

Una partícula desliza sobre una pista circular que gira
Consideremos un aro de radio R que puede girar alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Un punto material de masa m se mueve a lo largo de la circunferencia sin rozamiento. Su posición está dada por el ángulo θ tal como se señala en la figura.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula, cuando estamos situados en el Sistema de Referencia en rotación son:
- El peso mg
- La fuerza centrífuga Fc=mω2Rsinθ
- La reacción N de la superficie circular.
Descomponemos las fuerzas en la dirección vertical y horizontal. En la situación de equilibrio, se cumplirá que
N·cosθ =mg
N·sinθ =Fc
Que son las mismas ecuaciones que hemos obtenido en el estudio del péndulo cónico
Posiciones de equilibrio
Si descomponemos las fuerzas en la dirección tangencial y normal a la circunferencia, tendremos que en la situación de equilibrio
mg·sinθ =Fc·cosθ
La partícula está en equilibrio en la dirección normal. Si no está en equilibrio en la dirección tangencial, la fuerza neta en esta dirección es
F= -mg·sinθ +Fc·cosθ = -mg·sinθ +mω2·R·sinθ ·cosθ
Esta fuerza depende solamente de la posición θ y es conservativa. La energía potencial correspondiente a la fuerza F(θ ) es
Tomando como nivel cero de energía potencial Ep(0)=0 para θ=0, integramos y haciendo algunas operaciones, se obtiene
La misma expresión que hemos obtenido en el apartado "Estabilidad de las soluciones"
- En la figura de la izquierda, vemos que para ω2<g/R la curva de la energía potencial Ep(θ) presenta un mínimo en θe=0 o posición de equilibrio estable.
- En la figura de la derecha, vemos que para ω2>g/R la curva de la energía potencial Ep(θ) presenta un mínimo para
o posición de equilibrio estable y un máximo local para θ=0, posición de equilibrio inestable.
Dinámica. Sin rozamiento
Cuando situamos la partícula en la posición inicial θ0 con velocidad inicial nula, la partícula tenderá a desplazarse hacia la posición de equilibrio. Suponiendo que no hay rozamiento, la partícula rebasará dicha posición, se detendrá y retornará a la posición de equilibrio y así, sucesivamente. La partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio θe.
La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es
Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0.
Podemos describir cualitativamente el movimiento de la partícula si trazamos su curva de energía potencial.
La partícula parte del reposo en la posición θ0. Su energía total E es
- Cuando ω2<g/R
- Cuando ω2>g/R
- Suma de raíces, x1+x2=-b/a
- Producto de raíces, x1·x2=c/a
- Velocidad angular de rotación, ω=7.0 rad/s
- Radio de la pista circular, R=1.0 m
- Posición angular inicial, θ0=120º
La curva de energía potencial Ep(θ) se muestra en la figura en color azul.
La partícula se desplaza desde la posición inicial θ0 hacia la posición de equilibrio θ=0. En dicha posición, la energía potencial es mínima Ep(0)=0 y la energía cinética de la partícula es máxima, a continuación, se desplaza hasta la posición simétrica θ=-θ0 donde su velocidad vuelve a ser cero, retornando posteriormente a la posición de equilibrio.
En la posición θ de la figura, el segmento de color azul mide la energía potencial y el segmento de color rojo, la energía cinética.
La partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio estable θ=0 con un determinado periodo.
La curva de energía potencial Ep(θ) se muestra en las figuras en color azul.
La partícula se desplaza desde la posición inicial θ0 hacia la posición de equilibrio
En la figura de la izquierda, la energía total E<0 y la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio estable θe.
En la posición θ de la figura, el segmento de color azul mide la energía potencial y el segmento de color rojo, la energía cinética. La energía potencial es mínima en la posición de equilibrio y la energía cinética es máxima.
Los puntos de retorno, aquellos en los que la velocidad es nula y por tanto, la partícula inicia el movimiento en sentido contrario, son la posición de partida θ0 y la raíz de la ecuación
Conocemos una de las raíces de la ecuación θ0. La otra raíz se calcula aplicando las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado
ax2+bx+c=0
Ejemplo.
La energía total E de la partícula vale
La otra solución positiva de la ecuación bicuadrada es:
Dinámica. Con rozamiento
Supongamos que el coeficiente de rozamiento entre la partícula y la superficie circular sobre la que desliza es μ. La partícula permanecerá en reposo si Fr/N<μ
La reacción N de la superficie circular es
N= mgcosθ+Fcsinθ
- Cuando ω2<g/R
- Cuando ω2>g/R
La posición de equilibrio estable es θe=0
Para θ>0, la componente tangencial del peso mgsinθ es mayor que la componente tangencial de la fuerza centrífuga, Fccosθ. La fuerza de rozamiento es la diferencia Fr= mgsinθ-Fccosθ
En la figura se representa Fr/N en función de θ para ω=2 rad/s, con R=1.0 m.
Dado el coeficiente de rozamiento μ, las posiciones θ para las cuales la partícula está en equilibrio serán aquellas para las que Fr/N<μ, es decir θ<θ1.
Si la posición inicial de la partícula θ0> θ1 la partícula desliza hacia abajo, la velocidad angular es negativa dθ/dt<0. Las fuerzas sobre la partícula se muestran en la figura.
La ecuación del movimiento es
Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0.
Cuando la partícula se detiene se verifica si |Fr/N|<μ en cuyo caso la partícula permanece en reposo, en caso contrario, continua su movimiento hasta la próxima posición de parada.
La posición de equilibrio estable es
Para θ>θe, la componente tangencial del peso mgsinθ es mayor que la componente tangencial de la fuerza centrífuga, Fccosθ. La fuerza de rozamiento es la diferencia Fr= mgsinθ-Fccosθ
En la figura se representa Fr/N en función de θ para ω=7 rad/s, con R=1.0 m.
Dado el coeficiente de rozamiento μ, las posiciones θ para las cuales la partícula está en equilibrio serán aquellas para las que Fr/N<μ, es decir θe≤θ<θ3. La fuerza de rozamiento es nula en la posición de equilibrio estable θe.
Si la posición inicial de la partícula θ0> θ3 la partícula desliza hacia abajo, la velocidad angular es negativa dθ/dt<0. Las fuerzas sobre la partícula se muestran en la figura más arriba en el caso anterior. La ecuación del movimiento es la misma
Para θ<θe, la componente tangencial del peso mgsinθ es menor que la componente tangencial de la fuerza centrífuga, Fccosθ. La fuerza de rozamiento es la diferencia
Fr= Fccosθ- mgsinθ
En la figura anterior Fr/N en función de θ para θ<θe aparece cambiada de signo.
Dado el coeficiente de rozamiento μ, las posiciones θ para las cuales la partícula está en equilibrio serán aquellas para las que |Fr/N|<μ, es decir 0≤θ<θ1 y θ2<θ≤θe
Si la posición inicial de la partícula θ1≤θ0≤ θ2 la partícula desliza hacia arriba, la velocidad angular es positiva dθ/dt>0. Las fuerzas sobre la partícula se muestran en la figura.
La ecuación del movimiento es
Cuando la partícula se detiene se verifica si |Fr/N|<μ en cuyo caso la partícula permanece en reposo, en caso contrario, continua su movimiento hasta la próxima posición de parada.
Los ángulos límites θ1 y θ2 o θ3 para un valor dado del coeficiente de rozamiento μ y una determinada velocidad angular ω se pueden calcular aplicando el procedimiento numérico del punto medio para resolver la ecuación trascendente. Fr=μN
|gsinθ-ω2Rsinθcosθ|=μ(gcosθ+ω2Rsin2θ)
Actividades
Se introduce
- La posición angular inicial θ0, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición angular.
- La velocidad angular de rotación ω, en el control de edición titulado V. angular.
- El coeficiente de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.
- El radio de la pista circular se ha fijado en R=1.0 m
Se pulsa el botón titulado Empieza
Observamos el movimiento de la partícula en equlibrio o deslizando a lo largo de la pista circular, tal como lo vería un observador no inercial que girase con la pista circular. Se marca la posición angular de equilibrio estable θe.
En la parte derecha del applet, se representa la curva de energía potencial Ep(θ) en color azul, la energía total E (un segmento de color negro). La partícula oscila alrededor de las posiciones de equilibrio θe entre las posiciones de retorno, una es la posición inicial θ0 y la otra la raíz de la ecuación Ep(θ)=Ep(θ0).

