• Inicio
• Dinámica
• Trabajo y energía
• Equilibrio y estabilidad

Histéresis en un sistema electromecánico

Se produce el fenómeno de la histéresis, cuando el sistema puede existir en varios estados estables para valores dados de las variables externas (o parámetros de control), y que éstos se pueden alcanzar por una variación lenta de los parámetros.  Un ejemplo típico es la magnetización de un material ferromagnético por un campo magnético externo.

El comportamiento del sistema físico que aquí se estudia está descrito por la separación x entre los centros de las cargas. El parámetro que cambia es la carga q de cada una de las esferas. En ciertos casos, cuando se alcanzan valores críticos de la carga q, el comportamiento del sistema experimenta un salto. Por otra parte, el comportamiento del sistema no es el mismo cuando se incrementa la carga que cuando se disminuye.

En este apartado, se describe una situación más realista que se produce cuando las cargas no son puntuales sino que tienen un tamaño finito. Para evitar los problemas derivados de la polarización de la carga de una esfera metálica en el campo de la otra, o de la descarga de las esferas en el momento en que entran en contacto. Supondremos que  las cargas puntuales están el centro de dos esferas aislantes rígidas de radio r.

La diferencia por tanto, entre las cargas puntales y las esferas de radio r estriba en que la separación mínima entre cargas puntuales es cero, mientras que la separación mínima entre esferas rígidas de radio r es 2r.

Como hemos visto en el apartado Estabilidad.

• Para cada carga q comprendida entre q=0 y q=q_c, existen dos posiciones de equilibrio, una estable y otra inestable.

• Cuando q=q_c las dos posiciones de equilibrio coinciden en un punto de inflexión.

• Cuando q>q_c no hay posiciones de equilibrio para x>0

En la figura, vemos una representación tridimensional de la superficie E_p(q, x) en función de la carga q y de su separación x.

 En la figura inferior, se muestra:

• En color azul, las posiciones de equilibrio estable x, para las cargas q comprendidas entre 0 y q_c

• En color rojo, las posiciones de equilibrio inestable x, para las cargas q comprendidas entre 0 y q_c

Vamos a incrementar la carga de las esferas desde q=0 y a observar la separación x entre las mismas. El comportamiento del sistema sigue el camino ABCDEA, con dos cambios bruscos BC y DE. Como vemos, el camino de ida AB cuando la carga se incrementa de 0 a q_c no coincide con el de vuelta BCDEA cuando la carga disminuye de q_c a 0. A continuación, se explica las distintas etapas:

• Etapa AB

Cuando la carga q se incrementa de 0 a q_c la separación va disminuyendo desde x₀ a x_c dados por las expresiones.

${\displaystyle q_c=\frac{2x_0}{3}\sqrt{\frac{2\pi x_0{\epsilon }_{0}mg}{3d}}{x}_c=\sqrt[3]{\frac{q_c^{2}d}{\pi {\epsilon }_{0}mg}}}$

El comportamiento del sistema viene descrito por la curva de color azul AB de la figura, que corresponde a las posiciones de equilibrio estable.

• Etapa BC

Cuando la carga q supera el valor crítico q_c se produce un cambio brusco BC, la separación entre las cargas puntuales sería cero, pero si son esferas rígidas de radio r la separación será x=2r.

• Etapa CD

Si se disminuye la carga q, la separación de las esferas seguirá siendo x=2r ya que la energía potencial de esta configuración es la mínima posible, tal como se muestra en la figura

o es inferior al máximo adyacente, tal como se muestra más abajo. Como vemos, hay un máximo interpuesto que impide que la esfera alcance una posición de menor energía, en el mínimo de la parte derecha de la curva.

El comportamiento del sistema está descrito por la recta DE

El punto D corresponde a la carga q_l para la cual la energía potencial alcanza un valor máximo cuando la separación entre cargas es x=2r. Ponemos x=2r en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio y despejamos q

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^3-x_0{x}^2+\frac{d{q}^2}{2\pi {\epsilon }_{0}mg}=0\\ q_l=r\sqrt{\frac{4\pi {\epsilon }_{0}mg}{d}(2x_0-4r)}\end{array}}$

• Etapa DE

Si q<q_l se produce otro cambio brusco DE, la separación aumenta al valor correspondiente a la posición de equilibrio estable de q_l.

Como una de las raíces de la ecuación cúbica es 2r buscamos las otras dos raíces a y b

${\displaystyle \begin{array}{l}(x-2r)(x-a)(x-b)=x^3-x_0{x}^2+\frac{d{q}_l^2}{2\pi {\epsilon }_{0}mg}\\ x^3-(a+b+2r)x^2+(ab+2ra+2rb)x-2rab=x^3-x_0{x}^2+2r^2(2x_0-4r)\\ a+b=x_0-2r\\ ab=-2r(x_0-2r)\end{array}}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b

b²-(x₀-2r)b-2r(x₀-2r)=0

La raíz positiva la llamamos x_l

${\displaystyle x_l=\frac{x_0-2r+\sqrt{(x_0-2r)(x_0+6r)}}{2}}$

• Etapa EA

Una vez que el sistema alcanza el punto E, retorna al punto de partida A a través de la porción de curva azul EA que corresponde a posiciones de equilibrio estable.

Ejemplo:

• Masa de las partículas m=0.001 kg

• Carga de las partículas q=13·10^-9 C

• Longitud del hilo d=1.0 m

• Separación entre las partículas no cargadas x₀=0.2 m

• Radio de las esferas r=2 cm =0.02 m

El primer cambio brusco ocurre en el punto B, que corresponde a la carga crítica  q_c y a la separación crítica x_c calculada en el apartado Aproximaciones

q_c=25.4·10-9 C, x_c=13.3 cm

El segundo cambio brusco ocurre desde el punto D al punto E

El punto D corresponde a una separación 2r=0.04 m, y la carga q_l de las esferas es

${\displaystyle q_l=r\sqrt{\frac{4\pi {\epsilon }_{0}mg}{d}(2x_0-4r)}=11.8·{10}^{-9}\text{C}}$

El punto E corresponde a la posición de equilibrio estable de las esferas cargadas con una carga q_l

${\displaystyle x_l=\frac{x_0-2r+\sqrt{(x_0-2r)(x_0+6r)}}{2}=19.3\text{cm}}$

Actividades

Se ha fijado

• La masa de las partículas, m=0.001 kg

• La longitud del hilo, d=1.0 m

• La separación entre las partículas no cargadas x₀=0.2 m

Se introduce

• El radio r de las esferas en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.

• Se activa la casilla titulada Histéresis

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, cuando la carga de aumenta y cuando disminuye. Los dos cambios bruscos de comportamiento que ocurren cuando q=q_c en el camino de ida y cuando x=2r en el camino de vuelta.

• La curva de color azul, corresponde a las posiciones x de equilibrio estable para cualquier carga comprendida entre 0 y q_c.

• La curva de color roja, corresponde a las posiciones x de equilibrio inestable para cualquier carga comprendida entre 0 y q_c.

Activamos la casilla titulada Potencial

Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, en relación a la curva de energía potencial para cada carga q. El sistema adopta la configuración de energía potencial mínima, compatible con que la separación mínima posible es 2r.

• La carga q se da en unidades de 10^-9 C

• La energía potencial E_p(x) en unidades 10^-6 J

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Partensky P. D., Partensky M. B..Hanging by a thread. The Physics Teacher, 44 February 2006, pp. 88-91

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García