Equilibrio y estabilidad de un sistema mecánico (III)

En esta página, vamos a estudiar el denominado modelo no simétrico de Alben que consiste en un tubo hueco de sección S, cerrado por ambos extremos, lleno con un gas ideal y que se dobla en forma de arco de radio r y ángulo 1+α radianes tal como se muestra en la figura.

Un émbolo de masa m que se puede desplazar a lo largo del tubo sin rozamiento, divide el gas en dos recintos. Cuando se coloca el émbolo en la posición θ=0, la presión p₀ del gas es la misma en ambos recintos. Como el volumen de gas en la parte derecha es V₀=S·r y el volumen de gas en la parte izquierda es αV₀, el número de moléculas de gas que hay en la parte derecha es N y en la parte izquierda es αN, donde N es el número de Avogadro.

Este modelo nos va a permitir estudiar los estados de equilibrio estables e inestables, pero también los denominados estados metaestables, es decir, estados de equilibrio en los que el sistema puede permanecer un determinado tiempo, pero una perturbación puede llevarlos a un estado de equilibrio estable de más baja energía.

Energía potencial

Vamos a determinar la posición de equilibrio θ del émbolo a una determinada temperatura T del gas.

Como vemos en la figura, las fuerzas tangenciales que actúan sobre el émbolo son:

La fuerza debida a la presión que ejerce el gas contenido en el recinto izquierdo, p_iS
La fuerza debida a la presión que ejerce el gas contenido en el recinto derecho, p_dS
La componente del peso del émbolo, mgsinθ

La fuerza tangencial resultante es

F= mgsinθ+p_iS- p_dS

Aplicamos la ecuación de estado de los gases ideales, determinamos las presiones del gas p_i y p_d en ambos recintos.

p_i·V_i=αRT
p_d·V_d=RT

o bien

p_i·(S·(α+θ)·r)=αRT
p_d·(S·(1-θ)·r)=RT

Expresamos la fuerza en términos de la posición θ del émbolo o ángulo que forma con la dirección vertical.

$F = m g \sin θ + \frac{R T}{r} (\frac{α}{α + θ} - \frac{1}{1 - θ})$

La fuerza F deriva del potencial E_p(θ)

$\begin{array}{l} \int_{0}^{θ} F \cdot d θ = E_{p} (0) - E_{p} (θ) \\ E_{p} (0) - E_{p} (θ) = {- m g \cos θ + \frac{R T}{r} (α \ln (α + θ) + \ln (1 - θ)) |}_{0}^{θ} = \\ m g (1 - \cos θ) + \frac{R T}{r} (α \ln (1 + \frac{θ}{α}) + \ln (1 - θ)) \end{array}$

Situando el nivel cero de energía potencial en θ=0, de modo que E_p(0)=0

$E_{p} (θ) = - m g (1 - \cos θ) - \frac{R T}{r} (α \ln (1 + \frac{θ}{α}) + \ln (1 - θ))$

Modelo simétrico

El modelo de Alben se caracteriza por que es simétrico α=1 rad

Para una temperatura T inferior a un valor crítico T_c el émbolo forma un ángulo θ con la vertical. Dicho ángulo se calcula resolviendo la ecuación trascendente

$F = m g \sin θ - \frac{R T}{r} \frac{2 θ}{1 - θ^{2}} = 0$

que corresponde al ángulo para el cual la energía potencial presenta un mínimo.

Como vemos en la figura, θ=0 es una posición de equilibrio inestable

A medida que se incrementa la temperatura, la posición de equilibro estable se va acercando a θ=0. Para la temperatura crítica T_cambas coinciden, θ=0 es un punto de inflexión.

Para calcular T_c, igualamos la derivada segunda de la energía potencial a cero cuando θ=0.

$\frac{d^{2} E_{p} (θ)}{d θ^{2}} = - m g cos θ + \frac{R T}{r} \frac{2 + 2 θ^{2}}{{(1 - θ^{2})}^{2}}$

Para $θ = 0 \frac{d^{2} E_{p} (θ)}{d θ^{2}} = 0$ resulta en

$T_{c} = \frac{m g r}{2 R}$

Modelo no simétrico

Para estudiar el modelo no simétrico, definimos la temperatura t adimensional como el cociente t=T/T_c. La energía potencial y la fuerza se expresan

$\begin{array}{l} E_{p} (θ) = \frac{m g}{2} {- 2 (1 - \cos θ) - t (α \ln (1 + \frac{θ}{α}) + \ln (1 - θ))} \\ F = \frac{m g}{2} {2sin θ + t (\frac{α}{α + θ} - \frac{1}{1 - θ})} \end{array}$

En primer lugar, el origen θ es una posición de equilibrio F=0, que puede ser estable o inestable. Por debajo de una cierta temperatura t_ces inestable y por encima es estable, lo mismo que ocurre en el modelo simétrico.

Calculamos la derivada segunda de la energía potencial

$\frac{d^{2} E_{p} (θ)}{d θ^{2}} = \frac{m g}{2} {-2cos θ + t (\frac{α}{{(α + θ)}^{2}} + \frac{1}{{(1 - θ)}^{2}})}$

En la posición θ=0, la derivada segunda

$\frac{d^{2} E_{p} (θ)}{d θ^{2}} = \frac{m g}{2} {-2 + t (\frac{1}{α} + 1)}$

La posición θ=0 pasa de inestable a estable a la temperatura t_c para la cual la derivada segunda se hace cero

$t_{c} = \frac{2}{1 + 1 / α}$

Fijado el valor del parámetro α, se va cambiando el valor de la temperatura t y se anota la posición de equilibrio estable para cada temperatura. Esta posición se calcula resolviendo la ecuación trascendente con F=0. Se representa:

En el eje vertical, el ángulo θ en grados.
En el eje horizontal, la temperatura reducida t.

A la temperatura t₁, se produce un cambio brusco en la posición del émbolo desde θ₁ a 0. Por encima de esta temperatura el émbolo alcanza la posición de equilibrio estable θ=0. La temperatura t₁ y la posición del émbolo θ₁ se obtienen resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Es una posición de equilibrio, F=0
No es estable ni inestable, es un punto de inflexión, $\frac{d^{2} E_{p} (θ)}{d θ^{2}} = 0$

$\begin{array}{l} 2sin θ + t (\frac{α}{α + θ} - \frac{1}{1 - θ}) = 0 \\ -2cos θ + t (\frac{α}{{(α + θ)}^{2}} + \frac{1}{{(1 - θ)}^{2}}) = 0 \end{array}$

Existen también equilibrios estables a la izquierda del origen, tal como se muestra en la figura

Estas posiciones de equilibrio se denominan metaestables. Si nos fijamos en la figura de la derecha, una pequeña perturbación llevará al sistema desde el estado M (un ángulo de equilibrio negativo) al estado E (un ángulo de equilibrio positivo).

Por ejemplo, para α=0.2, la temperatura t_c=0.333 a partir de la cual la posición de equilibrio θ=0 es estable. En el programa interactivo podemos comprobar que para la temperatura t₁=0.55 el émbolo cambia bruscamente de posición de θ₁=0.503 rad a θ=0 . Entre la temperatura t_c y la temperatura t₁ el origen θ=0 es un estado metaestable.

Actividades

Se introduce

El parámetro α, un valor menor que la unidad, actuando en la barra de desplazamiento titulada Alfa.
La temperatura reducida t, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura.

Se pulsa el botón titulado Calcula

Se representa a la izquierda, los dos recintos separados por un émbolo que contienen gas a la misma temperatura t.

A la derecha, se representa la energía potencial en función del ángulo θ, se señala la posición de equilibrio estable del émbolo.

Podemos cambiar la escala vertical de la figura, para apreciar mejor los máximos y mínimos, seleccionado un número en el control de selección titulado Escala.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Sivardière J., Mechanical model for a first-order phase transition. Am. J. Phys. 53 (4) April 1985, pp. 363-365