Agrupación de condensadores. Condensadores en paralelo

Consideremos el problema de los dos condensadores iguales. Inicialmente uno de ellos se encuentra cargado con una carga Q, y el otro descargado. Se ponen en contacto formando un circuito, en el estado final, los dos condensadores quedan cargados con una carga Q/2 cada uno. Este problema, que a primera vista parece trivial, tiene sin embargo, mucho interés ya que nos permite estudiar modelos cada vez más elaborados que explican de forma más realista el proceso de descarga de un condensador y la carga del otro inicialmente descargado.

Los condensadores se unen mediante hilos superconductores
Los condensadores se unen mediante cables que presentan cierta resistencia la paso de la corriente
Se tiene en cuenta la autoinducción del circuito

Condensadores en paralelo

Los condensadores se pueden agrupar en serie o en paralelo.

El caso más importante sucede cuando se conectan las placas del mismo signo de dos condensadores de capacidades C₁ y C₂. Si inicialmente, el condensador C₁ se ha cargado con una carga Q y se conecta al condensador C₂ inicialmente descargado. Después de conectarlos, las cargas pasan de un condensador al otro hasta que se igualan los potenciales.

Las cargas finales de cada condensador q₁ y q₂, se obtienen a partir de las ecuaciones de la conservación de la carga y de la igualdad de potenciales de los condensadores después de la unión.

$Q = q_{1} + q_{2} V = \frac{q_{1}}{C_{1}} = \frac{q_{2}}{C_{2}}$

Despejando q₁ y q₂, en el sistema de dos ecuaciones

$q_{1} = Q \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} q_{2} = Q \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$

La energía inicial, es la almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador de capacidad C₁

$U_{i} = \frac{1}{2} \frac{Q_{10}^{2}}{C_{1}} + \frac{1}{2} \frac{Q_{20}^{2}}{C_{2}}$

La energía final, es la suma de las energías almacenadas en los dos condensadores

$U_{f} = \frac{1}{2} \frac{q_{1}^{2}}{C_{1}} + \frac{1}{2} \frac{q_{2}^{2}}{C_{2}} = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C_{1} + C_{2}}$

Como vemos la energía final U_fes menor que la inicial U_i.

En la figura, se muestra la analogía hidráulica de un sistema formado por dos condensadores en paralelo.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un condensador cargado a una diferencia de potencial V, la carga que adquiere el condensador es Q₀=C·V. La energía acumulada en el condensador es $U_{0} = \frac{1}{2} C V^{2}$

Conectamos este condensador a otro idéntico inicialmente descargado. Cuando el circuito se cierra la carga fluye del primero hacia el segundo hasta que la diferencia de potencial en ambos condensadores es la misma.

Como la capacidad C de ambos condensadores es la misma, la carga final de cada uno de los condensadores será la mitad de la carga inicial

$\begin{array}{l} Q_{1} = \frac{Q_{0}}{2} V_{1} = \frac{V}{2} \\ Q_{2} = \frac{Q_{0}}{2} V_{2} = \frac{V}{2} \end{array}$

La energía acumulada por el sistema formado por los dos condensadores es

$U = \frac{1}{2} C V_{1}^{2} + \frac{1}{2} C V_{2}^{2} = \frac{1}{4} C V^{2} = \frac{1}{2} U_{0}$

La energía final es la mitad de la energía inicial. Siempre se perderá la mitad de la energía independientemente de que cambiemos o no la resistencia de los cables que unen los condensadores.

Analogía hidráulica

Supongamos dos depósitos cilíndricos iguales conectados por un tubo horizontal de sección despreciable, tal como se indica en la figura, el primero de ellos con una masa m de agua, y el segundo vacío.

La energía inicial del agua es la energía potencial del centro de masas del agua que está a una altura h de la base. U₀=mgh

Si se abre la llave, el agua fluye del primer depósito al segundo, hasta que la altura del agua es la misma en ambos. Por tanto, el agua se reparte por igual entre los dos depósitos. La energía final será

$U = \frac{m}{2} g \frac{h}{2} + \frac{m}{2} g \frac{h}{2} = \frac{1}{2} m g h = \frac{1}{2} U_{0}$

la mitad de la energía inicial.

Como hemos visto, si no hubiese resistencia alguna, no habría pérdidas, ya que la energía potencial del agua se transforma en cinética del agua que fluye y viceversa. El agua pasaría de un depósito al otro, se produciría un movimiento oscilatorio. Lo mismo ocurriría en un sistema de dos condensadores, la carga oscilaría entre los dos condensadores.

La resistencia del tubo, que conecta los dos depósitos, al movimiento del agua es análoga a la resistencia de los cables que conectan los dos condensadores, el primero se opone al flujo del agua, el segundo al flujo de carga. Después de unas cuantas oscilaciones se alcanza la situación final de equilibrio.

La situación final no se alcanza por tanto, de una vez, sino después de un cierto tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la resistencia.

Circuito formado por dos condensadores y una resistencia

Consideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C₁ y C₂ y una resistencia R.

El condensador de capacidad C₁ está cargado con una carga Q₁₀ y el condensador de capacidad C₂ está está cargado con una carga Q₂₀. En el instante t=0, se cierra el circuito.

En un instante dado t, tendremos que

El condensador C₁tiene una carga q₁
El condensador C₂ tiene una carga q₂
Por la resistencia R circula una corriente de intensidad i.

Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y a. Se cumplirá que

V_ab+V_bc+V_ca=0

En el condensador C₁ el potencial de a (placa negativa) es menor que el b (placa positiva), de modo que V_ab=-q₁/C₁
En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego V_bc=iR
En el condensador C₂ el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que V_ca=q₂/C₂

La ecuación del circuito será

$- \frac{q_{1}}{C_{1}} + i R + \frac{q_{2}}{C_{2}} = 0$

Supongamos que la carga q₁ disminuye con el tiempo y la carga q₂ aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdrá

$i = - \frac{d q_{1}}{d t} = \frac{d q_{2}}{d t}$

Derivamos la ecuación del circuito respecto del tiempo

$- \frac{1}{C_{1}} \frac{d q_{1}}{d t} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C_{2}} \frac{d q_{2}}{d t} = 0 R \frac{d i}{d t} + \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1} \cdot C_{2}} i = 0 R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0$

Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, la intensidad i=i₀.

En el instante inicial t=0, el condensador de capacidad C₂ tiene una carga Q₂₀, el condensador de capacidad C₁ tiene una carga inicial Q₁₀.

$- \frac{Q_{10}}{C_{1}} + i_{0} R + \frac{Q_{20}}{C_{2}} = 0$

La solución de la ecuación diferencial es

$i = i_{0} \exp (\frac{- t}{R \cdot C}) C = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}} i_{0} = \frac{1}{R} (\frac{Q_{10}}{C_{1}} - \frac{Q_{20}}{C_{2}})$

Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C₁ es q₁=Q₁₀, y la carga del condensador C₂ es q₂=Q₂₀.

$\begin{array}{l} i = - \frac{d q_{1}}{d t} q_{1} = Q_{10} - R C i_{0} (1 - \exp (\frac{- t}{R C})) \\ i = \frac{d q_{2}}{d t} q_{2} = Q_{20} + R C i_{0} (1 - \exp (\frac{- t}{R C})) \end{array}$

Como vemos q₁+q₂=Q₁₀+Q₂₀, la carga total en los condensadores es la carga inicial.

Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio en el que las cargas finales de los condensadores serán

$q_{1} = (Q_{10} + Q_{20}) \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} q_{2} = (Q_{10} + Q_{20}) \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}$

Estudio energético

La energía inicial almacenada en los condensadores es

$U_{i} = \frac{1}{2} \frac{Q_{10}^{2}}{C_{1}} + \frac{1}{2} \frac{Q_{20}^{2}}{C_{2}}$

La energía final almacenada en los condensadores después de un tiempo teóricamente infinito es

$U_{f} = \frac{1}{2} \frac{q_{1}^{2}}{C_{1}} + \frac{1}{2} \frac{q_{2}^{2}}{C_{1}} = \frac{1}{2} \frac{{(Q_{10} + Q_{20})}^{2}}{C_{1} + C_{2}}$

La energía disipada en la resistencia R hasta que se establece la situación de equilibrio es

$U_{R} = \int_{0}^{\infty} i^{2} R \cdot d t = \frac{1}{2} i_{0}^{2} R^{2} C = \frac{1}{2} \frac{{(C_{2} Q_{10} - C_{1} Q_{20})}^{2}}{C_{1} C_{2} (C_{1} + C_{2})}$

Como podemos comprobar parte de la energía inicial se disipa en la resistencia y la otra parte, se almacena en los condensadores en forma de campo eléctrico.

U_f=U_i-U_R

Ejemplo:

Resistencia, R=2
Capacidad del primer condensador, C₁=1
Capacidad del segundo condensador, C₂=1
Carga inicial del primer condensador, Q₁₀=5
Carga inicial del segundo condensador, Q₂₀=-3

Calcular la carga de cada condensador en el instante t=3, la energía inicial almacenada en los condensadores, la energía de los dos condensadores en dicho instante y la energía disipada en la resistencia.
Calcular la carga final de cada condensador en el instante t=∞, la energía final de los dos condensadores en dicho instante y la energía total disipada en la resistencia.

$C = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{1·5}{1 + 5} = \frac{5}{6} i_{0} = \frac{1}{R} (\frac{Q_{10}}{C_{1}} - \frac{Q_{20}}{C_{2}}) = \frac{1}{2} (\frac{5}{1} - \frac{- 3}{5}) = \frac{14}{5}$

En el instante t=3, la carga de cada condensador es

$\begin{array}{l} q_{1} = 5 - 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{14}{5} (1 - \exp (\frac{- 9}{5})) = 1.105 \\ q_{2} = - 3 + 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{14}{5} (1 - \exp (\frac{- 9}{5})) = 0.895 \end{array}$

La energía inicial y la energía almacenada en los condensadores en el instante t=3 es

$\begin{array}{l} U_{i} = \frac{1}{2} \frac{5^{2}}{1} + \frac{1}{2} \frac{{(- 3)}^{2}}{5} = \frac{67}{5} = 13.4 \\ U_{f} = \frac{1}{2} \frac{{1.105}^{2}}{1} + \frac{1}{2} \frac{{0.895}^{2}}{5} = 0.69 \end{array}$

La energía disipada en la resistencia hasta dicho instante vale

$U_{R} = \int_{0}^{t} i^{2} R \cdot d t = i_{0}^{2} R \int_{0}^{t} \exp (- \frac{2 t}{R C}) \cdot d t = \frac{1}{2} i_{0}^{2} R^{2} C (1 - \exp (- \frac{2 t}{R C})) = 12.71$

La carga final t→∞ de cada condensador vale

$q_{1} = 5 - 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{14}{5} = \frac{1}{3} q_{2} = - 3 + 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{14}{5} = \frac{5}{3}$

La energía final almacenada en los condensadores es

$U_{f} = \frac{1}{2} \frac{{(1 / 3)}^{2}}{1} + \frac{1}{2} \frac{{(5 / 3)}^{2}}{5} = \frac{1}{3}$

La energía total disipada en la resistencia vale

$U_{R} = \int_{0}^{\infty} i^{2} R \cdot d t = i_{0}^{2} R \int_{0}^{\infty} \exp (- \frac{2 t}{R C}) \cdot d t = \frac{1}{2} i_{0}^{2} R^{2} C = \frac{196}{15}$

Como puede comprobarse

U_f=U_i-U_R

Actividades

Se ha fijado

la capacidad del primer condensador, C₁=1
la resistencia del circuito, R=2

Se introduce

la capacidad del segundo condensador C₂
la carga inicial del primer condensador Q₁₀
la carga inicial del segundo condensador Q₂₀

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de cargas entre los condensadores desde el estado inicial al estado final.

El lector siguiendo este ejemplo, puede resolver un problema real con datos concretos expresados en el S. I. de unidades de medida.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1