Carga y descarga de un condensador real

En un condensador real el material dieléctrico que separa las placas tiene una resistividad finita, no es un aislante perfecto como se supone en un condensador ideal.

Carga de un condensador

El circuito que representa la carga de un condensador real sería el siguiente.

Donde r es la resistencia interna del condensador.

Las ecuaciones son

$\begin{array}{l} V_{a b} + V_{b c} + V_{c d} + V_{d a} = 0 i R + \frac{q}{C} - V_{ε} = 0 \\ V_{a e} + V_{e f} + V_{f d} + V_{d a} = 0 i R + i_{1} r - V_{ε} = 0 \\ i = i_{1} + i_{2} \end{array}$

Despejamos del sistema de ecuaciones las intensidades i₁ e i₂

$i_{1} = \frac{q}{r C} i_{2} = \frac{1}{R} [V_{ε} - \frac{q}{C} (1 + \frac{R}{r})]$

Teniendo en cuanta que i₂=dq/dt, calculamos la carga q del condensador en función del tiempo t, sabiendo que en el instante t=0, q=0, el condensador está inicialmente descargado.

$\begin{array}{l} \frac{d q}{d t} = a - b q \int_{0}^{q} \frac{d q}{a - b q} = \int_{0}^{t} d t \\ q = \frac{a}{b} (1 - \exp (- b t)) \\ q = \frac{r}{r + R} V_{ε} C (1 - \exp (- \frac{t}{τ})) τ = \frac{1}{b} = \frac{r R}{r + R} C \end{array}$

Las intensidades valen

$\begin{array}{l} i_{2} = \frac{d q}{d t} = \frac{V_{ε}}{R} \exp (- \frac{t}{τ}) i_{1} = \frac{q}{r C} = \frac{V_{ε}}{r + R} (1 - \exp (- \frac{t}{τ})) \\ i = i_{1} + i_{2} = \frac{V_{ε}}{r + R} (1 + \frac{r}{R} \exp (- \frac{t}{τ})) \end{array}$

Energías

Energía almacenada en el condensador en el instante t

$E_{C} = \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} = \frac{1}{2} {(\frac{V_{ε} r}{r + R})}^{2} C {(1 - \exp (- \frac{t}{τ}))}^{2}$

Energía disipada en la resistencia interna r.

$\begin{array}{l} E_{r} = {\int_{0}^{t} i_{1}^{2} r \cdot d t = \int_{0}^{t} r {(\frac{V_{ε}}{r + R})}^{2} (1 - \exp (- \frac{t}{τ}))}^{2} d t = \\ r {(\frac{V_{ε}}{r + R})}^{2} (t - \frac{τ}{2} \exp (- \frac{2 t}{τ}) + 2 τ \exp (- \frac{t}{τ}) - \frac{3}{2} τ) \end{array}$

Energía disipada en la resistencia R.

$\begin{array}{l} E_{R} = \int_{0}^{t} i^{2} R \cdot d t = \int_{0}^{t} R {(\frac{V_{ε}}{r + R})}^{2} {(1 + \frac{r}{R} \exp (- \frac{t}{τ}))}^{2} d t = \\ R {(\frac{V_{ε}}{r + R})}^{2} (t - \frac{τ}{2} \frac{r^{2}}{R^{2}} \exp (- \frac{2 t}{τ}) - 2 \frac{r}{R} τ \exp (- \frac{t}{τ}) + \frac{τ}{2} \frac{r^{2}}{R^{2}} + 2 \frac{r}{R} τ) \end{array}$

Energía suministrada por la batería

$\begin{array}{l} E_{ε} = \int_{0}^{t} V_{ε} i \cdot d t = \int_{0}^{t} \frac{V_{ε}^{2}}{r + R} (1 + \frac{r}{R} \exp (- \frac{t}{τ})) d t = \\ \frac{V_{ε}^{2}}{r + R} (t - \frac{r}{R} τ \exp (- \frac{t}{τ}) + \frac{r}{R} τ) \end{array}$

Podemos comprobar que parte de la energía suministrada por la batería E_ε, se almacena en el condensador E_C y otra parte, se disipa en la resistencia interna E_r y externa E_R.

E_ε=E_R+E_r+E_C

Después de un tiempo grande exp(-t/τ) tiende a cero

La carga máxima del condensador es

$q_{m á x} = \frac{r}{r + R} V_{ε} C$

y la energía acumulada en el condensador es

$E_{C} = \frac{1}{2} \frac{q_{m á x}^{2}}{C} = \frac{1}{2} {(\frac{r}{r + R})}^{2} V_{ε}^{2} C$

Descarga de un condensador real

Las ecuaciones son

$\begin{array}{l} V_{a b} + V_{b c} + V_{c d} + V_{d a} = 0 i R + \frac{q}{C} = 0 \\ V_{a e} + V_{e f} + V_{f d} + V_{d a} = 0 i R + i_{1} r = 0 \\ i = i_{1} + i_{2} \end{array}$

Despejamos del sistema de ecuaciones las intensidades i₁ e i₂

$i_{1} = \frac{q}{r C} i_{2} = - \frac{q}{C} (\frac{1}{R} + \frac{1}{r})$

Teniendo en cuanta que i₂=dq/dt, calculamos la carga q del condensador en función del tiempo t, sabiendo que en el instante t=0, q=q₀, el condensador está inicialmente cargado.

$\begin{array}{l} \frac{d q}{d t} = - b q \int_{q_{0}}^{q} \frac{d q}{q} = - b \int_{0}^{t} d t \\ q = q_{0} \exp (- b t) \\ q = q_{0} \exp (- \frac{t}{τ}) τ = \frac{1}{b} = \frac{r R}{r + R} C \end{array}$

Las intensidades valen

$\begin{array}{l} i_{2} = \frac{d q}{d t} = - \frac{q_{0}}{C} \frac{r + R}{r R} \exp (- \frac{t}{τ}) i_{1} = \frac{q}{r C} = \frac{q_{0}}{r C} \exp (- \frac{t}{τ}) \\ i = i_{1} + i_{2} = - \frac{q_{0}}{C R} \exp (- \frac{t}{τ}) \end{array}$

Energías

Energía almacenada en el condensador en el instante inicial

$E_{C} = \frac{1}{2} \frac{q_{0}^{2}}{C}$

Energía disipada en la resistencia interna r.

$\begin{array}{l} E_{r} = {\int_{0}^{t} i_{1}^{2} r \cdot d t = \int_{0}^{t} r (\frac{q_{0}}{r C} \exp (- \frac{t}{τ}))}^{2} d t = \\ \frac{1}{r} {(\frac{q_{0}}{C})}^{2} (\frac{τ}{2} - \frac{τ}{2} \exp (- \frac{2 t}{τ})) \end{array}$

Energía disipada en la resistencia R.

$\begin{array}{l} E_{R} = \int_{0}^{t} i^{2} R \cdot d t = \int_{0}^{t} R {(- \frac{q_{0}}{C R} \exp (- \frac{t}{τ}))}^{2} d t = \\ \frac{1}{R} {(\frac{q_{0}}{C})}^{2} (\frac{τ}{2} - \frac{τ}{2} \exp (- \frac{2 t}{τ})) \end{array}$

Podemos comprobar que la energía suministrada por el condensador se disipa en las dos resistencias

$\begin{array}{l} Δ E_{C} = \frac{1}{2} \frac{q_{0}^{2}}{C} - \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C} = \frac{1}{2} \frac{q_{0}^{2}}{C} (1 - \exp (- \frac{2 t}{τ})) \\ Δ E_{C} = E_{r} + E_{R} \end{array}$

Después de un tiempo grande exp(-2t/τ) tiende a cero

Podemos comprobar que la energía almacenada en el condensador se disipa en las dos resistencias.

E_C=E_r∞+E_R∞

Referencias

Carvalho P. S., Sampaio e Sousa A., Helping students understand real capacitors: measuring efficiencies in a school laboratory. Physics Education 43 (4) July 2008, pp. 400-406.