• Inicio
• Electromagnetismo
• Campos dependientes del tiempo
• Inducción mutua y autoinducción

Autoinducción. Circuito R-L

Autoinducción

En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.

Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i.

1. El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère

${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}Ni}{l}}$

2. Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.

${\displaystyle \Phi =NB·S=NBS\cos 0=\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{l}i}$

3. Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio Φ y la intensidad i.

${\displaystyle L=\frac{\Phi }{i}=\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{l}}$

Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío

La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

f.e.m. autoinducida

Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio

${\displaystyle V_L=-\frac{d\Phi }{dt}=-L\frac{di}{dt}}$

La fem autoinducida V_L siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.

Establecimiento de una corriente en un circuito

Cuando se aplica una fem V₀ a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V₀/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.

La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.

En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_{ab}+V_{bc}+V_{ca}=0\\ iR+L\frac{di}{dt}-V_0=0\end{array}}$

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{i}{\int }}\frac{di}{V_0-Ri}}=\frac{1}{L}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}i=\frac{V_0}{R}\left(1-\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)\right)}$

Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V₀/R muy rápidamente.

Caída de la corriente en un circuito

Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_{ab}+V_{ba}=0\\ iR+L\frac{di}{dt}=0\end{array}}$

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i₀.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{i_0}{\overset{i}{\int }}\frac{di}{Ri}}=-\frac{1}{L}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}i=i_0\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)}$

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Energía del campo magnético

Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V₀· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito

iR=V₀+V_L

Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.

${\displaystyle V_{0}i=R{i}^2+Li\frac{di}{dt}}$

El término R·i² es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V₀·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

${\displaystyle \frac{d{E}_B}{dt}=Li\frac{di}{dt}}$

Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos

${\displaystyle E_B=\frac{1}{2}L{i}^2}$

Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i.

Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe

${\displaystyle E_B=\frac{1}{2}\left(\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{l}\right)i^2=\left(\frac{1}{2}\frac{B^2}{{\mu }_0}\right)Sl}$

La energía E_B es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula

${\displaystyle E_B={\displaystyle \underset{V}{\int }\frac{1}{2}}\frac{B^2}{{\mu }_0}dV}$

La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.

Comprobación

• Cuando se cierra el circuito

La energía suministrada por la batería hasta el instante t es

${\displaystyle E_0={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{V}_{0}i·dt}=\frac{V_0^2}{R}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(1-\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)\right)}dt=\frac{V_0^2}{R}t+\frac{V_0^{2}L}{R^2}\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)-\frac{V_0^{2}L}{R^2}}$

La energía disipada en la resistencia es

${\displaystyle E_R={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{i}^{2}Rdt=}\frac{V_0^2}{R}t+\frac{2V_0^{2}L}{R^2}\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)-\frac{V_0^{2}L}{2R^2}\exp \left(-\frac{2R}{L}t\right)-\frac{3V_0^{2}L}{2R^2}}$

La energía acumulada en la autoinducción en forma de campo magnético es

${\displaystyle E_B=\frac{1}{2}L{i}^2=-\frac{V_0^{2}L}{R^2}\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)+\frac{V_0^{2}L}{2R^2}\exp \left(-\frac{2R}{L}t\right)+\frac{L{V}_0^2}{2R^2}}$

Como podemos comprobar E₀=E_R+E_B

• Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada en la autoinducción se disipa en la resistencia.

La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i₀

${\displaystyle E_B=\frac{1}{2}L{i}_0^2}$

Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia por efecto Joule será P=i²R

Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada.

${\displaystyle E_R={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{i}^{2}Rdt}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{i}_0^2\exp \left(-\frac{2R}{L}t\right)dt}=\frac{1}{2}L{i}_0^2}$

Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito

Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de establecimiento y caída de la corriente en el circuito. Una experiencia análoga la efectuamos para verificar el proceso de carga y descarga de un condensador a través de una resistencia.

Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un valor constante e igual a V₀. Se establece la corriente en el circuito durante un tiempo P/2.

La intensidad i en el intervalo 0<t<P/2 es

${\displaystyle i=\frac{V_0}{R}\left(1-\exp \left(-\frac{R}{L}t\right)\right)}$

Se calcula la intensidad final i₁ en el instante t=P/2. En este instante, la fem se hace cero, la corriente cae en el circuito.

La corriente i en el intervalo P/2<t<P es,

${\displaystyle i=i_1\exp \left(-\frac{R}{L}\left(t-P/2\right)\right)}$

Se calcula la intensidad final i₂ en el instante t=P

La corriente i en el intervalo P<t<3P/2 es, se obtiene integrando no es entre los límites 0 y i, sino entre la intensidad remanente i₂ e i.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{i_2}{\overset{i}{\int }}\frac{di}{i-V_0/R}}={\displaystyle \underset{P}{\overset{t}{\int }}dt}i=\frac{V_0}{R}+\left(i_2-\frac{V_0}{R}\right)\exp \left(-\frac{R}{L}(t-P)\right)}$

Calculamos la intensidad final i₃ en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.

Actividades

Introduciendo una señal cuadrada en el circuito RL, observamos el establecimiento y caída de una corriente en un circuito. Representamos conjuntamente la fem V₀ y la diferencia de potencial en los extremos de la resistencia v_R=iR en la pantalla de un "osciloscopio".

Se introduce

• La resistencia R en Ω
• La autoinducción L (en mH ó 10^-3 H)
• La fem V₀, en voltios
• La frecuencia f en Hz de la señal cuadrada. El periodo P es la inversa de la frecuencia, P=1/f . Por ejemplo, si la frecuencia es 40 Hz el periodo es 0.025 s

Se pulsa en el botón titulado Gráfica.

Ejemplo

• R=2 Ω

• L=6.5·10-3 H

• f=40 Hz

• V₀=7.0 V

El periodo es P=1/f=0.025 s

En el instante t=P/2=0.0125 s la intensidad vale

${\displaystyle i_1=\frac{7.0}{2}\left(1-\exp \left(-\frac{2}{6.5·{10}^{-3}}0.0125\right)\right)=3.42\text{A}}$

La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia es V_R=i₁·R=6.85 V

En el instante t=P=0.025 s la intensidad vale

${\displaystyle i_2=3.42\exp \left(-\frac{2}{6.5·{10}^{-3}}0.0125\right)=0.07\text{A}}$

La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia es V_R=i₂·R=0.15 V

En el instante t=3P/2=0.0375 s la intensidad vale

${\displaystyle i_3=\frac{7.0}{2}+\left(0.07-\frac{7.0}{2}\right)\exp \left(-\frac{2}{6.5·{10}^{-3}}0.0125\right)=3.43\text{A}}$

La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia es V_R=i₃·R=6.85 V

y así, sucesivamente

FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García