

Un superficie cónica que gira
Una superficie cónica, que forma un ángulo θ con la horizontal está girando alrededor de su eje vertical Z con velocidad angular constante ω.
Sobre la superficie hay un cuerpo de masa m situado a una distancia x medida desde el vértice del cono en el que hemos puesto el origen O.
El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie cónica es μ. Vamos a estudiar en esta página el movimiento del cuerpo para distintas posiciones y velocidades angulares de rotación.
Rozamiento nulo
Consideremos primero el caso más sencillo, cuando no hay rozamiento entre el cuerpo y la superficie sobre la que desliza.
Sistema de referencia inercial
Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas:
- El peso mg
- La reacción N de la superficie cónica.
El cuerpo describe una trayectoria circular centrada en el eje Z de radio x·cosθ. La aceleración normal an=ω2 x·cosθ tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia.
Descomponemos la reacción N y aplicamos:
Equilibrio en la dirección vertical, perpendicular al plano de la trayectoria circular
Ncosθ=mg
La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme en la dirección radial
Nsinθ=mω2 x·cosθ
Eliminando N en el sistema de dos ecuaciones, la posición de equilibrio es
Sistema de referencia no inercial
Si el observador está situado sobre la superficie cónica que gira con velocidad angular ω verá el cuerpo en equilibrio, bajo la acción de las siguientes fuerzas:
- El peso mg
- La reacción N de la superficie cónica.
- La fuerza centrífuga, Fc= mω2x·cosθ
Descomponemos la reacción N, y aplicamos las condiciones de equilibrio
Ncosθ=mg
Nsinθ=mω2 x·cosθ
Obtenemos las mismas ecuaciones que en el apartado anterior
Estabilidad de las soluciones
El peso es una fuerza conservativa. Situamos el nivel cero de energía potencial en el vértice de la superficie cónica
Eg= mgx·sinθ
La fuerza centrífuga depende solamente de la distancia r al eje de rotación, es una fuerza conservativa similar a la que ejerce de un muelle elástico.
La fuerza que ejerce un muelle elástico tiene sentido contrario al desplazamiento F=-kx, su energía potencial es positiva Ep=kx2/2
La fuerza centrífuga tiene el mismo sentido que el desplazamiento F=mω2·r
y su energía potencial será por tanto negativa. La energía potencial inicial para r=0, se toma como cero.
Cuando el cuerpo se encuentra en la posición x sobre la superficie cónica, la energía potencial total será la suma de ambas contribuciones Ep=Eg+Ec.
La condición de equilibrio xe se establece cuando Ep sea un extremo (máximo o mínimo)
La estabilidad de la solución depende de la derivada segunda.
La energía potencial presenta un máximo para xe, la derivada segunda es negativa y el equilibrio es inestable.
- Si se coloca el cuerpo en la posición x>xe desliza hacia arriba
- Si se coloca el cuerpo en la posición x<xe desliza hacia el vértice de la superficie cónica.
Rozamiento no nulo
Describiremos el movimiento del cuerpo desde el punto de vista del observador no inercial situado sobre la superficie cónica.
- Supongamos que el cuerpo se coloca en una posición x>xe, el cuerpo tenderá a deslizar hacia arriba, la fuerza de rozamiento se opondrá a este deslizamiento. Las fuerzas sobre el cuerpo serán:
- El peso mg
- La reacción N de la superficie cónica.
- La fuerza centrífuga, Fc= mω2 x·cosθ
- La fuerza de rozamiento, Fr.
- Supongamos que el cuerpo se coloca en una posición x<xe, el cuerpo tenderá a deslizar hacia abajo hacia el vértice de la superficie cónica, la fuerza de rozamiento se opondrá a este deslizamiento. Las fuerzas sobre el cuerpo serán.
- El peso mg
- La reacción N de la superficie cónica.
- La fuerza centrífuga, Fc= mω2 x·cosθ
- La fuerza de rozamiento, Fr.
Descomponemos las fuerzas a lo largo del plano y perpendicularmente al plano inclinado.
Si el cuerpo se encuentra en equilibrio entonces,
Fc·cosθ=mg·sinθ+Fr
N=mg·cosθ+Fc·sinθ
Cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo Fr=μN el cuerpo empezará a deslizar hacia arriba a lo largo de la superficie cónica.
Cuando la posición inicial del cuerpo x0≥x1 el cuerpo desliza hacia arriba, calculamos su aceleración
La solución de esta ecuación diferencial es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial x=x0 y la velocidad inicial dx/dt=0, parte del reposo.
Descomponemos las fuerzas a lo largo del plano y perpendicularmente al plano
Si el cuerpo se encuentra en equilibrio entonces,
mg·sinθ=Fc·cosθ +Fr
N=mg·cosθ+Fc·sinθ
Cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo Fr=μN el cuerpo empezará a deslizar hacia abajo a lo largo de la superficie cónica.
Cuando la posición inicial del cuerpo x0≤x2 el cuerpo desliza hacia abajo, calculamos su aceleración.
La solución de esta ecuación diferencial es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial x=x0 y la velocidad inicial dx/dt=0, parte del reposo.
- Si sinθ>μcosθ, o bien, si tanθ>μ, el cuerpo permanecerá en equilibrio en el intervalo x2<x<x1,
- Si sinθ<μcosθ, o bien, si tanθ<μ, entonces x2<0 lo que no tiene sentido físico. El cuerpo permanecerá en equilibrio en el intervalo 0<x<x1.
Ejemplo:
- El coeficiente de rozamiento, μ=0.2.
- La velocidad angular de rotación, ω=7 rad/s
- El ángulo que forma la superficie cónica con la horizontal, θ=30º
- Cuando no hay rozamiento la posición de equilibrio inestable es
- Cuando hay rozamiento
- Cuando la posición inicial del cuerpo es x0<x2 desliza hacia abajo
- Cuando la posición inicial del cuerpo es x0>x1 desliza hacia arriba.
La partícula está en equilibrio entre las posiciones x2 y x1
Actividades
Se introduce
- La posición inicial x0, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición.
- La velocidad angular de rotación ω, en el control de edición titulado V. angular.
- El coeficiente de rozamiento μ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento.
- El ángulo que forma la superficie cónica con la horizontal se ha fijado en θ=30º
- Se pulsa el botón titulado Empieza
Observamos el movimiento de cuerpo deslizando sobre la superficie cónica, tal como lo vería un observador no inercial que girase con la pista. Se marca la posición angular de equilibrio inestable xe.
En la parte derecha del applet, se representa la curva de energía potencial Ep(x) en color azul, que como vemos presenta un máximo en la posición de equilibrio inestable.

