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El problema de los dos condensadores

En la página “Agrupación de condensadores” hemos estudiado el problema de dos condensadores iguales de capacidad C que se conectan en paralelo. Cuando se carga un condensador con carga Q y se conecta a otro descargado, en el estado final, ambos condensadores se cargan con la misma carga Q/2. La energía eléctrica acumulada en los condensadores en el estado final es justamente la mitad que la energía inicial.

Para explicar esta pérdida de energía se ha supuesto que los entre los dos condensadores hay una resistencia R. La diferencia de energía se disipa en la resistencia en forma de calor. Aunque este modelo parece satisfactorio ya que es natural incluir la resistencia R de los cables que conectan los condensadores, permanece un problema sin resolver.

La corriente i cambia desde un valor i=0, para t<0 a un valor i₀=Q/(RC) para t=0. La razón de esta discontinuidad es que no hemos incluido la autoinducción L que tiene cualquier circuito

Circuito formado por dos condensadores, una resistencia y una autoinducción

Consideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C₁ y C₂, una resistencia R y una autoinducción L.

El condensador de capacidad C₁ está cargado con una carga Q, y el condensador de capacidad C₂ está inicialmente descargado. En el instante t=0, se cierra el circuito. El condensador de capacidad C₁ se descarga y carga al condensador de capacidad C₂.

En un instante dado t, tendremos que

• El condensador C₁ tiene una carga q₁
• El condensador C₂ tiene una carga q₂
• Por la resistencia R circula una corriente de intensidad i.
• Por la autoinducción L circula una corriente de intensidad i.

Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y d, d y a.

En un circuito cerrado se cumple

V_ab+V_bc+V_cd+ V_da =0

• En el condensador C₁ el potencial de a (placa negativa) es menor que el b (placa positiva), de modo que V_ab=-q₁/C₁
• En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego V_bc=iR
• En el condensador C₂ el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que V_cd=q₂/C₂
• En la autoinducción si la intensidad aumenta, la fem se opone a ese increment, V_da=Ldi/dt.

La ecuación del circuito es

${\displaystyle -\frac{q_1}{C_1}+iR+\frac{q_2}{C_2}+L\frac{di}{dt}=0}$

Con q₁+q₂=Q. Si inicialmente el condensador C₂ está descargado q₂=0, la carga q₁ disminuye con el tiempo y la carga q₂ aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdrá

${\displaystyle i=-\frac{d{q}_1}{dt}=\frac{d{q}_2}{dt}}$  

La ecuación del circuito se escribe en términos de q₂

${\displaystyle \frac{d^2{q}_2}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{d{q}_2}{dt}+\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\frac{q_2}{L}=\frac{Q}{L{C}_1}}$

o bien,

${\displaystyle \frac{d^2{q}_2}{d{t}^2}+2\gamma \frac{d{q}_2}{dt}+{\omega }_0^2{q}_2=\frac{Q}{L{C}_1}{\omega }_0^2=\frac{1}{L}\frac{C_1+C_2}{C_1{C}_2}\gamma =\frac{R}{2L}}$

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

${\displaystyle q_2=y_1+\exp (-\gamma t)(A·\text{sin}\omega t+B·\cos \omega t){\omega }^2={\omega }_0^2-{\gamma }^2}$

La constante y₁ es la solución particular y la segunda, la solución general que ya encontramos en el estudio de las oscilaciones amortiguadas.

Introduciendo la solución particular y₁ en la ecuación diferencial tenemos que y₁=QC₂/(C₁+C₂)

Las condiciones iniciales q₂=0, y dq₂/dt=0 determinan los valores de A y B.

${\displaystyle \begin{array}{l}{q}_2=\frac{Q{C}_2}{C_1+C_2}\left(1-\exp (-\gamma t)\left(\frac{\gamma }{\omega }\text{sin}\omega t+\cos \omega t\right)\right)\\ i=\frac{d{q}_2}{dt}=\frac{Q}{L{C}_1}\exp (-\gamma t)\frac{\text{sin}\omega t}{\omega }\end{array}}$

Comprobamos que en el instante t=0, q₂=0 e i=0. Después de un tiempo muy grande, t→∞,  i→0 y

${\displaystyle q_2\to \frac{Q{C}_2}{C_1+C_2}}$

Deducción alternativa

Derivamos la ecuación del circuito respecto del tiempo

${\displaystyle -\frac{1}{C_1}\frac{d{q}_1}{dt}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C_2}\frac{d{q}_2}{dt}+L\frac{d^{2}i}{d{t}^2}=0}$

Quedando la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas

${\displaystyle \frac{d^{2}i}{d{t}^2}+2\gamma \frac{di}{dt}+{\omega }_0^{2}i=0\gamma =\frac{R}{2L}{\omega }_0^2=\frac{1}{L}\frac{C_1+C_2}{C_1{C}_2}}$

Para integrar la ecuación diferencial necesitamos conocer la intensidad i en el instante t=0, y el valor de la derivada primera di/dt de la intensidad en dicho instante.

Las condiciones iniciales son por tanto, en el instante t=0, la intensidad i=0. El condensador de capacidad C₂ se encuentra descargado q₂=0, el condensador de capacidad C₁ tiene una carga inicial q₁=Q. La ecuación del circuito se escribe para t=0

${\displaystyle -\frac{Q}{C_1}+L\frac{di}{dt}=0}$

Soluciones de la ecuación diferencial

La solución de la ecuación diferencial es la siguiente:

Oscilaciones amortiguadas (γ<ω₀)

${\displaystyle \begin{array}{l}i=A\exp (-\gamma t)·\text{sin}(\omega t+\varphi ){\omega }^2={\omega }_0^2-{\gamma }^2\\ \frac{di}{dt}=A\exp (-\gamma t)\left(-\gamma ·\text{sin}(\omega t+\varphi )+\omega ·\cos (\omega t+\varphi )\right)\end{array}}$

Las condiciones iniciales determinan la amplitud A y la fase inicial φ.

${\displaystyle \begin{array}{l}0=A\text{sin}\varphi \\ \frac{Q}{L{C}_1}=A(-\gamma \text{sin}\varphi +\omega \cos \varphi )\end{array}}$

La ecuación de la oscilación amortiguada es

${\displaystyle i=\frac{Q}{L{C}_1}\exp (-\gamma t)\frac{\text{sin}(\omega t)}{\omega }}$  

Oscilación crítica (γ=ω₀)

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}i=(At+B)·\exp (-\gamma t)\\ \frac{di}{dt}=A\exp (-\gamma t)-\gamma (At+B)·\exp (-\gamma t)\end{array}}$

Las condiciones iniciales determinan las constantes A y B

${\displaystyle \begin{array}{l}0=B\\ \frac{Q}{L{C}_1}=A-\gamma B\end{array}}$

La variación de la intensidad i en función del tiempo t es

${\displaystyle i=\frac{Q}{L{C}_1}\exp (-\gamma t)·t}$

Oscilación sobreamortiguada (γ>ω₀)

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}i=\left(A\exp (-\beta t)+B·\exp (\beta t)\right)\exp (-\gamma t)\\ \frac{di}{dt}=\beta \left(-A\exp (-\beta t)+B·\exp (\beta t)\right)\exp (-\gamma t)-\gamma \left(A\exp (-\beta t)+B·\exp (\beta t)\right)\exp (-\gamma t)\end{array}}$

Las condiciones iniciales determinan las constantes A y B

${\displaystyle \begin{array}{l}0=A+B\\ \frac{Q}{L{C}_1}=\beta (-A+B)-\gamma (A+B)\end{array}}$

La variación de la intensidad i en función del tiempo t es

${\displaystyle i=\frac{Q}{L{C}_1}\exp (-\gamma t)\frac{\text{sinh}(\beta t)}{\beta }}$

Carga final de los condensadores

Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C₁ es q₁=Q, y la carga del condensador C₂ es q₂=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}i=\frac{d{q}_2}{dt}{q}_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}i·dt}\\ i=-\frac{d{q}_1}{dt}{q}_1=Q-q_2\end{array}}$

Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio. Para obtener la carga final de los condensadores no es necesario proceder a la integración en cada uno de los tres casos, ya que después de un tiempo teóricamente infinito la intensidad i tiende cero, y la derivada di/dt tiende también a cero. La ecuación del circuito queda

${\displaystyle -\frac{q_1}{C_1}+\frac{q_2}{C_2}=0}$

Por la conservación de la carga

${\displaystyle \begin{array}{l}{q}_1+q_2=Q\\ q_1=\frac{Q{C}_1}{C_1+C_2}{q}_2=\frac{Q{C}_2}{C_1+C_2}\end{array}}$

Estudio energético

La energía inicial almacenada en el condensador de capacidad C₁ es

${\displaystyle U_i=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1}}$

La energía almacenada en los condensadores después de un tiempo teóricamente infinito es

${\displaystyle U_f=\frac{1}{2}\frac{q_1^2}{C_1}+\frac{1}{2}\frac{q_2^2}{C_1}=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1+C_2}}$

La diferencia de energías U_f-U_i es la que se disipa en la resistencia R hasta que se establece la situación de equilibrio es

${\displaystyle \Delta U=U_f-U_i=-\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1}\frac{C_2}{C_1+C_2}}$

El lector puede ejercitarse en el cálculo de integrales para demostrar que la energía disipada en la resistencia en los tres casos es

${\displaystyle U_R={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{i}^{2}R·dt}=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1}\frac{C_2}{C_1+C_2}}$

• Oscilaciones amortiguadas

${\displaystyle U_R=\frac{Q^2}{L^2{C}_1^2}\frac{R}{{\omega }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp (-2\gamma t){\text{sin}}^{\text{2}}(\omega t)dt}}$

Se integra por partes. Para llegar a la expresión final se tiene en cuenta que ${\omega }^2={\omega }_0^2-{\gamma }^2$

• Oscilaciones sobreamortiguadas

${\displaystyle U_R=\frac{Q^2}{L^2{C}_1^2}\frac{R}{{\beta }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp (-2\gamma t){\text{sinh}}^{\text{2}}(\beta t)dt}}$

Se eleva senh(βt)=(exp(βt)-exp(-βt))/2 al cuadrado y se multiplica por exp(-2γt), la integral es inmediata. Se ha de tener en cuenta que ${\beta }^2={\gamma }^2-{\omega }_0^2$  para llegar a la expresión final.

• Oscilaciones críticas

${\displaystyle U_R=\frac{Q^2}{L^2{C}_1^2}R{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp (-2\gamma t)t^{2}dt}}$

Se hace el cambio de variable x=2γt, la integral resultante es la denominada función gamma cuyo resultado se encuentra en las tablas de integrales.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x}{x}^{2}dx}=\Gamma (3)=2!=2}$

Para llegar al resultado final se ha de tener en cuenta que γ=ω₀

Comportamiento de un circuito real

El comportamiento de la intensidad por tanto depende de los valores de R, L y C.

Supongamos un hipotético circuito de 5 cm de radio, cuyos elementos están conectados mediante cables de cobre de 0.5 mm de radio.

La resistencia de los cables es

${\displaystyle R=\rho \frac{l}{A}=2·{10}^{-8}\frac{2\pi 0.05}{\pi {(0.0005)}^2}=0.008\Omega }$

La autoinducción se calcula mediante la siguiente fórmula

${\displaystyle L={\mu }_0\frac{D}{2}\left(\ln \frac{8D}{d}-\frac{7}{4}\right)=4\pi ·{10}^{-7}\frac{2·0.05}{2}\left(\ln \frac{8·2·0.05}{0.0005}-\frac{7}{4}\right)=3.5·{10}^{-7}\text{H}}$

D es diámetro del circuito, y d es el diámetro del cable.

Si los dos condensadores son iguales y su capacidad es del orden C₁=C₂=100μF, Tendremos que la frecuencia angular propia o natural es

${\displaystyle {\omega }_0=\frac{2}{CL}=\frac{2}{100·{10}^{-6}·3.5·{10}^{-7}}=2.4·{10}^5\text{rad/s}}$

El factor de amortiguamiento es

${\displaystyle \gamma =\frac{R}{2L}=\frac{0.008}{2·3.5·{10}^{-7}}=1.1·{10}^4{\text{s}}^{\text{-1}}}$

Tenemos claramente que γ/ω₀<<1. Estamos en una situación de oscilaciones amortiguadas, tal como fue nuestra suposición en base a la analogía de los vasos comunicantes.

Para dos condensadores iguales C₁=C₂=C, y teniendo en cuenta que γ<<ω₀, y por tanto la frecuencia de la oscilación amortiguada es igual a frecuencia propia ω≈ω₀

${\displaystyle i=\frac{Q{\omega }_0}{2}\exp (-\frac{R}{2L}t)\text{sin}({\omega }_{0}t){\omega }_{\text{0}}^{\text{2}}=\frac{1}{LC}}$

	Para obtener esta imagen, en el applet de las oscilaciones amortiguadas, se introduce en los controles de edición: Cte. de amortiguamiento, 7.0 Posición, 0.0 Velocidad, 500
	Esta solución, se puede comparar con la que obtuvimos sin tener en cuenta la autoinducción del circuito ${\displaystyle i=\frac{Q}{RC}\exp \left(-\frac{t}{RC}\right)}$ que afirma que la intensidad i disminuye exponencialmente con el tiempo.

Actividades

Se introduce

• La capacidad C₁ del primer condensador en μF, inicialmente cargado, en el control de edición titulado Capacidad 1.

• La capacidad C₂ del segundo condensador en μF, inicialmente descargado, en el control de edición titulado Capacidad 2.

• La resistencia R, en mΩ, en el control de edición titulado Resistencia

• La autoinducción L de la bobina, en μH, en el control de edición titulado Autoinducción

• Se puede modificar la escala de los tiempos del eje horizontal de la representación gráfica, eligiendo un número o una fracción en el control de selección titulado Escala.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa como la carga fluye de un condensador al otro, de forma análoga a como la carga fluye entre los vasos comunicantes. El flujo de cargas (la intensidad de la corriente) está representado por el movimiento de puntos de color rojo.

Si la resistencia R no es nula, la carga en cada uno de los condensadores tiende hacia un valor límite.

En la gráfica se representa, en el eje vertical la carga q₁/Q y q₂/Q y en el eje horizontal el tiempo t, medido en μs.

Ejemplo:

Se introduce

• Capacidades: C₁=3·10^-6 F, C₂=2·10^-6 F

• Resistencia R=50·10^-3 Ω

• Autoinducción L=2·10^-6 H

Calculamos

• La constante de amortiguamiento γ=12500 s^-1

• La frecuencia angular natural ω₀=645497 rad/s

• La frecuencia de la oscilación amortiguada ω=645377 rad/s

Ambas frecuencias son prácticamente iguales

En el instante t=100·10^-6 s calculamos la carga

${\displaystyle q_2=\frac{Q{C}_2}{C_1+C_2}\left(1-\exp (-\gamma t)\left(\frac{\gamma }{\omega }\text{sin}\omega t+\cos \omega t\right)\right)}$

• en el condensador de capacidad C₂,  obtenemos  q₂/Q=0.41

• en el condensador de capacidad C₁, q₁/Q=1-q₂/Q=0.59

Siendo Q, la carga inicial en el instante t=0.

Después de un tiempo muy grande las cargas en cada uno de los condensadores tiende hacia

• q₂/Q=0.4

• q₁/Q=0.6

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Powell R. A. Two-capacitor problem: A more realistic view. Am. J. Phys. 47 (5) May 1979, pp. 460-462

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García