sinø₂ (1)

(m₁/3)u₁·sinθ₁=(m₁+m₂)v₂·sinø₂

$v_{2} sin φ_{2} = \frac{M}{3 (M + 1)} u_{1} sin θ_{1}$

Despejamos v₁cosø₁ de la ecuación (5) y la sustituimos en la ecuación (2)

m₁u₁·cosθ₁= m₁v₁·cosø₁+m₂v₂·cosø₂ (2)
e·u₁cosθ₁= -v₁cosø₁+v₂cosø₂ (5)

$v_{2} cos φ_{2} = \frac{(1 + e) M}{(M + 1)} u_{1} \cos θ_{1}$

Estas dos ecuaciones nos dan la velocidad de la segunda partícula después del choque v₂ y su dirección ø₂

$\tan φ_{2} = \frac{1}{3 (1 + e)} \tan θ_{1} v_{2} = \frac{M}{M + 1} u_{1} \sqrt{\frac{1}{9} {sin}^{2} θ_{1} + {(1 + e)}^{2} \cos^{2} θ_{1}}$

Módulo de la velocidad de la primer disco v₁ después del choque y su dirección ø₁

En la ecuación (1) sustituimos v₂·sinø₂ y despejamos v₁·senø₁

$v_{1} sin φ_{1} = \frac{3 M + 2}{3 (M + 1)} u_{1} sin θ_{1}$

En la ecuación (2) sustituimos v₂·cosø₂ y despejamos v₁·cosø₁

$v_{1} \cos φ_{1} = - \frac{M - e}{M + 1} u_{1} \cos θ_{1}$

Estas dos ecuaciones nos dan la velocidad de la primera partícula después del choque v₁ y su dirección ø₁

$\tan φ_{1} = \frac{3 M + 2}{3 (M - e)} \tan θ_{1} v_{1} = \frac{1}{M + 1} u_{1} \sqrt{\frac{{(3 M + 2)}^{2}}{9} {sin}^{2} θ_{1} + {(M - e)}^{2} \cos^{2} θ_{1}}$

Velocidades angulares de rotación de los discos ω₁ y ω₂

En las ecuaciones (3) y (4) sustituimos v₁sinø₁ y v₂sinø₂por las expresiones calculadas previamente

$r_{1} ω_{1} = \frac{2}{3 (M + 1)} u_{1} sin θ_{1} r_{2} ω_{2} = \frac{2 M}{3 (M + 1)} u_{1} sin θ_{1}$

Balance energético

Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque

Sustituimos las velocidades después del choque v₁, v₂, ω₁ y ω₂ en función de la velocidad del primer disco antes del choque u₁ y de su dirección θ₁.

$Q = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} {\begin{cases} {(\frac{3 M + 2}{3 (M + 1)})}^{2} {sin}^{2} θ_{1} + {(\frac{M - e}{M + 1})}^{2} \cos^{2} θ_{1} + \frac{1}{M} {(\frac{M}{3 (M + 1)})}^{2} {sin}^{2} θ_{1} + \frac{1}{M} {(\frac{M (1 + e)}{M + 1})}^{2} \cos^{2} θ_{1} \\ + \frac{1}{2} {(\frac{2}{3 (M + 1)})}^{2} {sin}^{2} θ_{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{M} {(\frac{2 M}{3 (M + 1)})}^{2} {sin}^{2} θ - 1 \end{cases}}$

Haciendo algunas operaciones llegamos al resultado

$Q = - \frac{1 - e^{2} + (e^{2} - \frac{2}{3}) {sin}^{2} θ_{1}}{M + 1} \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$

Caso particular: choques frontales

Cuando el parámetro de impacto b=0, o θ₁=0, el choque se denomina frontal

Los ángulos que forman las velocidades con la recta que une los centros de los discos son ø₁=0 y ø₂=0.
Las velocidades angulares de rotación de los discos son ω₁=0 y ω₂=0
Las velocidades v₁ y v₂ de los centros de los discos después del choque son:

$v_{1} = \frac{(M - e)}{M + 1} u_{1} v_{2} = \frac{M (1 + e)}{M + 1} u_{1}$

que son las ecuaciones que se han obtenido para los choques frontales cuando la segunda partícula está en reposo u₂=0 antes del choque y se define M=m₁/m₂.

La energía perdida en el choque es

Energía perdida en el choque es

$Q = - \frac{(1 - e^{2})}{M + 1} \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$

es decir, la fracción (1-e²)/(M+1) de la energía cinética de del disco incidente.

Ángulo crítico

Comparemos los valores de los ángulos de los discos después del choque ø₁ y ø₂en los dos casos estudiados

Hay deslizamiento

tanø₂ =μ

$\tan φ_{1} = \frac{M + 1}{M - e} \tan θ_{1} - \frac{μ (1 + e)}{M - e}$

No hay deslizamiento

$\tan φ_{1} = \frac{3 M + 2}{3 (M - e)} \tan θ_{1} \tan φ_{2} = \frac{1}{3 (1 + e)} \tan θ_{1}$

Comprobamos que para el ángulo crítico θ_c

tanθ_c=3(1+e)μ

Las expresiones de los ángulos ø₁y ø₂ coinciden

$\tan φ_{1} = \frac{3 M + 2}{(M - e)} (1 + e)$

tanø₂ =μ

Si θ₁<θ_c utilizamos las fórmulas deducidas en el apartado no hay deslizamiento

Si θ₁>θ_c utilizamos las fórmulas deducidas en el apartado hay deslizamiento

Medida de los ángulos en el laboratorio

En el laboratorio se mide el parámetro de impacto b, que está relacionado con el ángulo θ₁, que forma la dirección del la velocidad u₁ del disco incidente con la línea que une los centros de los dos discos.

b=(r₁+r₂)·sinθ₁

y los ángulos φ₁y φ₂ que forman las velocidades v₁ y v₂ de los discos después del choque con la dirección de la velocidad del primer disco u₁. Estos ángulos, como puede fácilmente deducirse de la figura son

φ₁=ø₁ -θ₁φ₂=θ₁-ø₂

Ejemplos

Ejemplo 1:

Datos relativos a los discos

Cociente M=m₁/m₂=1 entre las masa de los discos,
Radios de los discos r₂=1 yr₁=1
Discos ambos de acero, e=0.94 y μ =0.10

Antes del choque

Velocidad inicial u₁=3.5 del primer disco
Parámetro de impacto b=1.5.

Dado el parámetro de impacto calculamos el ángulo θ₁

1.5=(1+1)·sinθ₁ θ₁ =48.6º

El ángulo crítico es

tanθ_c=3(1+0.94)0.1 θ_c=30.2º

Estamos en el caso hay deslizamiento

Después del choque

Módulo de la velocidad de la primer disco v₁ después del choque y su dirección ø₁

$\begin{array}{l} v_{1} sin φ_{1} = (sin48 .6 - \frac{0.1 (1 + 0.94)}{1 + 1} \cos 48.6) 3.5 = 2.400 \\ v_{1} cos φ_{1} = \frac{1 - 0.94}{1 + 1} 3.5 \cos 48.6 = 0.069 \end{array}$

v₁=2.40, ø₁=88.3º

Ángulo medido en el laboratorio φ₁=88.3-48.6=39.7º (por encima de la horizontal)

Módulo de la velocidad de la segundo disco v₂ después del choque y su dirección ø₂

tanø₂ =0.1 ø₂ =5.7º

$v_{2} = \frac{1 (1 + 0.94)}{(1 + 1)} \sqrt{1 + {0.1}^{2}} 3.5 \cos 48.6 v_{2} = 2.26$

Ángulo medido en el laboratorio φ₂=48.6-5.7=42.9º (por debajo de la horizontal)

Velocidades angulares de rotación de los discos ω₁ y ω₂

$\begin{array}{l} r_{1} ω_{1} = \frac{2 \cdot 0.1 (1 + 0.94)}{1 + 1} 3.5 \cos 48.6 r_{1} ω_{1} = 0.45 \\ r_{2} ω_{2} = 0.45 \end{array}$

(Las velocidades angulares son positivas en el sentido de las agujas del reloj)

Energía perdida en la colisión

$Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_{1} r_{1}^{2}) ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_{2} r_{2}^{2}) ω_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$

Q=-0.594

Mediante la fórmula

$Q = - \frac{0.1 (1 + 0.94) sin (2 \cdot 48.6) + (1 - {0.94}^{2} - 3 \cdot {0.1}^{2} {(1 + 0.94)}^{2}) \cos^{2} 48.6}{1 + 1} \frac{1}{2} 1 \cdot {3.5}^{2} = - 0.594$

Ejemplo 2º.

Datos relativos a los discos

Masas de los discos m₁=0.5, m₂=1
Radios de los discos r₁=2, r₂=1
Discos ambos de acero, e=0.94 y μ =0.10

Antes del choque

Velocidad inicial u₁=3.5 del primer disco
Parámetro de impacto b=0.4.

0.4=(2+1)·sinθ₁ θ₁ =7.7º

El ángulo crítico es

tanθ_c=3(1+0.94)0.1 θ_c=30.2º

Estamos en el caso no hay deslizamiento

Después del choque

Módulo de la velocidad de la segundo disco v₂ después del choque y su dirección ø₂

$\begin{array}{l} v_{2} sin φ_{2} = \frac{0.5}{3 (0.5 + 1)} 3 .5·sin7 .7 = 0.052 \\ v_{2} cos φ_{2} = \frac{(1 + 0.94) 0.5}{0.5 + 1} 3 .5·cos7 .7 = 2 .243 \end{array}$

v₂=2.244 ø₂ =1.3

Ángulo medido en el laboratorio φ₂=7.7-1.3=6.4º (por debajo de la horizontal)

Módulo de la velocidad de la primer disco v₁ después del choque y su dirección ø₁

$\begin{array}{l} v_{1} sin φ_{1} = \frac{3 \cdot 0.5 + 2}{3 (0.5 + 1)} 3 .5·sin7 .7 = 0 .363 \\ v_{1} cos φ_{1} = \frac{0.5 - 0.94}{(0.5 + 1)} 3 .5·cos7 .7 = -1 .017 \end{array}$

v₁=1.080 ø₁ =160.4º

Ángulo medido en el laboratorio φ₁=160.4-7.7=152.7º (por encima de la horizontal)

Velocidades angulares de rotación de los discos ω₁ y ω₂

$\begin{array}{l} r_{1} ω_{1} = \frac{2}{3 (0.5 + 1)} 3 .5·sin7 .7 = 0 .207 \\ r_{2} ω_{2} = \frac{2 \cdot 0.5}{3 (0.5 + 1)} 3 .5·sin7 .7 = 0 .104 \end{array}$

(Las velocidades angulares son positivas en el sentido de las agujas del reloj)

Energía perdida en la colisión

$Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_{1} r_{1}^{2}) ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_{2} r_{2}^{2}) ω_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2}$

Q=-0.246

Mediante la fórmula

$Q = - \frac{1 - {0.94}^{2} + ({0.94}^{2} - \frac{2}{3}) {sin}^{2} 7.7}{0.5 + 1} \frac{1}{2} 0.5 \cdot {3.5}^{2} = - 0.246$

Actividades

En la tabla tenemos los datos correspondientes al coeficiente de rozamiento μ y al coeficiente de restitución e.

Materiales	Coef. restitución e	Coef. de rozamiento μ
Acero-acero	0.94	0.10
Aluminio-aluminio	0.61	0.12
Latón-latón	0.57	0.11
Acero-latón	0.65	0.10
Aluminio-latón	0.55	0.10
Acero-aluminio	0.62	0.09

Fuente: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) págs.52-56.

Se introduce

La masa m₁ del primer disco, en el control de edición titulado Masa m₁
El radio r₁ del primer disco, en el control de edición titulado Radio r₁
Materiales de los que están hechos los discos, en el control de selección titulado Materiales de los discos
Velocidad inicial u₁ del primer disco, en el control de selección titulado Velocidad inicial
El segundo disco está inicialmente en reposo u₂=0 en el origen su masa m₂=1 y su radio r₂=1
Parámetro de impacto, b, un número comprendido entre 0 y (r₁+r₂),en el control de edición titulado P. impacto. El valor 0 es para los choques frontales.
La velocidad angular inicial de los discos es nula ω₁=ω₂=0

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Observamos el movimiento de los discos antes y después del choque en el Sistema de Referencia del Laboratorio

El programa interactivo calcula:

Las velocidades lineales v₁ y v₂ de los discos después del choque
Los ángulos de desviación φ₁ y φ₂ de los discos respecto de la dirección del disco incidente.
Las velocidades angulares ω₁ y ω₂ de los discos después del choque
La energía Q perdida en la colisión

Con los datos introducidos y calculados por el programa, verificaremos los principios de conservación del momento lineal y angular tal como se ha efectuado en los ejemplos.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Doménech A, Doménech M.T. Analysis of two-disc collisions. Eur. J. Phys. 14 (1993) pp. 177-183.