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Fuerzas no conservativas

Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.

El peso es una fuerza conservativa.

Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.

W_AB=mg x

W_BA=-mg x

El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, W_ABA es cero.

 

 

 

 

 

 

 

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa

Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento.

W_AB=-F_r x

W_BA=-F_r x

El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, W_ABA es distinto de cero

W_ABA=-2F_r x

 

 

Balance de energía

En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas F_c y no conservativas F_nc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\left(F_c+F_{nc}\right)\cdot dr}=E_{kB}-E_{kA}}$

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final

${\displaystyle {\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}{F}_c·dr}=E_{pA}-E_{pB}}$

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

${\displaystyle {\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}{F}_{nc}·dr}={\left(E_k+E_p\right)}_B-{\left(E_k+E_p\right)}_A=E_B-E_A}$

El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.

Ejemplo 1:

Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:

• la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para

• la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano

 

Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado

• La energía del cuerpo en A es E_A=½0.2·12²=14.4 J

• La energía del cuerpo en B es E_B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J

• El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es

W=-F_r·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J

De la ecuación del balance energético W=E_B-E_A, despejamos x=11.5 m, h=x·sin30º=5.75 m

Cuando el cuerpo desciende

• La energía del cuerpo en B es E_B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J

• La energía del cuerpo en la base del plano E_A==½0.2·v²

• El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es

W=-F_r·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J

De la ecuación del balance energético W=E_A-E_B, despejamos v=9.03 m/s.

Ejemplo 2:

Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

• El peso mg

• La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial

• La fuerza de rozamiento F_r, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partícula.

Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial

ma_t=mg·cosθ-F_r

Donde a_t=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento

${\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg·\cos \theta -F_r}$

Calculamos el trabajo W_r realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento

${\displaystyle W_r={\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}{F}_{r}dl\cos 180º}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}-mg·\cos \theta ·dl·\cos 0º}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}m\frac{dv}{dt}}dl}$

Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que

${\displaystyle \frac{dv}{dt}dl=\frac{dl}{dt}dv=v·dv}$

El trabajo realizado por la fuerza no conservativa F_r vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{W}_r=-mgR{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\cos \theta ·d\theta }+m{\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}vdv}\\ W_r=-mgR·\sin \theta +\frac{1}{2}m{v}^2\end{array}}$

Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ

• La energía cinética se ha incrementado en mv²/2.

• La energía potencial ha disminuido en mgRsinθ.

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial.

El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es

${\displaystyle W_r=-mgR+\frac{1}{2}m{v}^2}$

Para un cálculo explícito del trabajo de la fuerza de rozamiento véase "Movimiento sobre un cúpula semiesférica con rozamiento"

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García